Transcript บทที่ 4.1 ลิมิตและความต่อเนื่อง(ลิมิตของฟังก์ชัน)
Slide 1
(Limit and Continuity)
Slide 2
ลิมิตของฟังก์ ชัน (Limit of Functions)
แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชนั f ที่ x0 มีค่าเป็ นจานวนจริ ง L
นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชนั f มีค่าเข้าใกล้ L ได้ตามต้องการ
เสมอ เมื่อ x เข้าใกล้ x0 เพียงพอ โดยสนใจค่า f(x) ที่เกิดจาก
x ในโดเมนที่ไม่ใช่ x0 แต่อยูบ่ ริ เวณใกล้เคียงกับ x0 ซึ่งทาให้
ค่าของ f(x) สามารถเข้าใกล้ L
Slide 3
L+
Y
O
L
L–
y = f(x)
O
x0–
Ox
0 x0+
X
แสดงลิมิตของฟั งก์ ชัน f ที่ x0 มีค่าเท่ ากับ L
Slide 4
บทนิยาม 4.1.1 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D
ฟังก์ชนั f จะเรี ยกว่า มีลมิ ิต เท่ากับ L ที่ x0 ก็ต่อเมื่อ สาหรับแต่
ละ > 0 จะมี > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0 | < และ xD แล้ว |
f(x) – L | < ฟังก์ ชัน f มีลมิ ิตเท่ ากับ L ที่ x0
เขียนแทนด้วย x lim
x f(x) = L หรื อ f(x) L เมื่อ x x0
0
Slide 5
ข้ อสั งเกต
1. x0 เป็ นจุดลิมิตของ D ดังนั้น x0 ไม่จาเป็ นจะต้องเป็ น
สมาชิกของ D
2. xD ที่สอดคล้องกับ 0 < | x – x0 | < หมายถึง
(1) 0 < –( x – x0 ) < ดังนั้น x0 – < x < x0
(2) 0 < ( x – x0 ) < ดังนั้น x0 < x < x0 +
จาก (1) , (2) x( x0 – , x0 + ) – { x0 } แสดงได้ดงั รู ป
(
x0 –
O
x0
)
x0 +
Slide 6
3. เป็ นจานวนจริ งบวก เป็ นตัวกาหนด f(x) ให้เข้าใกล้
จานวนจริ ง L ตาม ต้องการ แต่ละ จะมี > 0 (ซึ่ง
โดยทัว่ ไป ขึ้นอยูก่ บั , เป็ นตัว กาหนด x ที่เข้าใกล้
x0) ถ้า x( x0 – , x0 + ) และ x x0 ทาให้
f(x)( L – , L + )
Slide 7
ตัวอย่ าง 1 กาหนด f(x)
x2 4
x2 ,x 2
=
6 ,x2
จงแสดงว่า x lim
f(x) = 4
2
วิธีทา ให้ > 0 ต้องการหา > 0 โดยที่ ถ้า 0 < | x – 2 | <
ทาให้
x 44
x2
2
<
Slide 8
พิจารณา
x 44
x2
2
= | x + 2 – 4 | = | x – 2 | เมื่อ x 2
เลือก = จึงได้วา่
ถ้า 0 < | x – 2 | < ทาให้
นัน่ คือ x lim
f(x)
=
4
2
x 44
x2
2
=|x–2|<
Slide 9
ตัวอย่ าง 2 กาหนด f(x) = x , x จงแสดงว่า lim f(x) = x0
x x0
วิธีทา ให้ > 0 ต้องการหา > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0 | < ทาให้
| f(x) – x0 | <
เลือก = จะได้วา่ ถ้า 0 < | x – x0 | <
ทาให้ | f(x) – x0 | = | x – x0 | <
นัน่ คือ x lim
f(x) = x0
x
0
Slide 10
ตัวอย่ าง 5 กาหนด f(x) = x2 + x – 1 จงแสดงว่า lim f(x) = 5
x x0
วิธีทา ให้ > 0 ต้องการหา > 0 ที่ทาให้ | f(x) – 5 | <
เมื่อ 0 < | x – 2 | <
พิจารณา | f(x) – 5 | = | x2 + x – 1 – 5 | = | x – 2 | | x + 3 |
ต้องการหาขอบเขตของ | x + 3 |
เลือกพิจารณา 1 ได้วา่ ถ้า | x – 2 | < 1 ทาให้ 4 < x + 3 < 6
|x+3|<6
Slide 11
ถ้า | x – 2 | < 1 ซึ่งทาให้ | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 |
เลือก = min {1, } จะได้วา่
6
ถ้า 0 < | x – 2 | < ย่อมได้วา่ | x – 2 | < 1
ดังนั้น | ( x2 + x – 1 ) – 5 | = | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 | <
นัน่ คือ f(x) = 5
lim
x
x0
Slide 12
ทฤษฎีบท 4.1.2 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D
ฟังก์ชนั f มีลิมิตที่ x0 ก็ต่อเมื่อ สาหรับแต่ละลาดับ { x n } n 1
ที่ล่เู ข้าสู่ x0 เมื่อ xnD และ xn x0 ทุกๆ n แล้วลาดับ
{ f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้า
x0 และ { x n } n 1
การพิสูจน์ สมมติ f มีลิมิตเท่ากับ L ที่
เป็ นลาดับใดๆในโดเมน D
ที่ล่เู ข้าสู่ x0 และ xn x0 จะแสดงว่า { f ( x n )} n 1
เป็ นลาดับลู่เข้า
ให้ > 0
จะมี > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < , xD ทาให้ | f(x) – L | <
Slide 13
และเนื่องจาก { x n } n 1
ลู่เข้าสู่ x0 โดยที่ xn x0 สาหรับ n
จะมีจานวนเต็มบวก k ที่ | xn – x0 | < , n k
ดังนั้น 0 < | xn – x0 | < และ xnD ทาให้ | f(xn) – L | <
,nk
นัน่ คือ { f ( x n )} n 1 ลู่เข้า และลู่เข้าสู่ค่า
ในทางกลับกัน สมมติ สาหรับทุกๆลาดับ
สู่ x0 เมื่อ xnD และ xn x0
L
{ x n }n 1
ที่ล่เู ข้า
Slide 14
{ f ( x n )} n 1
สาหรับ n และ
ลู่เข้าสู่ L
จะแสดงว่า f มีลิมิตที่ x0 เท่ากับ L
สมมติ L ไม่เป็ นลิมิตของ f ที่ x0 ดังนั้นจะมี > 0
ที่สาหรับทุกๆ > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < , xD
ทาให้ | f(x) – L |
พิจารณากรณี ที่กาหนดลาดับดังนี้ สาหรับแต่ละจานวนเต็ม
1 ดังนัน | f(x ) – L |
บวก n จะมี xnD ซึ่ง 0 < | xn – x0 | < n
้
n
ซึ่ง { x n } n 1 เป็ นลาดับที่ xn x0 และลู่เข้าสู่ x0 จึงทาให้
{ f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ L จึงเกิดการขัดแย้งที่ | f(x ) – L |
n
สาหรับทุกๆ n
นัน่ คือ f มีลิมิตที่ x0
Slide 15
ทฤษฎีบท 4.1.3 ให้ f : D มี x0 เป็ นจุดลิมิตของ D ถ้าแต่ละ
{
x
}
ลาดับ n n 1 ที่ล่เู ข้าสู่ x0 เมื่อ xnD – {x0} ทุกๆ n และลาดับ
{ f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับโคชี แล้ว f มีลิมิตที่ x0
{ f ( x n )} n 1
การพิสูจน์ เนื่องจาก
เป็ นลาดับโคชี
โดยทฤษฎีบท 3.6.4 ได้วา่ { f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้า
{ x n }n 1
และโดยทฤษฎีบท 4.1.2 ถ้าแต่ละ
เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ x0
ที่ xnD – {x0} สาหรับทุกๆ n แล้วลาดับ { f ( x n )} n 1
เป็ นลาดับลู่เข้า
ทาให้ f มีลิมิตที่ x0
Slide 16
ทฤษฎีบท 4.1.4 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D ถ้า f
มีลิมิตที่ x0 แล้ว จะมีQ ซึ่งเป็ นย่านของจุด x0 ที่ทาให้ฟังก์ชนั f
เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน QD
การพิสูจน์ ให้ x lim
f(x) = L
x0
ให้ = 1 จะมี > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < และ xD
ทาให้ | f(x) – L | < 1
ดังนั้น L – 1 < f(x) < L + 1
แยกพิจารณาเป็ น 2 กรณี
ถ้า x0D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 |, | f(x0) | }
Slide 17
ถ้า x0D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 | }
และให้ Q = ( x0 – , x0 + ) ซึ่งเป็ นย่านของ x0
สาหรับ xQD ของทั้งสองกรณี ทาให้ | f(x) | M
นัน่ คือ f มีขอบเขตบน QD
(Limit and Continuity)
Slide 2
ลิมิตของฟังก์ ชัน (Limit of Functions)
แนวคิดการมีลิมิตของฟังก์ชนั f ที่ x0 มีค่าเป็ นจานวนจริ ง L
นั้น อาจกล่าวว่า ฟังก์ชนั f มีค่าเข้าใกล้ L ได้ตามต้องการ
เสมอ เมื่อ x เข้าใกล้ x0 เพียงพอ โดยสนใจค่า f(x) ที่เกิดจาก
x ในโดเมนที่ไม่ใช่ x0 แต่อยูบ่ ริ เวณใกล้เคียงกับ x0 ซึ่งทาให้
ค่าของ f(x) สามารถเข้าใกล้ L
Slide 3
L+
Y
O
L
L–
y = f(x)
O
x0–
Ox
0 x0+
X
แสดงลิมิตของฟั งก์ ชัน f ที่ x0 มีค่าเท่ ากับ L
Slide 4
บทนิยาม 4.1.1 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D
ฟังก์ชนั f จะเรี ยกว่า มีลมิ ิต เท่ากับ L ที่ x0 ก็ต่อเมื่อ สาหรับแต่
ละ > 0 จะมี > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0 | < และ xD แล้ว |
f(x) – L | < ฟังก์ ชัน f มีลมิ ิตเท่ ากับ L ที่ x0
เขียนแทนด้วย x lim
x f(x) = L หรื อ f(x) L เมื่อ x x0
0
Slide 5
ข้ อสั งเกต
1. x0 เป็ นจุดลิมิตของ D ดังนั้น x0 ไม่จาเป็ นจะต้องเป็ น
สมาชิกของ D
2. xD ที่สอดคล้องกับ 0 < | x – x0 | < หมายถึง
(1) 0 < –( x – x0 ) < ดังนั้น x0 – < x < x0
(2) 0 < ( x – x0 ) < ดังนั้น x0 < x < x0 +
จาก (1) , (2) x( x0 – , x0 + ) – { x0 } แสดงได้ดงั รู ป
(
x0 –
O
x0
)
x0 +
Slide 6
3. เป็ นจานวนจริ งบวก เป็ นตัวกาหนด f(x) ให้เข้าใกล้
จานวนจริ ง L ตาม ต้องการ แต่ละ จะมี > 0 (ซึ่ง
โดยทัว่ ไป ขึ้นอยูก่ บั , เป็ นตัว กาหนด x ที่เข้าใกล้
x0) ถ้า x( x0 – , x0 + ) และ x x0 ทาให้
f(x)( L – , L + )
Slide 7
ตัวอย่ าง 1 กาหนด f(x)
x2 4
x2 ,x 2
=
6 ,x2
จงแสดงว่า x lim
f(x) = 4
2
วิธีทา ให้ > 0 ต้องการหา > 0 โดยที่ ถ้า 0 < | x – 2 | <
ทาให้
x 44
x2
2
<
Slide 8
พิจารณา
x 44
x2
2
= | x + 2 – 4 | = | x – 2 | เมื่อ x 2
เลือก = จึงได้วา่
ถ้า 0 < | x – 2 | < ทาให้
นัน่ คือ x lim
f(x)
=
4
2
x 44
x2
2
=|x–2|<
Slide 9
ตัวอย่ าง 2 กาหนด f(x) = x , x จงแสดงว่า lim f(x) = x0
x x0
วิธีทา ให้ > 0 ต้องการหา > 0 ซึ่งถ้า 0 < | x – x0 | < ทาให้
| f(x) – x0 | <
เลือก = จะได้วา่ ถ้า 0 < | x – x0 | <
ทาให้ | f(x) – x0 | = | x – x0 | <
นัน่ คือ x lim
f(x) = x0
x
0
Slide 10
ตัวอย่ าง 5 กาหนด f(x) = x2 + x – 1 จงแสดงว่า lim f(x) = 5
x x0
วิธีทา ให้ > 0 ต้องการหา > 0 ที่ทาให้ | f(x) – 5 | <
เมื่อ 0 < | x – 2 | <
พิจารณา | f(x) – 5 | = | x2 + x – 1 – 5 | = | x – 2 | | x + 3 |
ต้องการหาขอบเขตของ | x + 3 |
เลือกพิจารณา 1 ได้วา่ ถ้า | x – 2 | < 1 ทาให้ 4 < x + 3 < 6
|x+3|<6
Slide 11
ถ้า | x – 2 | < 1 ซึ่งทาให้ | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 |
เลือก = min {1, } จะได้วา่
6
ถ้า 0 < | x – 2 | < ย่อมได้วา่ | x – 2 | < 1
ดังนั้น | ( x2 + x – 1 ) – 5 | = | x – 2 | | x + 3 | < 6 | x – 2 | <
นัน่ คือ f(x) = 5
lim
x
x0
Slide 12
ทฤษฎีบท 4.1.2 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D
ฟังก์ชนั f มีลิมิตที่ x0 ก็ต่อเมื่อ สาหรับแต่ละลาดับ { x n } n 1
ที่ล่เู ข้าสู่ x0 เมื่อ xnD และ xn x0 ทุกๆ n แล้วลาดับ
{ f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้า
x0 และ { x n } n 1
การพิสูจน์ สมมติ f มีลิมิตเท่ากับ L ที่
เป็ นลาดับใดๆในโดเมน D
ที่ล่เู ข้าสู่ x0 และ xn x0 จะแสดงว่า { f ( x n )} n 1
เป็ นลาดับลู่เข้า
ให้ > 0
จะมี > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < , xD ทาให้ | f(x) – L | <
Slide 13
และเนื่องจาก { x n } n 1
ลู่เข้าสู่ x0 โดยที่ xn x0 สาหรับ n
จะมีจานวนเต็มบวก k ที่ | xn – x0 | < , n k
ดังนั้น 0 < | xn – x0 | < และ xnD ทาให้ | f(xn) – L | <
,nk
นัน่ คือ { f ( x n )} n 1 ลู่เข้า และลู่เข้าสู่ค่า
ในทางกลับกัน สมมติ สาหรับทุกๆลาดับ
สู่ x0 เมื่อ xnD และ xn x0
L
{ x n }n 1
ที่ล่เู ข้า
Slide 14
{ f ( x n )} n 1
สาหรับ n และ
ลู่เข้าสู่ L
จะแสดงว่า f มีลิมิตที่ x0 เท่ากับ L
สมมติ L ไม่เป็ นลิมิตของ f ที่ x0 ดังนั้นจะมี > 0
ที่สาหรับทุกๆ > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < , xD
ทาให้ | f(x) – L |
พิจารณากรณี ที่กาหนดลาดับดังนี้ สาหรับแต่ละจานวนเต็ม
1 ดังนัน | f(x ) – L |
บวก n จะมี xnD ซึ่ง 0 < | xn – x0 | < n
้
n
ซึ่ง { x n } n 1 เป็ นลาดับที่ xn x0 และลู่เข้าสู่ x0 จึงทาให้
{ f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ L จึงเกิดการขัดแย้งที่ | f(x ) – L |
n
สาหรับทุกๆ n
นัน่ คือ f มีลิมิตที่ x0
Slide 15
ทฤษฎีบท 4.1.3 ให้ f : D มี x0 เป็ นจุดลิมิตของ D ถ้าแต่ละ
{
x
}
ลาดับ n n 1 ที่ล่เู ข้าสู่ x0 เมื่อ xnD – {x0} ทุกๆ n และลาดับ
{ f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับโคชี แล้ว f มีลิมิตที่ x0
{ f ( x n )} n 1
การพิสูจน์ เนื่องจาก
เป็ นลาดับโคชี
โดยทฤษฎีบท 3.6.4 ได้วา่ { f ( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้า
{ x n }n 1
และโดยทฤษฎีบท 4.1.2 ถ้าแต่ละ
เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ x0
ที่ xnD – {x0} สาหรับทุกๆ n แล้วลาดับ { f ( x n )} n 1
เป็ นลาดับลู่เข้า
ทาให้ f มีลิมิตที่ x0
Slide 16
ทฤษฎีบท 4.1.4 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D ถ้า f
มีลิมิตที่ x0 แล้ว จะมีQ ซึ่งเป็ นย่านของจุด x0 ที่ทาให้ฟังก์ชนั f
เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน QD
การพิสูจน์ ให้ x lim
f(x) = L
x0
ให้ = 1 จะมี > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < และ xD
ทาให้ | f(x) – L | < 1
ดังนั้น L – 1 < f(x) < L + 1
แยกพิจารณาเป็ น 2 กรณี
ถ้า x0D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 |, | f(x0) | }
Slide 17
ถ้า x0D ให้ M = max { | L – 1 |, | L + 1 | }
และให้ Q = ( x0 – , x0 + ) ซึ่งเป็ นย่านของ x0
สาหรับ xQD ของทั้งสองกรณี ทาให้ | f(x) | M
นัน่ คือ f มีขอบเขตบน QD