Transcript PowerPoint เรื่อง อนุพันธ์

แคลคูลัส (Calculus) : ศึกษาเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร
หนึ่งเทียบกับตัวแปรอื่นๆ
1. ฟั งก์ ชัน
เรากล่ าวได้ ว่า y เป็ นฟั งก์ ชันของ x เมื่อมีความสัมพันธ์ ระหว่ าง x และ y
Y
=
f(x)
x เป็ นตัวแปรอิสระ (Independent variable)
y เป็ นตัวแปรตาม (Dependent variable)
2. ลิมิตของฟั งก์ ชัน (limit of function)
พิจารณา f(x) = (2x + 3)(x-1) หาค่ าไม่ ได้ ท่ ี x = 1
(x-1)
lim f(x)
x1X
f(x) = 2x+3
X≠1
x<1
0
3
0.25 0.5 0.75
3.5 4 4.5
0
1
x>1
0.9
4.8
x
0.99
4.98
0.999 0.9999
4.998 4.9998
lim f(x)
x1+
x<1 0 x>1
1
x
X
2
1.75
1.5 1.25
1.1
1.01
1.001 1.0001
f(x) = 2x+3
X≠1
7
6.5
6
5.2
5.02
5.002 5.0002
x1 , fx) จะมีค่าเข้ าใกล้ 5
เขียนแทนด้ วย
lim (2x + 3)(x-1) =
x1
(x-1)
5
5.5
3. ฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง
ฟั งก์ ชัน f(x) จะเป็ นฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง ที่ a ก็ต่อเมื่อ เงื่อนไขเป็ นจริงทังง 3 ประการ
1. f(a) มีค่า
2. lim f(x) หาค่ าได้
xa
3. lim f(x) = f(a)
xa
(x2-4)/(x-2) , x ≠ 2
EX1 f(x) =
2
,x=2
1. f(2) = 2
2. lim f(x) = 4
x2
3. lim f(x) ≠ f(a)
x2
y
2
ดังนันง f(x) ไม่ เป็ นฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง
x
EX2 f(x) =
x , 0 ≤ x ≤ 10
10 + 0.9(x-10) = 0.9x + 1 , 10 < x
1. f(10) = 10
2. lim f(x) = 10
x10-
lim (0.9x+1)
= 10
+
x10
lim f(x) = 10
x10
3. f(10) = lim f(x) = 10
x10
 f(x) เป็ นฟั งก์ ชันต่ อเนื่องที่ 10
4. ทฤษฎีบทสาคัญที่เกี่ยวกับลิมิต
กาหนดให้ u(x), v(x) เป็ นฟั งก์ ชันของตัวแปร x และให้ lim u(x) = A ,
xa
lim v(x) = B และให้ c เป็ นค่ าคงตัว ไม่ ขนึ ง กับ x สามารถพิสูจน์ ได้ ว่า
xa
1. lim (u+c) = A+c
4. lim (u+v) = A+B
2. lim cu = cA
5. lim (uv) = AB
3. lim c/u = c/A
6. lim (u/v) = A/B
xa
xa
xa
xa
xa
xa
คาถาม
1. lim (1/a) = ?
a0
,
2. lim (c/a) = ? ,
a
3. lim ca = ?
a
ถ้ า y เป็ นฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง ที่ขนึ ง กับตัวแปร x เพียงตัวแปรเดียว Y = f(x)
พิจารณา ค่ า y เมื่อ x = x0 , ค่ า y ที่ตาแหน่ ง x0 = y0 หรื อ y0 = f(x0)
เมื่อ x = x0 + x , ค่ า y ที่ตาแหน่ ง x0x = y0 y
หรื อ y = y0 y = f(x0y = f(x0x)
จัดเทอมใหม่ จะได้
y = f(x0 x) – f(x0) ............ (1.1)
EX3 y = x2, y = ? กาหนดให้ x0 =1 x = 0.1
จากสมการ (1.1y = f(x0x) – f(x0)
เมื่อ y = x2y = (x0 x)2 – (x0)2 = 2x0x + (x)2
y = (2x1x0.1) + (0.1)2 = 0.21
y/x = 0.21/0.1 = 2.1
ถ้ า x0 =1x = 0.01
y = (2x1x0.01) + (0.01)2 = 0.0201
y/x = 0.0201/0.01 = 2.01
ถ้ า x0 =1x = 0.001 จะได้ y = 0.002001
y/x = 0.002001/0.001 = 2.001
x มีค่าน้ อยมากๆ จนเกือบเป็ นศูนย์ ค่ า y/x จะยิ่งเข้ าใกล้ 2
เขียนเป็ นสัญลักษณ์ ได้ ว่า
lim
y = 2
x0 x
5. นิยามอนุพันธ์ ของฟั งก์ ชัน
_
อนุพันธ์ ของฟั งก์ ชัน y เทียบกับ x = d y _
_ lim f(x0+ x) – f(x0) หรื อ y/
dx
x
d y อ่ านว่ า ดีบายดีเอ็กซ์ ของวาย
dx
dy อ่ านว่ า ดีวายบายดีเอ็กซ์ หรื ออนุพันธ์ ของ y เทียบกับ x
dx
6. ความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์
เมื่อแทนค่ าในสมการ y = f(x) และเขียนกราฟ
y
เส้ นกราฟของ y = f(x)
^
y = QR = tan (QPR)
x PR
Q
y
y
y0
P
R
x
x0
x
x
d y = lim y
dx
x0 x
= lim f(x0+x) – f(x0)
x0 x
^
= tan (QPR)
ดังนันง y คือ ความชันของกราฟระหว่ างสองจุด
x
x 0 , ความชันของจุดสองจุดเปรี ยบเสมือนกับเส้ นตรงที่ลากผ่ านจุด (x0,y0)
7. ผลที่ตดิ ตามมาของการอนุพันธ์
นิยาม
และทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับ
ลิมิตช่ วยให้ เราได้ ผลที่สาคัญดังต่ อไปนี ง
กาหนดให้ c เป็ นค่ าคงตัว f(x) กับ g(x) เป็ นฟั งก์ ช่ ันของ x, และ x
เป็ นฟั งก์ ช่ ันของตัวแปรตัวใหม่  นันง คือ x  x() จะได้
ตัวอย่ างการพิสูจน์
8. ตัวอย่ างสูตรมาตรฐานของการหาอนุพันธ์
EX4 y = 4x3 + 3x2 + 2x + 5 ,
dy = ?
dx
dy = d [4x3 + 3x2 + 2x + 5]
dx dx
= d(4x3) + d(3x2) + d(2x) + d(5)
dx
dx
dx
dx
= (3X4)x3-1+(2X3)x2-1+(1X2)x1-1+ 0
= 12x2 + 6x + 2
EX5
y = (x2+1)2, dy/dx = ?
Ans
กาหนดให้ u = x2+1
dy = du2 = du2. du
dx dx
du dx
= 2u. d(x2+1) = 2(x2+1). 2x = 4x(x2+1)
dx
Ans
EX6 y = x2. cos2x , dy/dx = ?
dy = d [x2.cos2x] = cos2x . d[x2] + x2. d [cos2x]
dx dx
dx
dx
= cos2x.(2x) + x2.(-sin2x).d(2x)
dx
= 2x.cos2x – 2x2.sin2x
ANS
EX7 y = 23x , dy/dx = ?
ใช้ เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร กาหนดให้ u = 3x
d y = d (23x) = d(2u) .du = 2u ln2.d 3x = 23x ln2 . 3 = 3 ln2 (23x)
dx dx
du dx
dx
ANS