ลำดับลู่เข้ ำ และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยำม 3.2.1 ให้ { sn } n 1 (1) ถ้ำ lim s n = L.
Download ReportTranscript ลำดับลู่เข้ ำ และลำดับลู่ออก (Convergent Sequences and Divergent Sequences) บทนิยำม 3.2.1 ให้ { sn } n 1 (1) ถ้ำ lim s n = L.
Slide 1
Slide 2
ลำดับลู่เข้ ำ และลำดับลู่ออก
(Convergent Sequences and Divergent Sequences)
บทนิยำม 3.2.1 ให้ {
sn } n 1
(1) ถ้ำ lim s n = L เรี ยก {
n
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
s n } n 1 ว่ำเป็ น ลำดับลู่เข้ ำ
(convergent sequence) และ {
sn } n 1
ลู่เข้ำสู่ค่ำ L
Slide 3
s n } n 1 ไม่มีลิมิต
(2) ถ้ำ {
เรี ยก {
ลำดับลู่ออก (divergentsequence)
sn } n 1
ว่ำเป็ น
1, 1 , 31 , 41 , 51 , . . . , n1 , . . . เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ 0
2
2, 2, 2, 2, …, 2, ...
เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ 2
2
2
n
{ 2
}n 1
n 4
เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ 2
Slide 4
{
2n }n1
ไม่มีลิมิต
0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1)n, ... ไม่มีลิมิต
ทฤษฎีบท 3.2.2 ถ้ำ {
และ{
sn } n 1
s n } n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำ
หนึ่งค่ำเดียวเท่ำนั้น
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
แล้ว { s n } n 1 จะลู่เข้ำสู่ ค่ำ
Slide 5
กำรพิสูจน์ สมมติให้ลำดับ {
ให้
s n } n 1 ลูเ่ ข้าสูจ่ านวนจริงมากกว่า
lim s n = L
n
lim s n = M โดยที่ L M
และ n
ดังนั้น | M – L | > 0
ให้ = 21 | M – L |
lim s n = L จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
เนื่องจำกn
1
1
| sn – L | < 2
1 ค่า
| M – L | , n k1
Slide 6
lim s n = M จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
และเนื่องจำก n
2
1
| sn – M | < 2 | M – L |
, n k2
ให้ k = max { k1, k2 }
ดังนั้น | sn – L | <
1
2|M–L|
, n k และ
| sn – M | < 21 | M – L | , n k
Slide 7
แต่ | M – L | = | M – sn + sn – L |
| sn – M | + | sn – L |
1
1
< 2|M–L|+ 2
|M–L| ,nk
ทำให้ | M – L | < | M – L | ซึ่งเป็ นไปไม่ได้
นัน่ คือ {
s n } n 1 ลู่เข้ำสู่ ค่ำหนึ่ งค่ำเดียวเท่ำนั้น
Slide 8
ทฤษฎีบท 3.2.3 ถ้ำ {
sn } n 1
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง และ
{ s n } n 1 ลู่เข้ำสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ
{ s n } n 1 จะลู่เข้ำสู่ L
กำรพิสูจน์ ให้ {
sn } i 1
i
เป็ นลำดับย่อยของ {
sn } n 1
โดยนิยำมของลำดับย่อย จะได้ n1 < n2 < n3 < … < ni <
… , ni , i
ทำให้ ni i , i
Slide 9
lim s n = L
เนื่องจำก n
ดังนั้นทุก > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้
| sn – L | < , n k
เลือก k = nk k
สำหรับ i k , ni nk
ทำให้ |s n i – L | < เมื่อ i k
นั้นคือ i lim s n i = L
Slide 10
บทแทรก 3.2.4 ลำดับย่อยของลำดับที่ล่เู ข้ำ ย่อมลู่เข้ำสู่ ค่ำเดียวกัน
sn } n 1
กำรพิสูจน์ จำกทฤษฎีบท 3.2.2 ลำดับ {
เป็ นลำดับลู่เข้ำ
ย่อมลู่เข้ำสู่ ค่ำหนึ่งค่ำเดียวเท่ำนั้นและจำกทฤษฎีบท 3.2.3
ลำดับย่อยของลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ ค่ำ L เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ค่ำ L
นัน่ คือ ลำดับย่อยของลำดับที่ล่เู ข้ำ ย่อมลู่เข้ำสู่ค่ำเดียวกัน
Slide 11
sn } n 1
n
ตัวอย่ ำง 1 {
=
มีลำดับย่อย คือ
ลำดับ 1, 1, 1, …
เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ 1
และ ลำดับ –1, –1, –1, … เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ –1
ดังนั้น {
{ ( 1) } n 1
n
( 1) } n 1
เป็ นลำดับลู่ออก
Slide 12
sn } n 1
sn } n 1
บทนิยำม 3.2.5 ให้ {
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
จะเรี ยกลำดับ {
ลู่ออกไปยังบวกอนันต์
(diverges to infinity ) เมื่อ n เข้ำสู่ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับจำนวนจริ งบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k
ซึ่งทำให้ sn > M สำหรับ n k
ลำดับ{ s n } n 1 ลู่ออกสู่ อำจเขียนแทนด้วย
lim s n = (หรื อ s เมื่อ n )
n
n
Slide 13
ตัวอย่ ำง 2 กำหนด {
sn } n 1
=
{ n }n1
ให้ M > 0 โดยสมบัติอำร์คีมิเดียน สำมำรถหำจำนวนเต็มบวก
k ซึ่ง k > M
ทำให้ n > M , n k
นัน่ คือ lim n =
n
Slide 14
s n } n 1 เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
บทนิยำม 3.2.6 ให้ {
จะเรี ยกลำดับ { s n } n 1 ลู่ออกไปยังค่ ำลบอนันต์ (diverges to
minus infinity –) เมื่อ n เข้ำสู่ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ
จำนวนจริ งบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn < –M
สำหรับ n k
{ s n } n 1 ลู่ออกสู่ – อำจเขียนแทนด้วย
lim s n
n
= – (หรื อsn – เมื่อ n )
Slide 15
sn } n 1
ตัวอย่ ำง 3 กำหนด {
= { n }n 1
ให้ M > 0 จำกสมบัติอำร์คีมิเดียน สำมำรถหำ
จำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M
ดังนั้น –n –k < –M , n k
lim n = –
นั้นคือ n
Slide 16
s n } n 1 เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
บทนิยำม 3.2.7 ถ้ำ {
ลำดับ
{ s n } n 1 เป็ นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ ค่ำ
อนันต์ หรื อ ค่ำลบอนันต์ จะเรี ยก { s n } n 1 ว่ำเป็ น
ลำดับแกว่ งกวัด (oscillating sequence)
Slide 17
sn } n 1
n
( 1) } n 1
ตัวอย่ ำง 4 (1) {
={
–1, 1,–1, 1,–1, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
เพรำะเป็ นลำดับลู่ออก แต่ไม่ล่เู ข้ำสู่ อนันต์ หรื อลบอนันต์
(2) ลำดับ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
เพรำะเป็ นลำดับลู่ออก แต่ไม่ล่เู ขำสู่อนันต์ หรื อลบอนันต์
Slide 18
ลำดับที่มีขอบเขต
บทนิยำม 3.2.8 ให้ { s n } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
(1) ลำดับ { s n } n 1 มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ
{ s n } n 1 มีขอบเขตบน
sn } n 1
(2) ลำดับ {
มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ
{ s n } n 1 มีขอบเขตล่ำง
sn } n 1
(3) ลำดับ {
มี ขอบเขต ถ้ำมีจำนวนจริ งบวก
M ซึ่งทำให้ | sn| M, n
Slide 19
sn } n 1
หรื อ ลำดับ {
มีขอบเขต เมื่อเรนจ์ของลำดับ {
มีขอบเขตบน และขอบเขตล่ำง
sn } n 1
Slide 20
ทฤษฎีบท 3.2.9 ถ้ำ {
sn } n 1
เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
sn } n 1
เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำ แล้ว{
sn } n 1
lim s n = L
กำรพิสูจน์ เนื่องจำก {
เป็ นลำดับลู่เข้ำ ให้n
ถ้ำให้ = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้
| sn – L | < 1
, nk
| | sn| – | L | | | sn – L | < 1
, nk
| sn | < | L | + 1
, nk
Slide 21
ให้ M = max { | s1 |, | s2 |, | s3 |, …, | sk–1 | }
ทำให้ | sn | < M + | L | + 1 , n\
นั้นคือ {
sn } n 1
เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
Slide 22
บทกลับของทฤษฎีบท 3.2.9 ไม่จริ ง เพรำะลำดับที่มีขอบเขต
ไม่จำเป็ นต้องเป็ นลำดับลู่เข้ำ เช่น 1, –1, 1, –1, ..., (–1)n+1, ...
Slide 2
ลำดับลู่เข้ ำ และลำดับลู่ออก
(Convergent Sequences and Divergent Sequences)
บทนิยำม 3.2.1 ให้ {
sn } n 1
(1) ถ้ำ lim s n = L เรี ยก {
n
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
s n } n 1 ว่ำเป็ น ลำดับลู่เข้ ำ
(convergent sequence) และ {
sn } n 1
ลู่เข้ำสู่ค่ำ L
Slide 3
s n } n 1 ไม่มีลิมิต
(2) ถ้ำ {
เรี ยก {
ลำดับลู่ออก (divergentsequence)
sn } n 1
ว่ำเป็ น
1, 1 , 31 , 41 , 51 , . . . , n1 , . . . เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ 0
2
2, 2, 2, 2, …, 2, ...
เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ 2
2
2
n
{ 2
}n 1
n 4
เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ 2
Slide 4
{
2n }n1
ไม่มีลิมิต
0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1)n, ... ไม่มีลิมิต
ทฤษฎีบท 3.2.2 ถ้ำ {
และ{
sn } n 1
s n } n 1 เป็ นลำดับลู่เข้ำ
หนึ่งค่ำเดียวเท่ำนั้น
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
แล้ว { s n } n 1 จะลู่เข้ำสู่ ค่ำ
Slide 5
กำรพิสูจน์ สมมติให้ลำดับ {
ให้
s n } n 1 ลูเ่ ข้าสูจ่ านวนจริงมากกว่า
lim s n = L
n
lim s n = M โดยที่ L M
และ n
ดังนั้น | M – L | > 0
ให้ = 21 | M – L |
lim s n = L จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
เนื่องจำกn
1
1
| sn – L | < 2
1 ค่า
| M – L | , n k1
Slide 6
lim s n = M จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้
และเนื่องจำก n
2
1
| sn – M | < 2 | M – L |
, n k2
ให้ k = max { k1, k2 }
ดังนั้น | sn – L | <
1
2|M–L|
, n k และ
| sn – M | < 21 | M – L | , n k
Slide 7
แต่ | M – L | = | M – sn + sn – L |
| sn – M | + | sn – L |
1
1
< 2|M–L|+ 2
|M–L| ,nk
ทำให้ | M – L | < | M – L | ซึ่งเป็ นไปไม่ได้
นัน่ คือ {
s n } n 1 ลู่เข้ำสู่ ค่ำหนึ่ งค่ำเดียวเท่ำนั้น
Slide 8
ทฤษฎีบท 3.2.3 ถ้ำ {
sn } n 1
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง และ
{ s n } n 1 ลู่เข้ำสู่ L แล้วลำดับย่อยใดๆของ
{ s n } n 1 จะลู่เข้ำสู่ L
กำรพิสูจน์ ให้ {
sn } i 1
i
เป็ นลำดับย่อยของ {
sn } n 1
โดยนิยำมของลำดับย่อย จะได้ n1 < n2 < n3 < … < ni <
… , ni , i
ทำให้ ni i , i
Slide 9
lim s n = L
เนื่องจำก n
ดังนั้นทุก > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้
| sn – L | < , n k
เลือก k = nk k
สำหรับ i k , ni nk
ทำให้ |s n i – L | < เมื่อ i k
นั้นคือ i lim s n i = L
Slide 10
บทแทรก 3.2.4 ลำดับย่อยของลำดับที่ล่เู ข้ำ ย่อมลู่เข้ำสู่ ค่ำเดียวกัน
sn } n 1
กำรพิสูจน์ จำกทฤษฎีบท 3.2.2 ลำดับ {
เป็ นลำดับลู่เข้ำ
ย่อมลู่เข้ำสู่ ค่ำหนึ่งค่ำเดียวเท่ำนั้นและจำกทฤษฎีบท 3.2.3
ลำดับย่อยของลำดับที่ล่เู ข้ำสู่ ค่ำ L เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ค่ำ L
นัน่ คือ ลำดับย่อยของลำดับที่ล่เู ข้ำ ย่อมลู่เข้ำสู่ค่ำเดียวกัน
Slide 11
sn } n 1
n
ตัวอย่ ำง 1 {
=
มีลำดับย่อย คือ
ลำดับ 1, 1, 1, …
เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ 1
และ ลำดับ –1, –1, –1, … เป็ นลำดับลู่เข้ำสู่ –1
ดังนั้น {
{ ( 1) } n 1
n
( 1) } n 1
เป็ นลำดับลู่ออก
Slide 12
sn } n 1
sn } n 1
บทนิยำม 3.2.5 ให้ {
เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
จะเรี ยกลำดับ {
ลู่ออกไปยังบวกอนันต์
(diverges to infinity ) เมื่อ n เข้ำสู่ ก็ต่อเมื่อ
สำหรับจำนวนจริ งบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k
ซึ่งทำให้ sn > M สำหรับ n k
ลำดับ{ s n } n 1 ลู่ออกสู่ อำจเขียนแทนด้วย
lim s n = (หรื อ s เมื่อ n )
n
n
Slide 13
ตัวอย่ ำง 2 กำหนด {
sn } n 1
=
{ n }n1
ให้ M > 0 โดยสมบัติอำร์คีมิเดียน สำมำรถหำจำนวนเต็มบวก
k ซึ่ง k > M
ทำให้ n > M , n k
นัน่ คือ lim n =
n
Slide 14
s n } n 1 เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
บทนิยำม 3.2.6 ให้ {
จะเรี ยกลำดับ { s n } n 1 ลู่ออกไปยังค่ ำลบอนันต์ (diverges to
minus infinity –) เมื่อ n เข้ำสู่ ก็ต่อเมื่อ สำหรับ
จำนวนจริ งบวก M จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn < –M
สำหรับ n k
{ s n } n 1 ลู่ออกสู่ – อำจเขียนแทนด้วย
lim s n
n
= – (หรื อsn – เมื่อ n )
Slide 15
sn } n 1
ตัวอย่ ำง 3 กำหนด {
= { n }n 1
ให้ M > 0 จำกสมบัติอำร์คีมิเดียน สำมำรถหำ
จำนวนเต็มบวก k ซึ่ง k > M
ดังนั้น –n –k < –M , n k
lim n = –
นั้นคือ n
Slide 16
s n } n 1 เป็ นลำดับของจำนวนจริ ง
บทนิยำม 3.2.7 ถ้ำ {
ลำดับ
{ s n } n 1 เป็ นลำดับลู่ออก แต่ไม่ใช่ลำดับลู่ออกสู่ ค่ำ
อนันต์ หรื อ ค่ำลบอนันต์ จะเรี ยก { s n } n 1 ว่ำเป็ น
ลำดับแกว่ งกวัด (oscillating sequence)
Slide 17
sn } n 1
n
( 1) } n 1
ตัวอย่ ำง 4 (1) {
={
–1, 1,–1, 1,–1, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
เพรำะเป็ นลำดับลู่ออก แต่ไม่ล่เู ข้ำสู่ อนันต์ หรื อลบอนันต์
(2) ลำดับ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็ นลำดับแกว่งกวัด
เพรำะเป็ นลำดับลู่ออก แต่ไม่ล่เู ขำสู่อนันต์ หรื อลบอนันต์
Slide 18
ลำดับที่มีขอบเขต
บทนิยำม 3.2.8 ให้ { s n } n 1 เป็ นลำดับจำนวนจริ ง
(1) ลำดับ { s n } n 1 มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ
{ s n } n 1 มีขอบเขตบน
sn } n 1
(2) ลำดับ {
มี ขอบเขตบน เมื่อเรนจ์ของลำดับ
{ s n } n 1 มีขอบเขตล่ำง
sn } n 1
(3) ลำดับ {
มี ขอบเขต ถ้ำมีจำนวนจริ งบวก
M ซึ่งทำให้ | sn| M, n
Slide 19
sn } n 1
หรื อ ลำดับ {
มีขอบเขต เมื่อเรนจ์ของลำดับ {
มีขอบเขตบน และขอบเขตล่ำง
sn } n 1
Slide 20
ทฤษฎีบท 3.2.9 ถ้ำ {
sn } n 1
เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
sn } n 1
เป็ นลำดับที่ล่เู ข้ำ แล้ว{
sn } n 1
lim s n = L
กำรพิสูจน์ เนื่องจำก {
เป็ นลำดับลู่เข้ำ ให้n
ถ้ำให้ = 1 จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้
| sn – L | < 1
, nk
| | sn| – | L | | | sn – L | < 1
, nk
| sn | < | L | + 1
, nk
Slide 21
ให้ M = max { | s1 |, | s2 |, | s3 |, …, | sk–1 | }
ทำให้ | sn | < M + | L | + 1 , n\
นั้นคือ {
sn } n 1
เป็ นลำดับที่มีขอบเขต
Slide 22
บทกลับของทฤษฎีบท 3.2.9 ไม่จริ ง เพรำะลำดับที่มีขอบเขต
ไม่จำเป็ นต้องเป็ นลำดับลู่เข้ำ เช่น 1, –1, 1, –1, ..., (–1)n+1, ...