Transcript By Proof หนุ่มเลขน่ ารั ก ลิมิต (Limit) การพัฒนาการของวิชาแคลคูลสั มีแรงกระตุน้ มากจากปัญหาทาง เรขาคณิ ตสองปัญหา ได้แก่ 1.

By Proof หนุ่มเลขน่ ารั ก
ลิมิต (Limit)
การพัฒนาการของวิชาแคลคูลสั มีแรงกระตุน้ มากจากปัญหาทาง
เรขาคณิ ตสองปัญหา ได้แก่
1. ปัญหาการหาพื้นที่บริ เวณในระนาบ
2. ปัญหาเกี่ยวกับเส้นโค้ง
การพัฒนาการดังกล่าวทาให้เกิดความรู้ที่เรี ยกกว่า ลิมิต
1. แนวคิดเกีย่ วกับลิมิต
ศึกษาปัญหาทางเราขาคณิ ตสองปัญหาดังกล่าว อันทาให้เกิดแนวคิดเกี่ยว
กับลิมิต
1.1 ปัญหาเส้ นสั มผัสและพืน้ ที่
ปัญหาทางเรขาคณิ ตสองข้อที่นาไปสู่การพัฒนาของแคลคูลสั ในเรื่ องลิมิต ได้แก่
1. ปัญหาเส้ นสั มผัส
กาหนดฟังก์ชนั f และจุด P(x0, y0) เป็ นจุดบนกราฟของ f ดังรู ป 1.1
จะหาสมการของเส้นสัมผัสกราฟของ f ที่จุด P ได้อย่างไร
ดังรู ป 1.1
ปัญหาแรก คือ ปัญหาเส้นสัมผัส โดยเริ่ มจากการนิยามเส้นสัมผัสว่าเส้นสัมผัส
เส้นโค้ง คืออะไร ในทางเรขาคณิ ต เคยมีผนู ้ ิยามว่า
เส้นสัมผัสของเส้นโค้งใด คือ เส้นตรงที่ตดั เส้นโค้งนั้นเพียงจุดเดียว
การนิยามเช่นนี้พบว่าใช้ได้กบั บางเส้นโค้งเท่านั้น เช่น เส้นโค้งที่เป็ นวงกลม
ดังรู ป 1.2
รู ป 1.2
พบว่าเส้นตรงที่ตดั กราฟเพียงจุดเดียว แต่ไม่ใช้เส้นสัมผัส ดังรู ป 1.3
รู ป 1.3
มีเส้นสัมผัส ซึ้งตัดกับเส้นโค้งมากกว่าหนึ่งจุด ดังรู ป 1.4
รู ป 1.4
เมื่อเป็ นเช่นนี้ การนิยามเส้นสัมผัสดังกล่าวจึงใช้ไม่ได้
เราจะนิยามเส้นสัมผัสอย่างไรจึงจะใช้ได้สาหรับเส้นโค้งใดๆ
กาหนดให้ P เป็ นจุดบนเส้นโค้งในระนาบพิกดั ถ้า Q เป็ นจุดๆ บนเส้นโค้ง
ที่ต่างไปจากจุด P เส้นตรงที่ผา่ นจุด P และ Q เราเรี ยกว่า เราเรี ยกว่า เส้ นตัด
ของเส้นโค้ง
ถ้าเราเคลื่อนที่จุด Q ตามเส้นโค้งโดยเคลื่อนที่เข้าหาจุด P เส้นตัดของเส้นโค้ง
ดังกล่าวจะเปลี่ยนแปลง และเปลี่ยนแปลง เข้าใกล้เส้นตรงหนึ่ง เส้นตรง
เส้นนี้เรานิยามว่าเป็ น เส้ นสั มผัส เส้นโค้งนั้นเอง (ดูรูปที่ 1.5 และ 1.6)
รู ปที่ 1.5
รู ปที่ 1.6
ดังนั้น จะพบว่า ถ้านิยามเส้นสัมผัสแบบนี้ ก็จะต้องมาทาความรู ้จกั กับคา
ว่า เข้าใกล้ ว่าคืออะไร อันเป็ นที่มาของลิมิต
2. ปัญหาพืน้ ที่
กาหนดฟังก์ชนั f ดังรู ป 1.7 จะหาพื้นที่ของบริ เวณบนระนาบพิกดั ที่อยูร่ ะหว่าง
กราฟของ f กับช่วงปิ ด [a,b] บนแกน x ได้อย่างไร
รู ป 1.7
การหาพืน้ ที่เรขาคณิต บริเวณปิ ดบนระนาบพิกดั
พื้นที่ = กว้าง * ยาว
พื้นที่ = 1/2 * ฐาน * สูง
การหาพืน้ ที่เรขาคณิต บริเวณปิ ดบนระนาบพิกดั
A
B
รู ป 1.8
C
รู ป 1.9
A
B
ในทางเรขาคณิ ต บริ เวณปิ ดบนระนาบพิกดั บางรู ปสามารถหาพื้นที่ได้โดย
การแบ่งบริ เวณดังกล่าวออกเป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉาก หรื อรู ปสามเหลี่ยมจานวนจากัด
แล้วคานวณหาพื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมหรื อรู ปสามเหลี่ยมดังกล่าวทั้งหมด
ผลบวกของพื้นที่ที่ได้จะเท่ากับพื้นที่ของบริ เวณปิ ดดังกล่าว
อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถใช้วิธีการดังกล่าวกับบริ เวณปิ ดบางบริ เวณ
บนระนาบพิกดั ได้ ดังรู ป 1.10
รู ป 1.10
เราไม่สามารถแบ่งบริ เวณออกเป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส หรื อรู ปสามเหลี่ยม
เพื่อหาผลบวกของพื้นที่ดงั กล่าวทั้งหมดได้
ดังนั้นจะใช้การหาค่าโดยประมาณของพื้นที่ดงั กล่าว ด้วยการแบ่งช่วงปิ ด [a, b]
ออกเป็ นช่วงย่อยๆ กว่างเท่าๆ กัน แล้วสร้างรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉากบนแต่ละช่วงย่อย
ดังรู ป 1.11 ผลบวกของพื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมดังกล่าว จะเป็ นค่าโดยประมาณ
ของพื้นที่แรเงาในรู ป 1.10
รู ป 1.11
Q : ทาอย่างไรจะหาพื้นที่ให้มีค่าใกล้เคียงพื้นที่จริ งมากที่สุด
โดยการเพิ่มรู ปสี่ เหลี่ยมดังกล่าวให้มากขึ้น
จะได้ค่าโดยประมาณของพื้นที่ของบริ เวณที่ตอ้ งการ และมีค่าเข้าใกล้ค่าที่แท้จริ ง
ไปทุกที การกระทาเช่นนี้เป็ นแนวคิดของค่าว่า ลิมิต
1.2 ลิมิตของฟังก์ชัน
กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) และ c เป็ นค่าคงตัว
เราทราบแล้วว่า f(c) หมายถึง ค่าของฟังก์ชนั f(x) เมื่อ x = c
ซึ่งอาจจะหาค่าได้หรื อหาค่าไม่ได้กไ็ ด้ ขึ้นอยูก่ บั ว่า c อยูใ่ นโดเมนของ f หรื อไม่
เช่น กาหนดฟั งก์ชน
ั y = 2x+1 จงหา f(0)
f(0) = 2(0) + 1
= 0+1
=1
หาค่าได้เมื่อ 0 เป็ นสมาชิกของ โดเมนของ f(x)
กาหนดฟังก์ชนั y = 1/x จงหา f(0)
f(0) = 1/0 + 1
= หาค่าไม่ได้
หาค่าไม่ได้เมื่อ 0 ไม่เป็ นสมาชิกของ โดเมนของ f(x)
แต่ในเรื่ องลิมิตของฟังก์ชนั เราไม่สนใจว่าค่าของฟังก์ชนั f(x) จะเป็ นเช่นไร
ในขณะที่ x มีค่าเข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง เช่น เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ c
คาว่า x มีค่าเข้าใกล้ c เราหมายถึง x  c และ x เคลื่อนที่เข้าหา c
ทั้งทางด้านน้อยกว่า c และ มากกว่า c ( ดังรู ป 1.12 )
x
x
C
รู ป 1.1.12
ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) = 4x3- 4x จงพิจารณาค่าของ f (x)
ในขณะที่ x เข้าใกล้ 1
x เข้าใกล้ 1 ทางด้านมากกว่า 1
x เข้าใกล้ 1 ทางด้านน้อยกว่า 1
ดังนั้น ในขณะที่ x เข้าใกล้ 1 ค่าของ f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 0
จากค่าของฟังก์ชนั จะพบว่า ในขณะที่ x มีคา่ เข้าใกล้ 1 ค่าของ f(x)
จะมีค่าเข้าใกล้ 0 ในทางสัญลักษณ์ เราจะเขียนว่า
lim f ( x )  0
หรื อ
x1
lim
(4x
3
- 4x )  0
x 1
จากตัวอย่างที่ 1 จะพบว่า f(x) = 4x3 - 4x
ดังนั้น f(1) = 4(1)3 - 4(1) = 4 - 4 = 0
ดังนั้น จะสรุ ปว่า
lim f ( x )  f (1 )
x1
ไม่ได้
ซึ่งเหตุการณ์เช่นนี้มิได้เกิดขึ้นเสมอไป จะเป็ นจริ งเฉพาะบางฟังก์ชนั
หรื อบางตาแหน่งเท่านั้น
บทนิยาม 1.1 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) และ c , L เป็ นค่าคงตัว ถ้าค่าของฟังก์ชนั
f(x) มีค่าเข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ c เราจะเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์
lim f ( x )  L
x c
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c เท่ากับ L
lim f ( x )
หมายเหตุ ขอย้าว่า การหา x  c
ไม่ใช่การหา f(c) เราไม่สนใจว่า f(c)
จะหาค่าได้หรื อไม่ได้ และถึงแม้วา่ จะหาค่าได้ ค่า f(c) ที่ได้กอ็ าจ
f (x )
จะไม่เท่ากับ xlim
ก็ได้
c
สั ญลักษณ์ เพื่อความสะดวก ต่อไปนี้ขอ้ ความว่า x มีคา่ เข้าใกล้ c จะเขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ x  c และอ่านว่า x เข้ าใกล้ c
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนดฟังก์ชนั
f (x ) 
sin x
x
จงพิจารณา
lim
sin x
x 0
x
ทดสอบการหาลิมิตโดยใช้ f(0) พบว่า
f (0 ) 
sin( 0 )
0

1
0
ซึ่งหาค่าไม่ได้
ตรวจสอบโดยใช้กราฟ
จากกราฟพบว่า
lim
x 0
sin x
x
1
ตัวอย่ างที่ 3 กาหนดฟังก์ชนั
จงหา 1.
x 0
f (x ) 
2
x 1
lim f (2.x )
lim f ( x )
x 0
x1
f (x )  1
lim f ( x )  0
ตรวจสอบโดยใช้กราฟ
ดังนั้นจะได้ lim
3
( x  1)
x1
1.3 ลิมิตด้ านเดียว
ลิมิตของฟังก์ชนั ในขณะที่ x เข้าใกล้ c ทั้งสองด้าน คือ ด้านที่นอ้ ยกว่า c
และด้านที่มากกว่า c ที่เราเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x  c
สาหรับในหัวข้อนี้ เราจะพูดถึงลิมิตของฟังก์ชนั เช่นกัน แต่เป็ นลิมิตของ
ฟังก์ชนั ในขณะที่ x เข้ าใกล้ c เพียงด้ านเดียว คือ ด้ านทีน่ ้ อยกว่ า c หรื อ
ด้ านที่มากกว่ า c ด้านใดด้านหนึ่ง ซึ่งเราเรี ยกว่า ลิมิตด้ านเดียว
ถ้า x เข้าใกล้ c ทางด้านที่นอ้ ยกว่า c เราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
อ่านว่า x เข้ าใกล้ c ด้ านน้ อยกว่ า c
รูป
xc
x c


x c


ถ้า x เข้าใกล้ c ทางด้านที่มากกว่า c เราจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
อ่านว่า x เข้ าใกล้ c ด้ านมากกว่ า c
รูป
xc
บทนิยาม 1.2 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) และ c , L เป็ นค่าคงตัว ถ้าค่าของฟังก์ชนั
f(x) มีคา่ เข้ าใกล้ L ในขณะที่
เราจะเขียนแทนด้ วยสัญลักษณ์
xc

lim  f(x)  L
x c
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c ด้านน้อยกว่า c เท่ากับ L
บทนิยาม 1.3 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) และ c , L เป็ นค่าคงตัว ถ้าค่าของฟังก์ชนั
f(x) มีคา่ เข้ าใกล้ L ในขณะที่
เราจะเขียนแทนด้ วยสัญลักษณ์
x c

lim  f(x)  L
x c
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ c ด้านมากกว่า c เท่ากับ L
ตัวอย่ างที่ 5 กราฟของฟังก์ชนั
x

f (x )  2

x
2
เมือ่ 0  x  2
เมือ่ 2  x  4
เมือ่ 4  x  6
(1 ) lim f ( x ) 
0
( 2 ) lim f ( x ) 
4
( 3 ) lim f ( x ) 
2
( 4 ) lim f ( x ) 
2
( 5 ) lim f ( x ) 
4
( 6 ) lim f ( x ) 
6
x 0
x 2
x 2



x 4
x 4
x 6



จากตัวอย่างที่ 5 จะพบว่า
lim  f ( x )  4
lim  f ( x )  2
x 2
ทาให้
x 2
lim  f ( x )  lim  f ( x )
x 2
x 2
lim f ( x ) ไม่มี หรื อหาค่าไม่ได้
ในลักษณะเช่นนี้ เราจะกล่าวว่า x
2
ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1.1 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) และ c , L เป็ นค่าคงตัว จะได้วา่
lim f ( x )  L
x c
ก็ต่อเมื่อ x limc  f ( x )  L  x limc  f ( x )
กราฟที่จะแสดงในรู ปต่อไปนี้ แสดงการมีและไม่มีลิมิตของฟังก์ชนั
จงหา lim f ( x )
x a
lim  f ( x )  b
x a
lim  f ( x )  b
x a
f (x )  b
lim
ดังนั้น
x a
จงหา lim f ( x )
x a
lim  f ( x )  b
x a
lim  f ( x )  b
x a
f (x )  b
lim
ดังนั้น
x a
จงหา lim f ( x )
x a
lim  f ( x )  b
x a
lim  f ( x )  c
x a
ดังนั้น lim f ( x ) ไม่มี
x a
ตัวอย่ างที่ 6 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) ซึ่งมีกราฟดังรู ป จงใช้ทฤษฎีบท 1.1 หาค่า
(1 ) lim f ( x )
x 0
( 2 ) lim f ( x )
x 3
lim  f ( x )  1  lim  f ( x )
x 0
ดังนั้น
x 0
(1 ) lim f ( x )  1
x 0
lim  f ( x )  1  lim  f ( x )
x 3
ดังนั้น
x 3
( 2 ) lim f ( x )  1
x 3
ตัวอย่ างที่ 7 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) ซึ่งมีกราฟดังรู ป จงใช้ทฤษฎีบท 1.1 หาค่า
(1 ) lim f ( x )
x  2
( 2 ) lim f ( x )
x 2
lim  f ( x )  3  lim  f ( x )
x  2
ดังนั้น
x  2
(1 ) lim f ( x )  3
x 3
lim  f ( x )   1 และ lim  f ( x )  0
x 2
ดังนั้น
x 2
( 2 ) lim f ( x ) ไม่มี
x 2
1.4 ลิมิตอนันต์
ฟังก์ชนั บางฟังก์ชนั ในขณะที่ x เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง อาจจะเข้าใกล้
แบบสองด้าน หรื อ ด้านเดียว ก็ตามค่า ของฟังก์ชนั เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต
หรื อลดอย่างไม่มีขอบเขต ในลักษณะเช่นนี้ เราเรี ยกว่า ลิมิตอนันต์ หรื อ
ลิมิตไม่ มีขอบเขต
บทนิยาม 1.4 ถ้า f(x) มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตบน ในขณะที่
xa

หรื อ
xa

เราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เข้าใกล้ (บวก) อนันต์ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
lim f ( x )  
x a
ถ้า

lim f ( x )  
x a

และ
lim f ( x )  
หรื อ
x a

lim f ( x )  
x a

ตามลาดับ
แล้ว เราจะกล่าวว่า
lim f ( x )  
x a
รู ป 1.4-1 , 1.4-2 และ 1.4-3 ต่อไปนี้ แสดงลิมิตอนันต์ประเภท
lim f ( x )  
x a

lim f ( x )  
x a

และ
lim f ( x )  
x a
บทนิยาม 1.5 ถ้า f(x) มีค่าลดลงอย่างไม่มีขอบเขตบน ในขณะที่
xa

หรื อ
xa

เราจะกล่าวว่า ลิมิตของ f(x) เข้าใกล้ (ลบ) อนันต์ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
lim f ( x )  
x a
ถ้า

lim f ( x )  
x a

และ
lim f ( x )  
หรื อ
x a

lim f ( x )  
x a

ตามลาดับ
แล้ว เราจะกล่าวว่า
lim f ( x )  
x a
รู ป 1.5-1 , 1.5-2 และ 1.5-3 ต่อไปนี้ แสดงลิมิตอนันต์ประเภท
f ( x )  
f ( x )  
lim
lim f ( x )  
lim

และ

x a
x a
x a
หมายเหตุ 1.ลิมิตอนันต์ไม่วา่ จะเป็ นแบบใด เราถือว่า ลิมิตของฟังก์ชนั ไม่มี
2.ในกรณี ที่ x lima  f ( x )   และ lim  f ( x )   หรื อสลับกันให้ถือว่า
x a
lim f ( x )
x a
ไม่มี
ตัวอย่ างที่ 9 กาหนดฟังก์ชนั
จงหา
y  f (x ) 
1
x2
(1 ) lim f ( x ) ( 2 ) lim f ( x ) ( 3 ) lim f ( x )
x 2

x 2

x 2
พิจารณากราฟ
(1 ) lim f ( x )    ( 2 ) lim f ( x )   ( 3 ) lim f ( x ) ไม่มี
x 2

x 2

x 2
บทนิยาม 1.6 เส้นตรง x = a จะเรี ยกว่าเป็ นเส้นกากับแนวยืน
( vertical asymptote) ของเส้นโค้ง y = f(x) ถ้าข้อความต่อไปนี้
เป็ นความจริ งอย่างน้อยหนึ่งข้อความ
lim f ( x )  
x a

lim f ( x )  
x a

lim f ( x )  
x a
lim f ( x )  
x a

lim f ( x )  
x a

lim f ( x )  
x a
เส้นโค้ง y = f(x) ในแต่ละรู ป ทุกเส้นโค้งมีเส้น x = a เป็ นเส้นกากับแนวยืน
1.5 ลิมิตทีอ่ นันต์
ลิมิตของฟังก์ชนั ประเภทสุ ดท้ายที่จะกล่าว เรี ยกว่า ลิมิตที่อนันต์ ซึ่งเป็ น
ลิมิตของฟังก์ชนั ในขณะที่ x มีค่ามากขึ้นอย่าง ไม่มีขอบเขตบน หรื อ
x มีค่าลดลง ๆ อย่างไม่มีขอบเขตล่าง
คาว่า x มากขึ้น ๆ อย่างไม่มีขอบเขตบน เขียนแทนด้วย
คาว่า x ลดลง ๆ อย่างไม่มีขอบเขตล่าง เขียนแทนด้วย
x
x  
ดังนั้น ถ้ากาหนดฟังก์ชนั y = f(x) สิ่ งที่เราจะศึกษาในหัวข้อนี้ คือ
lim f ( x )
x 
และ
lim f ( x )
x  
บทนิยาม 1.7 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x)
ถ้ากราฟของฟังก์ชนั นี้เข้าใกล้เส้นตรง y = a
ในขณะที่ x มากขึ้น ๆ อย่างไม่มีขอบเขตบน จะกล่าวว่า
lim f ( x )  a
x 
ถ้ากราฟของฟังก์ชนั นี้เข้าใกล้เส้นตรง y = a
ในขณะที่ x น้อยลง อย่างไม่มีขอบเขตล่าง จะกล่าวว่า
lim f ( x )  a
x  
ตัวอย่ างที่ 11 กาหนดฟังก์ชนั y = f(x) ที่มีกราฟดังรู ป จะพบว่า ในขณะที่
x   เส้นกราฟของ y = f(x) จะเข้าใกล้เส้นตรง y = 4
และในขณะที่ x   เส้นกราฟของ y = f(x) จะเข้าใกล้เส้นตรง y = -1
lim f ( x )  4
x 
และ
lim f ( x )   1
x  
ตัวอย่ างที่ 14 กาหนดฟังก์ชนั
lim f ( x )
x 
ดังนั้น
lim f ( x )  1
x 
y  f (x ) 
และ
และ
x 1
x2
จงหา
lim f ( x )
x  
lim f ( x )  1
x  
ตัวอย่ างที่ 15 กาหนดฟังก์ชนั
lim f ( x )
x 
ดังนั้น
lim f ( x )  
x 
3
y  f (x )  x  2
และ
และ
จงหา
lim f ( x )
x  
lim f ( x )  
x  