Transcript การดำเนินการของลำดับ

การดาเนินการของลาดับ

sn }n 1

tn }n1
กำหนด {
,{
เป็ นลำดับจำนวนจริ ง ต่ำงก็เป็ นฟังก์ชนั
จำกเซตจำนวนเต็มบวกไปยังเซตจำนวนจริ ง ทำให้กำรดำเนินกำร
ทำงพีชคณิ ต บวก, ลบ, คูณ, หำรของลำดับย่อมทำได้ตำม
บทนิยำม 1.2.11
เช่น
{

sn }n 1

tn }n1
{

sn }n 1

tn }n1
+ {

ย่อมได้ลำดับใหม่ แทนด้วย { s n  t n } n  1
 {

ย่อมได้ลำดับใหม่ แทนด้วย { s n  t n } n  1
ทฤษฎีบท 3.4.1 ให้ {

sn }n 1
และ {

t n } n  1 เป็ นลำดับ
จำนวนจริ ง ถ้ำ lim s n = L และ lim t n = M
n 
n 
แล้วลิมิตของผลบวกลำดับย่อมเท่ำกับผลบวกของลิมิต
นัน่ คือ lim ( s n  t n ) = L+M
n 
การพิสูจน์ ให้  > 0
(จะหำจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | ( sn + tn ) – ( L + M ) | <  ,
n  k)
lim s n = L ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
เนื่องจำก n 
1


| sn – L | < 2
, n  k1
lim t n = M ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
และ n 
2


| tn – M | < 2
, n  k2
ให้ k = max { k1, k2 }
พิจำรณำ | ( sn + tn ) – ( L + M ) | = | ( sn – L ) + ( tn – M ) |
 | sn – L | + | tn – M |
ดังนั้น | ( sn + tn ) – ( L + M ) |

<2
lim ( s n  t n ) = L + M
นั้นคือ n 


2
+ =  , nk

ทฤษฎีบท 3.4.2 ให้ {
ถ้ำ c

sn }n 1
เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
lim ( cs n ) = cL
และ lim s n = L แล้ว n 

n 
lim ( cs n ) = cL
การพิสูจน์ ถ้ำ c = 0 เห็นได้ชดั ว่ำ n 

ถ้ำ c  0
ให้  > 0
lim s n = L ดังนั้นจะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
เนื่องจำก n 


| sn – L | < | c | , n  k
| c || sn – L | < 
ดังนั้น
,nk
| csn – cL | < 
lim ( cs n ) = cL
นั้นคือ n 

,nk

ทฤษฎีบท 3.4.3 ให้
{

sn }n 1
และ {

tn }n1
เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
lim s n = L และ lim t n = M แล้ว lim ( s n  t n ) = L - M
ถ้ำ n 

n 
n 
lim t n = M โดยทฤษฎีบท 3.4.2
การพิสูจน์ จำก n 

lim (  1) t n = - M โดยทฤษฎีบท 3.4.1,
n 
lim ( s n  t n )
n 
=
lim ( s n  (  t n ))
n 
= L–M

บทแทรก 3.4.4
ให้ {

sn }n 1
ถ้ำ sn  tn สำหรับ n
และ{

tn }n1
เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
lim s n = L , lim t n = M
และ n 
n 

แล้ว L  M
การพิสูจน์
เนื่องจำก tn  sn , n ดังนั้น tn – sn  0
จำกทฤษฎีบท 3.1.3 ทำให้ {
tn
ลู่เข้ำสู่ค่ำที่มำกกว่ำหรื อเท่ำกับ 0

sn }n 1
lim ( t n  s n ) = M – L  0
และ n 

นัน่ คือ L  M

ทฤษฎีบท 3.4.5 ให้
{

sn }n 1
และ {

tn }n1
เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
lim s n = L และ lim t n = M แล้ว lim ( s n  t n ) = LM
ถ้ำ n 

n 
n 
การพิสูจน์ ให้  > 0
(จะหำจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | ( sn tn ) – ( LM ) | <  , n  k)
พิจำรณำ ( sn tn ) – ( LM ) = ( sn tn ) – ( L tn ) + ( L tn ) – ( LM )
= tn( sn – L ) + L( tn – M )
ดังนั้น | ( sn tn ) – ( LM ) |  | tn|| sn – L | + | L || tn – M |

tn }n1
เป็ นลำดับลู่เข้ำจึงเป็ นลำดับมีขอบเขต จะมี P1 > 0 ที่
ทำให้ | tn |  P1 , n
{
ให้ P = max { P1, | L | } ดังนั้น P > 0
| ( sn tn ) – ( LM ) |  P | sn – L | + P | tn – M |
จำก  > 0, P > 0
ดังนั้น

2P
เป็ นจำนวนจริ งบวก
lim t = M จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
เนื่องจำก n 
 n
1

| tn – M | < 2 P
เนื่องจำก
, n  k1
lim sn = L จะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้
n 

| sn – L | < 2 P
, n  k2
ให้ k = max { k1, k2 }


ดังนั้น | ( sn tn ) – ( LM ) | < P2 P + P 2 P =  , n  k
lim ( s n  t n ) = LM
นั้นคือ n 



tn }n1
บทตั้ง 3.4.6 ให้ {
เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
1
lim
t
lim t = 1
ถ้ำ n   n = M และ M  0 แล้ว n 
M
 n
การพิสูจน์ ให้  > 0
1 1
(จะหำจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | t n - M | <  , n  k)
lim t n = M และ | M2 | > 0
เนื่องจำก n 

จะมีจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้
แต่
| | tn | – | M | | < | t n – M |
|M|
| tn – M | < 2
, n  k1
ทำให้
, n  k1
|M|
| | tn | – | M | | < 2
|M|
2
< | tn | < | M | , n  k1
3
2
และจะมีจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ | tn – M | < M2  , n  k2
เลือก k = max { k1, k2 }
2
1
| tn
1
-M
นั้นคือ n lim
|=
| tn  M |
| tnM |
1
< M2
2
1
1
=
tn
M
=
M

 2
2
1
| tnM |
| tn – M |
=  , nk

ทฤษฎีบท 3.4.7 ให้ {

sn }n 1
และ { t n } n  1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
lim s n = L และ lim t n = M โดยที่ M  0 แล้ว
ถ้ำ n 

n 
lim
n 
sn
tn
=
L
M
การพิสูจน์ เนื่องจำก = lim t n M และ M  0
n 
โดยทฤษฎีบท 3.4.6 จะได้วำ่ lim
n 
1
tn
1
=M
พิจำรณำ
lim
n 
sn
tn
1
= lim s n  t
n
n 
lim
โดยทฤษฎีบท 3.4.5 จะได้n 

sn
1 =L
=
L
tn
M M

กำรดำเนินกำรของลำดับลู่ออก
ให้ {
{

sn }n 1

tn }n1
=

{ n }n1
เป็ นลำดับลู่ออก
=

{  n }n1
เป็ นลำดับลู่ออก
ผลบวกของลำดับทั้งสอง { s n 
หรื อ

tn }n1
= {0

}n1
เป็ นลำดับลู่เข้ำ
ให้ {

sn }n 1
{

tn }n1
={
=
2 
n }n1

{ n }n1
ผลบวกของลำดับทั้งสอง { s n 
เป็ นลำดับลู่ออก
เป็ นลำดับลู่ออก
เป็ นลำดับลู่ออก

tn }n1
={n  n
2

}n1

sn }n 1

tn }n1
ทฤษฎีบท 3.4.8 ให้ {
และ {
เป็ นลำดับของจำนวนจริ งที่ล่อู อกสู่บวกอนันต์ แล้วผลบวก
และผลคูณของลำดับทั้งสองจะเป็ นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์
การพิสูจน์ ให้ M > 0

เนื่องจำก { s n } n  1 ลู่ออกสู่บวกอนันต์
เลือกจำนวนเต็มบวก k1 ที่ทำให้ sn > M , n  k1

จำก { t n } n  1 ลู่ออกสู่บวกอนันต์
เลือกจำนวนเต็มบวก k2 ที่ทำให้ tn > 1 , n  k2
ให้ k = max { k1 , k2 }
ดังนั้น sn + tn > M + 1 > M , n  k
และ sn  tn > M , n  k
นั้นคือ { s n 
{

tn }n1

s n t n } n  1
ลู่ออกสู่บวกอนันต์ และ
ลู่ออกสู่บวกอนันต์

ทฤษฎีบท 3.4.9 ให้ {
จำนวนจริ ง ที่ {
{

sn }n 1

sn }n 1
และ {

sn }n 1
เป็ นลำดับ
เป็ นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ และ

t n } n  1เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
เป็ นลำดับที่ล่อู อกสู่บวกอนันต์
แล้ว { s n 

tn }n1
การพิสูจน์ ให้ M > 0

เนื่องจำก{ t n } n  1 เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
จะมี Q > 0 ที่ทำให้ | tn |  Q , n

และจำก { s n } n  1 เป็ นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์
จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ sn > M + Q , n  k
เนื่องจำก sn + tn  sn – | tn |
ดังนั้น sn + tn > ( M + Q ) – Q = M , n  k
นัน่ คือ { s n 

tn }n1
เป็ นลำดับที่ล่อู อกสู่บวกอนันต์

1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
ผลบวกของลำดับทั้งสองคือ 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, …
ผลบวกของลำดับแกว่งกวัดอำจเป็ นลำดับลู่ออกสู่ ลบอนันต์ เช่น
1, –2, 1, –4, 1, –6, 1, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
–2, 0, –4, 0, –6, 0, –8, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
ผลบวกของลำดับทั้งสองคือ –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, …