Slide 1


Slide 2

6.1 การอินทิเกรตได้ ของรีมันน์ (Riemann Integrability)
บทนิยาม 6.1.1 ให้ [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ดใดๆ และ P = { x0, x1,
x2, …, xn } เป็ นเซตของจุดบน [ a, b ] โดยที่ a = x0 < x1 < x2
< … < xn = b
จะเรี ยก P ว่าเป็ น ผลแบ่ งกั้น (partition) ของ [ a, b ]


Slide 3

จุดในผลแบ่งกั้น P แบ่งช่วง [ a, b ] ออกเป็ นช่วงย่อย n ช่วง คือ
n
[x0, x1], [x1, x2], …, [xn–1, xn] โดยที่ i 1[ x i  1 , x i ] = [ a, b ] และ
[xi–1, xi]  [xj–1, xj] =  , i  jดังรู ป 6.1.1

a = x0

x1 x2

xk–1

xk

ผลแบ่ งกั้นอันหนึ่งของ [a, b]

xn–1 xn= b


Slide 4

บทนิยาม 6.1.2 ให้ f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มี
ขอบเขตบน [ a, b ] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็ นผลแบ่ง
กั้นบนของ [ a, b ] สาหรับ k = 1, 2, 3, …, n
ให้ mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }
Mk = l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] }


Slide 5

บทนิยาม 6.1.3 ให้ f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มี
ขอบเขตบน [a, b] และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็ นผล
แบ่งกั้นบนของ [ a, b ]
ผลบวกล่ าง (lower sum) ของ f ที่มี P เป็ นผลแบ่งกั้น แทนด้วย
L( P; f ) เมื่อ

L( P; f ) =

n
 m k (xk – xk–1)
k1


Slide 6

ผลบวกบน (upper sum) ของ f ที่มี P เป็ นผลแบ่งกั้น แทน
ด้วย U( P; f ) เมื่อ
U( P; f ) =

n
 Mk
k1

ผลบวกล่ าง L( P; f )

(xk – xk–1)

ผลบวกบน U( P; f )


Slide 7

บทตั้ง 6.1.4 ถ้า f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขตบน
[ a, b ] และ P เป็ นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] แล้ว
L( P; f )  U( P; f )
การพิสูจน์ ให้ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็ นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ]
mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] สาหรับ k = 1, 2, 3, …, n }
 l.u.b.{ f(x) | x[xk–1, xk] สาหรับ k = 1, 2, 3, …, n } = Mk
ดังนั้น mk  Mk สาหรับ k = 1, 2, 3, …, n


Slide 8

L( P; f )

n
=  mk
k1



n
 Mk
k1

(xk – xk–1)
(xk – xk–1)

= U( P; f )




Slide 9

บทนิยาม 6.1.5 ให้ P, Q เป็ นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] ที่
P  Q แล้วจะเรี ยก Q ว่า ผลแบ่ งกั้นที่ละเอียด(refinement) ของ P
บทตั้ง 6.1.6 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขต
บนช่วงปิ ด [ a, b ] P เป็ นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] และ Q เป็ นผล
แบ่งกั้นที่ละเอียดของ P แล้ว
(1) L( P; f )  L( Q; f )
(2) U( Q; f )  U( P; f )


Slide 10

การพิสูจน์ ให้ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็ นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ]
P = P{ z } โดยที่ xk–1 < z < xk
ดังนั้น P = { x0, x1, x2, …, xk–1, z, xk, …, xn }
P เป็ นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดของ P
(1)

ให้ mk = g.l.b.{ f(x) | x[xk–1, z] }
mk = g.l.b.{ f(x) | x[z, x k] }
ดังนั้น mk  mk และ mk  mk


Slide 11

L( P; f ) = m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(xk–xk–1)+ …+mn(xn–xn–1)

= m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(z–xk–1)+mk(xk–z)+ …+mn(xn–xn–1)

 m1(x1–x0)+m2(x2–x1)+ …+mk(z–xk–1)+mk(xk–z)+ …+mn(xn–xn–1)

= L( P; f )
L( P; f )  L( P; f ) เมื่อ P มีสมาชิกเพิ่ม 1 ตัว จาก P ในช่วงที่ k
ถ้า Q เป็ นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดใดๆของ P ดังนั้น

Q = P{ z1, z2, z3, ..., zi } ซึ่ง xj–1 < zi < xj , i j = 1, 2, 3, ..., n

สามารถแสดงการแบ่งช่วงที่ zi เป็ นสมาชิกได้ในทานองเดียวกัน
ดังข้างต้น และย่อมได้วา่
L( P; f )  L( Q; f )
(2) ให้ผอู้ ่านพิสูจน์เป็ นแบบฝึ กหัด



Slide 12

บทตั้ง 6.1.7 ให้ f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขตบน [ a, b ]
ถ้า P1, P2 เป็ นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] แล้ว L( P1; f )  U( P2; f )
การพิสูจน์ ให้ Q = P1P2
ดังนั้น Q เป็ นผลแบ่งกั้นของ [ a, b ] ซึ่งเป็ นผลแบ่งกั้นที่
ละเอียดของ P1, P2
จากบทตั้ง 6.1.4 และบทตั้ง 6.1.6
จึงได้วา่ L( P1; f )  L( Q; f )  U( Q; f )  U( P2; f )



Slide 13

อินทิกรัลบน และอินทิกรัลล่ าง (Upper and Lower Integrals)
ให้ f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขตบน [ a, b ]
ถ้า P เป็ นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] สามารถคานวณหาค่า
U( P; f ) และ L( P; f )หรื ออาจกล่าวได้วา่ แต่ละผลแบ่งกั้น P ให้
ค่าจานวนจริ ง 2 จานวนให้ [a, b] เป็ นหมู่ (collection) ของผล
แบ่งกั้นทั้งหมดบน [ a, b ] [a, b] จึงกาหนดเซตได้ 2 เซต คือ
เซตของผลบวกบน { U( P; f ) | P [a, b] } และ
เซตของผลบวกล่าง { L( P; f ) | P [a, b] }


Slide 14

บทนิยาม 6.1.8 ให้ f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขต
1) อินทิกรัลล่ าง (lower integral) ของ f บน [ a, b ] แทนด้วย
b
 a f(x)dx หมายถึง จานวนจริ ง ซึ่ง
b
 a f(x)dx = l.u.b.{ L( P; f ) | P [a, b] }

2) อินทิกรัลบน (upper integral) ของ f บน [ a, b ] แทนด้วย
b
 a f(x)dx หมายถึง จานวนจริ ง ซึ่ง
b
 af(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P [a, b] }


Slide 15

ทฤษฎีบท 6.1.9 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขต
แล้ว
b
b
 af(x) dx   a f(x) dx
การพิสูจน์ ให้ P1, P2 เป็ นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ]

โดยบทตั้ง 6.1.7 ได้วา่ L( P1; f )  U( P2; f )


Slide 16

U( P2; f ) ย่อมเป็ นขอบเขตบนตัวหนึ่งของ { L( P; f ) |
P [a, b] }
b
และ  f(x) dx = l.u.b{ L( P; f ) | P [a, b] }  U( P2; f )
a
b
เนื่องจาก P2 เป็ นผลแบ่งกั้นใดๆของ [ a, b ] ดังนั้น  a f(x) dx

เป็ นขอบเขตล่างตัวหนึ่งของ { U( P; f ) | P [a, b] } และ
b
 a f(x) dx

 g.l.b.{ U( P; f ) | P [a, b] }
b
นัน่ คือ  af(x) dx



b
 a f(x) dx


Slide 17


Slide 18

บทนิยาม 6.1.10 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขต
บน [ a, b ] แล้วจะเรี ยก f ว่าเป็ น ฟังก์ ชันที่มีรีมันน์ อนิ ทิกรัล
(Riemann–integrable) บน [ a, b ]
b
b
ถ้า  f(x)dx =  af(x)dx
a

b
และเขียนแทนด้วย  f ( x ) dx
a


Slide 19

ตัวอย่ าง 1 ให้ f(x) = x , x[ 0, 1 ]
ให้ Pn เป็ นผลแบ่งกั้นของ [ 0, 1 ] โดยแบ่ง [ 0, 1 ] ออกเป็ น n
ช่วงดังนี้
2
n
1
3
Pn = { 0, n , n , n , . . . , n = 1 }
เนื่องจาก f(x) = x เป็ นฟังก์ชนั เพิ่มที่มีขอบเขต มีค่าสูงสุ ด และ
ค่าต่าสุ ดในแต่ละช่วง
พิจารณาช่วงที่ k [ k n 1 , nk ] จะได้วา่ Mk = nk
และ mk = k n 1 และความกว้างของช่วง k คือ
1 ทุก k = 1, 2, 3, ..., n
k
k1
xk – xk–1 = n - n = n


Slide 20

ดังนั้น U( Pn; f ) =

n



M k (x k  x k1 )

k1

=

1
n2

=

1
( 1+2+3+…+n ) 2
n
1
n ( n  1)
 n2
2
1 ( 1+ 1 )
n
2

=
=

+ n22 + n32 + . . . + nn2


Slide 21

และ L( Pn; f ) =
=

n



m k (x k  x k 1 )

k1

0 + n12

+ +
2
n2

3
n1
+ . . . + n2
n2

= ( 0+1+2+3+…+n–1 ) 12
=

( n  1) n
2

= 21 ( 1 - n1 )

n



1
n2


Slide 22

เนื่องจาก { Pn | n } เป็ นเซตย่อยของ { P | P [0, 1] }
1
ดังนั้น 2 = l.u.b.{ L( Pn; f ) | n }

 l.u.b.{ L( P; f ) | P [0, 1] } =

1
 0 f(x)dx

1
และ  0 f(x)dx = g.l.b.{ U( P; f ) | P [0, 1] }
1
 g.l.b.{ U( Pn; f ) | n } = 2


Slide 23

1
1
1
1
ทาให้ 2   f(x)dx   0 f(x)dx  2
0
1
1
1
 0 f(x)dx =  0 f(x)dx = 2

นัน่ คือ f(x) = x เป็ นฟังก์ชนั ที่มีรีมนั น์อินทิกรัลบน [ 0, 1




Slide 24

ทฤษฎีบท 6.1.11 เงื่อนไขรีมันน์ (Riemann’s Criterion for
Integrability)
ให้ f : [a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีขอบเขตบน [ a, b ]
แล้ว f จะเป็ นฟังก์ชนั ที่สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ] ก็
ต่อเมื่อแต่ละ  > 0 จะมีผลแบ่งกั้น P ของ [ a, b ]ซึ่ง
U( P; f ) – L( P; f ) < 


Slide 25

การพิสูจน์ ถ้า f เป็ นฟังก์ชนั ที่สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ]
ดังนั้น

ให้

b
 a f(x)dx

=

b
a

f(x)dx

b
 > 0 , เนื่องจาก  f(x)dx
a

= l.u.b.{ L( P; f ) | P [a, b] }

จะมี P1 เป็ นผลแบ่งกั้นบน [ a, b ] ที่
b
เนื่องจาก  a f(x)dx

b
 af(x)dx

– 2 < L( P1; f )

= g.l.b.{ U( P; f ) | P [a, b] }


Slide 26

จะมี P2 เป็ นผลแบ่งกั้นบน [ a, b ] ที่ U( P2; f ) <

b

 a f(x)dx + 2

ให้ P = P1P2 ดังนั้น P เป็ นผลแบ่งกั้นที่ละเอียดของ P1, P2
ผลที่ตามมา จากบทตั้ง 6.1.6 และบทตั้ง 6.1.4 จึงได้
b

f(x)dx
–
a
2

< L( P1; f )  L( P; f )

b

และ U( P; f )  U( P2; f ) <  a f(x)dx + 2
b
ดังนั้น U( P; f ) – L( P; f ) < ( f(x)dx + 2 ) –( bf(x)dx –  )
a
2
a


Slide 27

นัน่ คือ U( P; f ) – L( P; f ) < 
ในทางกลับกัน ให้ P เป็ นผลแบ่งกั้นใดๆบน [ a, b ]
L( P; f )

b
  af(x)dx

( หรื อ –  ab f(x)dx  – L( P; f ) )

b
และ  f(x)dx  U( P; f )
a
b
b
ดังนั้น  af(x)dx –  af(x)dx

< U( P; f ) – L( P; f )

เนื่องจากกาหนดให้แต่ละ  > 0 จะมีผลแบ่งกั้น P ของ [ a, b ] ที่
U( P; f ) – L( P; f ) < 


Slide 28

b
ดังนั้น  f(x)dx
a

b
–  f(x)dx  U( P; f ) – L( P; f ) < 
a

b
b
โดยทฤษฎีบท 6.1.9  a f(x)dx   a f(x)dx
b
b
0   af(x)dx -  af(x)dx  

เนื่องจาก  เป็ นจานวนบวกใดๆ จะได้
b
 af(x)dx
b
 a f(x)dx

b
-  f(x)dx
a
=  bf(x)dx
a

นัน่ คือ f  R(x) บน [ a, b ]

=0




Slide 29

ตัวอย่ าง 3 กาหนด f : [ 0, 1 ] โดยที่ f(x) = x2 , x[ 0, 1 ]
ให้  > 0 และ P = { x0, x1, x2, …, xn } เป็ นผลแบ่งกั้น
ใดๆบน [ 0, 1 ] ซึ่ง

max { xk – xk–1 | k = 1, 2, 3, …, n } < 2
เนื่องจาก f เป็ นฟังก์ชนั เพิม่ และต่อเนื่อง ดังนั้น
n 2
Mk = f(xk) = xk2 จึงได้ U( P; f ) =  x k ( xk – xk–1)
k1
n
2
2

x
และ mk = f(xk–1) = x k–1 จึงได้ L( P; f ) = k  1 k  1 ( xk – xk–1)


Slide 30

n 2
U( P; f ) – L( P; f ) = [  x k
k1

( xk – xk–1)] – [

=

n 2
2
 ( x k  x k  1) ( x k 
k1

=

n
 (x k
k1

<

n

 2 ( 2 ) ( xk – xk–1)
k1

=

n
2
 xk 1
k1 

( xk – xk–1)]

xk1 )

 x k  1 ) ( xk – xk–1)( xk – xk–1)

n
 (x k
k1

 xk1)

นัน่ คือ f  R(x) บน [ 0, 1 ]

=



Slide 31

6.2 สมบัตขิ องรีมันน์ อนิ ทิกรัล
ทฤษฎีบท 6.2.1 ให้ f, g : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่สามารถหา
อินทิกรัลได้บน [ a, b ]
ถ้า k แล้วฟังก์ชนั kf และ f + g เป็ นฟังก์ชนั ที่
สามารถหาอินทิกรัลได้บน [ a, b ] และ
b

b

a

a

(1)  kf (x)dx = k  f (x)dx
b

b

b

a

a

a

(2)  ( f ( x )  g ( x ) ) dx =  f (x)dx +  g (x)dx


Slide 32

บทแทรก 6.2.2 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่หาอินทิกรัล
n

บน [ a, b ] และki สาหรับ i = 1, 2, 3, ..., n แล้ว  k i fi
i1

เป็ นฟังก์ชนั ที่หาอินทิกรัลบน [ a, b ]
b n

และ   k i fi (x)dx =
a i1

n

b

i1

a

 k i  f i (x)dx


Slide 33

ทฤษฎีบท 6.2.3 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัล
บน [ a, b ]
b
ถ้า f(x)  0 สาหรับทุก x[ a, b] แล้ว  f (x)dx  0
a

บทแทรก 6.2.4 ให้ f, g : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่หา
อินทิกรัลบน [ a, b ] ได้
ถ้า f(x)  g(x) สาหรับทุก x[ a, b ] แล้ว
b

f
a

b

(x)dx   g (x)dx
a


Slide 34

บทตั้ง 6.2.5 ถ้า f : [ a, b] เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัล
บน [ a, b ] และ a < c < b แล้ว


b
f(x)dx
a

=

c
f(x)dx
a

+

b
f(x)dx
c


Slide 35

ทฤษฎีบท 6.2.6 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มี
ขอบเขตบน [ a, b ] และa < c < b จะได้วา่ f มีอินทิกรัล
บน [ a, b ] ก็ต่อเมื่อ f มีอินทิกรัลบน [ a, c ] และ [ c, b ]
โดยที่
b

 f (x)dx

a

=

c

b

a

c

 f (x)dx +  f (x)dx


Slide 36

ทฤษฎีบท 6.2.7 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มี
ขอบเขตบน [ a, b ] แล้ว
ข้อความ (1) – (3) สมมูลกัน
(1) ฟังก์ชนั f เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัลบน [ a, b ]
(2) สาหรับแต่ละ  > 0 จะมีผลแบ่งกั้น P = { x0, x1, x2,
..., xn } ของ [ a, b ]

ซึ่ง

n



( M k  m k )(xk – xk–1) < 

k1


Slide 37

(3) สาหรับแต่ละ  > 0 จะมีผลแบ่งกั้น P = { x0, x1, x2, ...,
xn } ของ [ a, b ]
ซึ่ง

n



w k (xk – xk–1) < 

k1

เมื่อ wk = l.u.b. { f(x) – f(y) | x, y[ xk–1, xk ] }
สาหรับ k = 1, 2, 3, ..., n


Slide 38

ทฤษฎีบท 6.2.8 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ทางเดียวบน
[ a, b ] แล้ว f เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัลบน [ a , b ]
ทฤษฎีบท 6.2.9 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน
[ a, b ] แล้วฟังก์ชนั fมีอินทิกรัลบน [ a, b ]
ทฤษฎีบท 6.2.10 ให้ I = [ a, b ] และ J = [ c, d ] ถ้า f เป็ น
ฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัลบน I และ g เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน J
โดยที่ f( I )  J แล้วฟังก์ชนั ประกอบ
gf : I  เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัลบน I


Slide 39

บทแทรก 6.2.11 ให้ f : [ a, b ] เป็ นฟังก์ชนั ที่มี
อินทิกรัลบน [ a, b ] แล้ว | f | เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัลบน
[ a, b ]


Slide 40

6.3 ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลสั
(The Fundamental Theorem of Calculus)
บทตั้ง 6.3.1 ถ้าให้ f : [ a, b ]  เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัล
บน [ a, b ] และ f(x) K สาหรับทุกๆ x[ a, b ] แล้ว
b

b

a

a

  f (x)dx   f(x)dx  K(b – a)


Slide 41

ทฤษฎีบท 6.3.2 ถ้า f : [ a, b ]  เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอินทิกรัล
บน [ a, b ] แล้ว Fa : [ a, b ]  นิยามโดย
x

Fa(x) =  f (t)dt , a  x  b
a

เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องแบบเอกรู ปบน [ a, b ]


Slide 42

ทฤษฎีบท 6.3.3 ถ้า f : [ a, b ]  เป็ นฟังก์ชนั ที่มี
อินทิกรัลบน [ a, b ] และ Fa : [ a, b ]  โดยที่
x

Fa(x) =  f (t)dt สาหรับ a  x  b ถ้า f เป็ น
a

ฟังก์ชนั ต่อเนื่องแล้ว Fa เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอนุพนั ธ์ที่จุด x0 และ
Fa(x0) = f(x0) สาหรับ x0 [ a, b ]


Slide 43

ทฤษฎีบท 6.3.4 ทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลสั
(Fundamental Theorem of Integral Calculus)
ให้ f เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน [ a, b ] แล้ว
F : [ a, b ]  สอดคล้องกับ
x

F(x) – F(a) =  f (t)dt
a

ก็ต่อเมื่อ F(x) = f(x) สาหรับทุก x  [ a, b ]


Slide 44

บทแทรก 6.3.5 ถ้า f เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน [ a, b ] และ
F(x) = f(x) สาหรับ x  [ a, b ] แล้ว
b

 f (x)dx = F(b) – F(a)

a


Slide 45

ทฤษฎีบท 6.3.6 การอินทิเกรตโดยวิธีแยกส่ วน (Integration
by Parts)
ให้ f, g : [ a, b ]  เป็ นฟังก์ชนั ที่มีอนุพนั ธ์ ถ้า f และ
g เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่อง แล้ว
b

 f ( x ) g

a

b

(x)dx = [ f(b)g(b) – f(a)g(a) ] –  f ( x ) g  (x)dx
a


Slide 46

ทฤษฎีบท 6.3.7 ให้ J = [ ,  ] และ  : J  เป็ น
ฟังก์ชนั ที่มีอนุพนั ธ์ และ  เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน J ถ้า f
เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I โดยที่ I = (J) แล้ว


 f (  ( t ))   ( t ) dt



=

 ( )

 f ( x ) dx

 ( )


Slide 47


Slide 48