Transcript ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟีเรียร์

ลิมิตซูพเี รียร์

sn } n 1
พิจำรณำเมื่อ {
ไม่มีขอบเขตบน

sn } n 1

มีขอบเขตบน และเมื่อ { sn } n 1
กรณี ที่ {
มีขอบเขตบน จะมีจำนวนจริ ง M ที่
sn  M, ทุก n
สำหรับแต่ละ n กำหนดเซต { sn, sn+1, sn+2, … } เช่น
n = 1 ได้ { s1, s2, s3, … }
n = 2 ได้ { s2, s3, s4, … } เป็ นต้น
ซึ่งแต่ละเซตเป็ นเซตที่มีขอบเขตบน
ให้ Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }
เนื่องจำก { sn, sn+1, sn+2, … }  { sn+1, sn+2, sn+3, … }
ทำให้ Mn  Mn+1 ทุก n

M n } n 1
ดังนั้น {
เป็ นลำดับไม่เพิ่ม
ลำดับไม่เพิ่มอำจเป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำ หรื อลำดับที่ล่อู อกสู่ – อย่ำง
ใดอย่ำงหนึ่ง

sn } n 1
บทนิยาม 3.5.1 ให้ {
เป็ นลำดับจำนวนจริ งที่มีขอบเขตบน
และMn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิมิตซูพเี รียร์ ของลาดับ
lim sup sn
แทนด้วยn 

ถ้ำ {

M n } n 1
lim sup sn = lim Mn
เป็ นลำดับลู่เข้ำ แล้วให้n 
n 

ถ้ำ {

M n } n 1
lim sup sn = –
เป็ นลำดับลู่ออกสู่ – แล้วให้n 

ตัวอย่ าง 1 {
{

sn } n 1
n

= { (1) } n 1

sn } n 1
เป็ นลำดับที่มีขอบเขตบน
Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 1 ทุก n
{

M n } n 1
เป็ นลำดับลู่เข้ำ
lim sup sn = lim Mn = 1
n 
n 

ตัวอย่ำง 2 {
{

sn } n 1
1
คือ 1, –2, 3 , - 4 , 51 , -6

sn } n 1 เป็ นลำดับที่มีขอบเขตบน
ซึ่งลู่เข้ำ
Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

และลำดับ { M n }n 1 คือ 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 71 , 71 ,...
3 3 5 5
lim sup sn = lim Mn = 0
ดังนั้น n 

n 

ตัวอย่ าง 3 {

sn } n 1
คือ –1, –2, –3, –4, –5, …

sn } n 1
{
เป็ นลำดับที่มีขอบเขตบน
Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –n , n
{ M n }
n 1 เป็ นลำดับลูอ่ อกสู่ –
lim sup sn = –
n 


sn } n 1
บทนิยาม 3.5.2 ถ้ำ {
เป็ นลำดับจำนวนจริ งที่ไม่มี
lim sup s = 
ขอบเขตบน แล้วให้ n 
n

ตัวอย่ าง 4 {
{

sn } n 1

sn } n 1 คือ
1, 2, 1, 4, 1, 6, …
เป็ นลำดับที่ไม่มีขอบเขตบน
lim sup sn = 
ดังนั้น n 



sn } n 1
ทฤษฎีบท 3.5.3 ถ้ำ {
เป็ นลำดับจำนวนจริ งและ
lim sup s = lim s
เป็ นลำดับลู่เข้ำ แล้ว n 
n n  n

การพิสูจน์
lim sn = L
ให้n 

สำหรับ  > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
| sn – L | <  , n  k
L –  < sn < L + 
,n k
สำหรับ n  k จะมี L +  เป็ นขอบเขตบนของเซต
{ sn, sn+1, sn+2, … }
แต่ L –  ไม่เป็ นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … }
9
L –  < Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  L +  , n  k

{ Mn } n 1
เป็ นลำดับไม่เพิ่มที่ล่เู ข้ำ และโดยบทแทรก 3.4.4
lim M  L + 
ทำให้ L –  n 
 n
lim sup s  L + 
L –  n 
n

เนื่องจำก  เป็ นจำนวนจริ งบวกใดๆ
lim sup sn = L
ดังนั้นย่อมได้วำ่ n 



sn } n 1
บทนิยาม 3.5.4 ให้ {
เป็ นลำดับของจำนวนจริ งที่มี
ขอบเขตล่ำง และ mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }
lim inf sn
ลิมิตอินฟี เรียร์ แทนด้วยn 

1. ถ้ำ {

m n } n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำ
2. ถ้ำ {

m n } n 1 เป็ นลำดับลู่ออกสู่ 
lim inf sn = lim mn
แล้วให้n 

n 
lim inf sn = 
แล้วให้ n 


sn } n 1
บทนิยาม 3.5.5 ให้ {
เป็ นลำดับของจำนวนจริ งที่
lim inf sn = –
ไม่มีขอบเขตล่ำง แล้วให้ n 


n

ตัวอย่ าง 5 { sn } n 1 = { (1) } n 1
{

sn } n 1 เป็ นลำดับที่มีขอบเขตล่ำง
mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –1 ทุก n

{ m n } n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำ
lim inf sn = lim mn = –1

n 
n 
ตัวอย่ าง 6 {
{

sn } n 1 คือ
2, 4, 6, 8, 10, …

sn } n 1 เป็ นลำดับที่มีขอบเขตล่ำง
mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 2n , n
{ m n }
n 1 เป็ นลำดับลู่ออกสู่ 
lim inf sn = 
ดังนั้น n 


ตัวอย่ าง

7 { sn } n 1 คือ 1, –2 , 1, –4, 1, –6, …

{ sn } n 1 เป็ นลำดับที่ไม่มีขอบเขตล่ำง
lim inf sn = –
ดังนั้น n 


ตัวอย่ าง 8 {
{

sn } n 1
= { (n1) }
n 1
n

sn } n 1 เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
lim sup sn = lim Mn = 0
n 
n 
lim inf sn = lim mn = 0
n 
n 


sn } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ งที่ล่เู ข้ำ
ทฤษฎีบท 3.5.6 ถ้ำ {
lim inf sn = lim sn
n 
n 

sn } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
ทฤษฎีบท 3.5.7 ถ้ำ {
lim inf sn = lim supn
n 
n 
แล้ว
แล้ว
การพิสูจน์

(1) ถ้ำ { sn } n 1 มีขอบเขต
mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }  l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = Mn
lim mn  lim Mn ดังนั้น lim inf sn  lim sup sn
n 
(2)
n 

ถ้ำ{ sn } n 1
n 
n 
ไม่มีขอบเขต
ดังนั้น lim sup sn =  หรื อ lim inf sn = –
n 
n 
จำก (1), (2) นัน่ คือ lim inf sn  lim sup sn
n 
n 


sn } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
ทฤษฎีบท 3.5.8 ถ้ำ {
lim sup sn = lim inf sn = L และ L
n 
n 
{

sn } n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำ
แล้ว
และ lim sn = L
n 
การพิสูจน์ ให้  > 0
lim sup sn
เนื่องจำก L = n 

lim l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }
= n

จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้
| l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | <  , n  k1
l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } < L +  , n  k1
ทำให้ sn < L +  , n  k1
lim inf sn
เนื่องจำก L =n 

lim g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }
= n

จะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้
| g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | <  , n  k2
L –  < g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k2
ทำให้ L –  < sn , n  k2
ให้ k = max { k1, k2 } ทำให้ L –  < sn < L +  , n  k
ดังนั้น | sn – L | <  , n  k
lim sn = L
นัน่ คือ n 


ทฤษฎีบท 3.5.9 ถ้ำ { sn } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง และ

lim sup sn =  = lim inf sn แล้วลำดับ { sn } n 1
n 
n 
เป็ นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์
การพิสูจน์ ให้ M > 0
เนื่องจำก lim inf sn = 
n 
จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } > M , n  k
sn  g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k
ดังนั้น sn > M , n  k
lim ลู่บวกออกสู่อนันต์
นั้นคือn 

21


sn } n 1 และ { t n } n 1 เป็ นลำดับ
ทฤษฎีบท 3.5.10 ถ้ำ {
จำนวนจริ ง และเป็ นลำดับ ที่มีขอบเขต ถ้ำ sn  tn , n
แล้ว
lim sup sn  lim sup tn
(1) n 

n 
(2) lim inf sn  lim inf tn
n 
n 
การพิสูจน์ เนื่องจำก sn  tn , n
Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }  l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = Mn

M n }n 1
{
และ {
ทฤษฎีบท 3.4.4

M n }n 1เป็ นลำดับไม่เพิม่ ที่ล่เู ข้ำ
lim sup sn  lim sup tn
ดังนั้นn 

n 
และจำก
mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }  g.l.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = mn

m n }n 1
{
ทฤษฎีบท 3.4.4

และ { mn }n 1 เป็ นลำดับไม่ลดที่ล่เู ข้ำ
lim inf sn  lim inf tn
ดังนั้น n 

n 
และจำก



sn } n 1 และ { t n } n 1 เป็ นลำดับ
ทฤษฎีบท 3.5.11 ถ้ำ {
จำนวนจริ ง และเป็ นลำดับ ที่มีขอบเขต แล้ว
(1) lim sup ( sn + tn )  lim sup sn + lim sup tn
n 
n 
n 
(2) lim inf ( sn + tn )  lim inf sn + lim inf tn
n 
n 
n 

sn } n 1

t n } n 1 เป็ นลำดับ
การพิสูจน์ (1) เนื่องจำก {
และ {
ที่มีขอบเขต
ให้ Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … }
sk  Mn ( k  n )
Pn = l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … }
tk  Pn ( k  n )


{
s
}
พิจำรณำ ผลบวกของลำดับ n n 1 กับ { t n } n 1
จะได้วำ่ sk + tk  Mn + Pn ( k  n )
ดังนั้น Mn + Pn เป็ นขอบเขตบนของ { sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … }
โดยทฤษฎีบท 3.4.4 และทฤษฎีบท 3.4.1
l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … }  Mn + Pn
lim (Mn + Pn)
lim l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } n 

n 
=
lim Mn +
n 
lim Pn
n 
นั้นคือ lim sup ( sn + tn )  lim sup sn + lim sup tn
n 
n 
n 
สำหรับกำรพิสูจน์ (2) สำมำรถทำได้ในทำนองเดียวกันกับ (1)


sn } n 1
ทฤษฎีบท 3.5.12 ให้ {
เป็ นลำดับจำนวนจริง และเป็ น
ลำดับทีม่ ขี อบเขต ถ้ำ lim sup sn = M แล้วสำหรับ  > 0
n 
(1) sn < M +  สำหรับทุกค่ำของ n ยกเว้นเพียงบำงค่ำ
มีเป็ นจำนวนจำกัด
(2) sn > M –  สำหรับ n มีเป็ นจำนวนอนันต์
การพิสูจน์
(1) สมมติขอ้ ควำม (1) ไม่จริ ง
จะมี  > 0 ที่ทำให้ sn  M +  สำหรับ n มีเป็ นจำนวน
อนันต์
ดังนั้นแต่ละ n , จะมี sk  { sn, sn+1, sn+2, … } ซึ่ง sk  M + 
ทำให้ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  M +  , n
lim l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  lim ( M +  )
n 
n 
lim sup sn  M + 
n 
ทำให้ M  M + 
เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ ทุก  > 0 , sn < M +  สำหรับทุกค่ำของ n
ยกเว้นเพียงบำงค่ำ และมีเป็ นจำนวนจำกัด
(2)
สมมติขอ้ ควำม (2) ไม่จริ ง
จะมี  > 0 ที่ทำให้ sn > M –  สำหรับ n บำงค่ำมีเป็ น
จำนวนจำกัด
ทำให้มีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn  M –  , n  k
ดังนั้น M –  เป็ นขอบเขตบนของ { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k
และ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  M – 
lim sup sn  M – 
n 
M  M–
เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ ทุก  > 0 , sn > M –  สำหรับค่ำของ n มีจำนวน
เป็ นอนันต์

ทำให้

sn } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
ทฤษฎีบท 3.5.13 ให้ {
ขอบเขตถ้ำ lim inf sn = m แล้วสำหรับ  > 0
ที่มี
n 
(1) sn > m –  สำหรับทุกค่ำของ n ยกเว้นเพียงบำงค่ำ
มีเป็ นจำนวนจำกัด
(2) sn < m +  สำหรับ n มีเป็ นจำนวนอนันต์
การพิสูจน์
(1) สมมติขอ้ ควำม (1) ไม่จริ ง
จะมี  > 0 ที่ทำให้ sn  m –  สำหรับ n มีเป็ นจำนวนอนันต์
ดังนั้น สำหรับแต่ละ n, จะมี sk { sn, sn+1, sn+2, … } ซึ่ง sk  m – 
ทำให้
g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  m –  , n
lim ( m –  )
lim g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  n 

n 
lim inf sn  m – 
n 
m  m –  เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือทุก  > 0 , sn > m –  สำหรับทุกค่ำของ n อำจยกเว้น
เพียงบำงค่ำมีเป็ นจำนวนจำกัด
(2)
สมมติขอ้ ควำม (2) ไม่จริ ง
จะมี  > 0 ที่ทำให้ sn < m +  สำหรับ n บำงค่ำมีเป็ นจำนวนจำกัด
ทำให้มีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn  m +  , n  k
ดังนั้น m +  เป็ นขอบเขตล่ำงของ { sn, sn+1, sn+2, … } , n  k
และ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }  m + 
inf sn  m + 
lim
m  m+
เกิดการขัดแย้ ง
n 
นัน่ คือทุก  > 0 , sn < m +  สำหรับ n มีเป็ นจำนวนอนันต์

ทฤษฎีบท 3.5.14 ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวแยร์ สตราสส์ สาหรับลาดับ
(The Bolzano–Weierstrass Theorem for Sequence)

sn } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ งที่มีขอบเขต แล้วจะมีลำดับ
ถ้ำ {
ย่อยที่เป็ นลำดับลู่เข้ำ

sn } n 1 เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
การพิสูจน์ เนื่องจำก {
ให้ lim sup sn = M
n 


สร้ำงลำดับย่อย { s n i }i 1 ของลำดับ { sn } n 1
โดยทฤษฎีบท 3.5.12 (2) จะได้วำ่ sn > M – 1 สำหรับ n มีเป็ น
จำนวนอนันต์
ให้ n1  ที่ s n > M – 1
1
และ sn > M21 – สำหรับ n มีเป็ นจำนวนอนันต์
1
s
ให้ n2  โดยที่ n1 < n2 และ n 2 > M – 2

sn } n 1
พจน์ต่อๆไปของ {
สร้ำงในทำนองเดียวกัน
โดยที่พจน์ที่ i ของลำดับย่อยนั้น ni > ni–1 และ
s n i> M – 1
i
.....()

ต่อไปจะแสดงว่ำลำดับย่อย { s n i }i 1
ลู่เข้ำ
ให้  > 0 โดยทฤษฎีบท 3.5.12 (1) จะได้วำ่ sn < M + 
สำหรับทุกค่ำ n
ยกเว้นเพียงบำงค่ำเป็ นจำนวนจำกัด
ดังนั้นจะมี k ที่ทำให้ sn < M +  , n  k
เลือก k  ซึ่ง 1 <  และ nk > k ทำให้
k
sn k < M + 
.....()
1
สำหรับ i  k จะได้วำ่ i <  และ ni > k
1
จำก () และ () จะได้วำ่ M –  < M – i < s n i < M +  , i  k
| sn – M | <  , i  k
i

นัน่ คือ { sn i } n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ M

ทฤษฎีบท 3.5.15 ให้ F เป็ นเซตย่อยของเซตจำนวนจริ ง

F เป็ นเซตปิ ด ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ { x n }n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง และ
เป็ นลำดับลู่เข้ำ ที่ xnF สำหรับทุก n แล ้ว lim xn เป็ น
n 
สมำชิกของ F
การพิสูจน์

(  ) เนื่องจำก{ x n }n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำ ให้ lim xn = x
n 
จะแสดงว่ำ xF
สมมติ xF ดังนั้น xF
เนื่องจำก F เป็ นเซตเปิ ด จะมี  > 0 ซึ่งทำให้
( x – , x +  )  F
เนื่องจำก x = lim xn จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง
n 
| xn – x | <  สำหรับ n k ดังนั้น xnF
เกิดกำรขัดแย้งเพรำะ xnF สำหรับทุก n
ดังนั้น xF
(  ) สมมติ F ไม่ใช่เซตปิ ด ดังนั้น F ไม่ใช่เซตเปิ ด
จึงมี y0F

สำหรับแต่ละ n สร้ำงลำดับ { yn }n 1 โดย ynF ซึ่ง
1
| y n – y0 | < n

{ y n }n 1 เป็ นลำดับใน F ที่ lim yn = y0F
n 
เกิดกำรขัดแย้ง
ดังนั้น F เป็ นเซตปิ ด
