Transcript บทที่ 2 จำนวนจริง

2.2 สมบัตคิ วามบริบูรณ์ ของเซตของจานวนจริง
(The Completeness Property of )
บทนิยาม 2.2.1 ให้ A 
1. สำหรับ u  และ a  u ทุกๆ a  A จะเรี ยก u ว่ำเป็ น
ขอบเขตบน (upper bound) ของเซต A และเรี ยก A ว่ำ เซตทีม่ ีขอบเขตบน
(bounded above)
2. สำหรับ l  และ a  l ทุกๆ a  A จะเรี ยก l ว่ำเป็ น
ขอบเขตล่าง (lower bound) ของเซต A และเรี ยก A ว่ำ เซตทีม่ ีขอบเขตล่ าง
(bounded below)
3. จะเรี ยกเซต A ว่ำ เซตทีม่ ีขอบเขต (bounded) ถ้ำ A เป็ นเซตที่
มีท้ งั ขอบเขตบน และขอบเขตล่ำง
ตัวอย่ าง 1 กำหนด A = { 1,21 , 31, ... }
ให้ a  A เห็นชัดว่ำ a  1 ,  a  A
A เป็ นเซตที่มีขอบเขตบน โดยมีจำนวนจริ งที่มีค่ำมำกกว่ำ หรื อเท่ำกับ
1 เป็ นขอบเขตบนของเซต A
และ a  0 ,  a  A
A เป็ นเซตที่มีขอบเขตล่ำง โดยมีจำนวนจริ งที่มีค่ำน้อยกว่ำหรื อเท่ำกับ
0 เป็ นขอบเขตล่ำงของเซต A
ดังนั้น A เป็ นเซตที่มีขอบเขต

บทนิยาม 2.2.2 A เป็ นเซตย่อยของ
1. ถ้ำ A เป็ นเซตที่มีขอบเขตบน จะเรี ยก v ว่ำเป็ น ขอบเขตบนน้ อยสุ ด
(leastupper bound or supremum) ของ A เมื่อ
(i) v เป็ นขอบเขตบนของ A
(ii) ถ้ำ u เป็ นขอบเขตบนของ A แล้ว v  u
ถ้ำ v เป็ นขอบเขตบนที่นอ้ ยที่สุดของ A เขียนแทนด้วย
l.u.b. A = v หรื อ sup A = v
2. ถ้ำ A เป็ นเซตที่มีขอบเขตล่ำง จะเรี ยก w ว่ำเป็ น ขอบเขตล่างมากสุ ด
(greatest lower bound or infimum) ของ A เมื่อ
(i) w เป็ นขอบเขตล่ำงของ A
(ii) ถ้ำ l เป็ นขอบเขตล่ำงของ A แล้ว w  l
ถ้ำ w เป็ นขอบเขตล่ำงที่มำกที่สุดของ A เขียนแทนด้วย
g.l.b. A = w หรื อ inf A = w
ตัวอย่ าง 3 ให้ A = { x  | 0  x  1 }
สำหรับ x  A แล้ว x  1, 1 เป็ นขอบเขตบนของ A และถ้ำ r เป็ น
ขอบเขตบนของ A จะได้วำ่ 1  r ดังนั้น l.u.b. A = 1
สำหรับ x  A แล้ว x  0, 0 เป็ นขอบเขตล่ำงของ A และถ้ำ w เป็ น
ขอบเขตล่ำงของ A จะได้วำ่ w  0 ดังนั้น g.l.b. A = 0

ตัวอย่ าง 4 กำหนด A = [ -2, 10 ]
A เป็ นเซตที่มีขอบเขต และ l.u.b. A = 10, g.l.b. A = -2

ตัวอย่ าง
A = { 21 ,
5 กำหนด
3 , 7 ,...}
4 8
2n  1
A = { 2 n  n = 1, 2, 3, … }
จะได้
A เป็ นเซตที่มีขอบเขต และ l.u.b. A = 1, g.l.b. A = 21

หมายเหตุ 1. ขอบเขตบนน้อยสุ ดไม่จำเป็ นจะต้องเป็ นสมำชิกของเซตนั้น
2. ขอบเขตล่ำงมำกสุ ดไม่จำเป็ นจะต้องเป็ นสมำชิกของเซตนั้น
บทตั้ง 2.2.3 ให้ S  โดยที่ S   ถ้ำ u เป็ นขอบเขตบนของ
S, u เป็ นขอบเขตบนน้อยสุ ดของ S ก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนจริ ง
 > 0 จะมี s  S ซึ่ง u –  < s
การพิสูจน์
ให้ u เป็ นขอบเขตบนของ S ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่วำ่
สำหรับจำนวนจริ ง  > 0 จะมี s  S ซึ่ง u –  < s
จะแสดงว่ำ u เป็ นขอบเขตบนน้อยสุ ดของ S
ให้ v เป็ นขอบเขตบนของ S ซึ่ง v  u
สมมติ v < u ดังนั้น u – v > 0
เลือก  = u – v
จะมี s  S ซึ่ง v = u –  < s ซึ่งเป็ นไปไม่ได้ เพรำะ
ขัดแย้งกับที่ v เป็ นขอบเขตบนของ S
ดังนั้น u < v นัน่ คือ u เป็ นขอบเขตบนน้อยสุ ด
ในทำงกลับกัน ให้จำนวนจริ ง  > 0 และ u = l.u.b. S
เนื่องจำก u –  < u แล้ว u –  ไม่ใช่ขอบเขตบนของ S
จึงมี s  S ซึ่ง u –  < s

สมบัติขอบเขตบนน้ อยสุ ดของ
สั จพจน์ การมีขอบเขตบนน้ อยสุ ด (Least Upper Bound Axiom)
กำหนดให้ A เป็ นเซตย่อยที่ไม่เป็ นเซตว่ำงของเซตจำนวนจริ ง
และ A มีขอบเขตบน แล้ว A จะมีขอบเขตบนน้อยสุ ดใน
ทฤษฎีบท 2.2.4 ถ้ำ A เป็ นเซตย่อยของ เซตจำนวนจริ ง ที่มีขอบเขต
ล่ำง และ A ไม่เป็ นเซตว่ำง แล้วเซต A จะมีขอบเขตล่ำงมำกสุ ดใน
การพิสูจน์
ให้ S = { s  | s เป็ นขอบเขตล่ำงของ A }
เนื่องจำกเซต A มีขอบเขตล่ำง ดังนั้น S  
สำหรับ x  A, x  s s  S ดังนั้น x เป็ นขอบเขตบนของ S
S เป็ นเซตมีขอบเขตบน
ให้ a = l.u.b. S ดังนั้น a  x ทุก x  A จึงได้วำ่ a เป็ นขอบเขต
ล่ำงตัวหนึ่งของเซต A และ s  a, s  S
นัน่ คือ a เป็ นขอบเขตล่ำงมำกสุ ดของ A

ทฤษฎีบท 2.2.5 สมบัติอาร์ คมี ีเดียน (Archimedean Property)
ถ้ำ x  แล้วจะมีจำนวนเต็มบวก n ซึ่ง x < n
การพิสูจน์ ให้ x 
สมมติ x  n สำหรับทุก n 
ทำให้ x เป็ นขอบเขตบนของ และ  
เซต จึงมีขอบเขตบนน้อยสุ ด
ให้ u = l.u.b.
จำกบทตั้ง 2.2.3 จะมี m  ซึ่ง u – 1 < m
u < m + 1 แต่ m + 1  เกิดกำรขัดแย้งที่ u = l.u.b.
นัน่ คือจะมี n  ซึ่ง x < n

บทแทรก 2.2.7 ให้ y และ z เป็ นจำนวนจริ งบวก จะได้วำ่
(1) จะมี n  ซึ่ง z < ny
(2) จะมี n  ซึ่ง 0 < n1 < y
(3) จะมี n  ซึ่ง n – 1  z < n
การพิสูจน์ ให้ y, z  +
z
z
(1) เนื่องจำก y > 0 จะมี n  ซึ่ง y < n
ดังนั้น z < yn
(2) จำก (1) z < yn ให้ z = 1 จะได้วำ่ 1 < ny
ดังนั้น 0 < n1 < y
(3) พิจำรณำเซต { m  | z < m } จำกสมบัติของอำร์คีมิเดียนจะได้
ว่ำเซตนี้ไม่เป็ นเซตว่ำง
ให้ n เป็ นสมำชิกที่นอ้ ยที่สุดในเซตนี้
ดังนั้น n – 1  z < n

ทฤษฎีบท 2.2.8 มีจำนวนจริ งบวก x ซึ่ง x2 = 2
สมบัติความหนาแน่ นของจานวนตรรกยะใน
ทฤษฎีบท 2.2.9 The Density Theorem
ถ้ำ x และ y เป็ นจำนวนจริ งใดๆ โดยที่ x < y แล้วจะมีจำนวน
ตรรกยะ r ซึ่ง x < r < y
บทแทรก 2.2.10 ถ้ำ x และ y เป็ นจำนวนจริ งใดๆซึ่ง x < y
แล้วจะมีจำนวนอตรรกยะ r ซึ่ง x < r< y
ช่ วง (Intervals)
เซตย่อยของจำนวนจริ งในลักษณะต่อไปนี้เรี ยกว่ำ ช่ วง
ถ้ำ a, b  และ a < b
(1) ช่วงเปิ ด ( a, b ) = { x  | a < x < b }
(2) ช่วงปิ ด [ a, b ] = { x  | a  x  b }
(3) ช่วงครึ่ งเปิ ด (หรื อครึ่ งปิ ด)
( a, b ] = { x  | a < x  b }
[ a, b ) = { x  | a  x < b }
ช่วง (1) – (3) เป็ นช่วงที่มีขอบเขต (bounded intervals) มี
ควำมยำวช่วงจำกัด
ควำมยำวช่วงคือ | a – b |
(4) ช่วงอนันต์
( a,  ) = { x  | x > a }
( –, a ) = { x  | x < a }
[ a,  ) = { x  | x  a }
( –, a ] = { x  | x  a }
( –,  ) =
ช่วง (4) เป็ นช่วงที่ไม่มีขอบเขต (unbounded intervals)
หมายเหตุ (1) สัญลักษณ์  และ – ไม่สำมำรถบอกเป็ นค่ำจำกัดได้
ว่ำมีค่ำเท่ำใดส่ วนจำนวนจริ งทุกจำนวนเป็ นจำนวนจำกัด , – จึงไม่ใช่
จำนวนจริ ง
(2) สำหรับ a  , ( a, a ) =  และ [ a, a ] = { a }
2.3 ทอพอโลยีบนเซตจานวนจริง
บทนิยาม 2.3.1 ให้ x0  จะเรี ยกเซต ว่ำ ย่ านของจุด x0
(neighborhood of x0) เมื่อมีจำนวนจริ งบวก  ซึ่ง
( x0 – , x0 +  )   ย่ำนของจุด x0 เขียนแทนด้วย
( x0 )
บทนิยาม 2.3.2 ให้เซต G เป็ นเซตย่อยของ จะเรี ยก G ว่ำ เซตเปิ ด
(open set) ใน ถ้ำแต่ละ x  G จะมียำ่ นของจุด x ที่ ( x )  G
จึงกล่ำวได้วำ่ เซต G  เป็ นเซตเปิ ด ก็ต่อเมื่อสำมำรถแสดง
ได้วำ่ ทุกๆx  G จะมี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x )  G
ทฤษฎีบท 2.3.3 (1) เป็ นเซตเปิ ด
(2)  เป็ นเซตเปิ ด
การพิสูจน์
(1) ให้ x ,  n ซึ่ง x < n
ให้ x = | n – x | ซึ่ง ( x – x, x + x ) 
นัน่ คือ เป็ นเซตเปิ ด
(2) จะแสดงว่ำ  เป็ นเซตเปิ ด นัน่ คือ
“ ถ้ำ x แล้วจะมี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x )   ”
แต่เนื่องจำกข้อควำมดังกล่ำวมีค่ำควำมจริ ง เป็ นจริ ง
ดังนั้น  เป็ นเซตเปิ ด
ตัวอย่ าง 2 (1) ( 0, 1 ) เป็ นเซตเปิ ดใน
เนื่องจำกทุก x  ( 0, 1 )  x > 0 ซึ่ง
( x – x, x + x )  ( 0,1 )
(2) [ 0, 1 ] ไม่เป็ นเซตเปิ ดใน
เพรำะว่ำมี 0 [ 0, 1 ] ที่ไม่สำมำรถหำ  > 0 ซึ่ง
( –,  )  [ 0, 1 ]
(3) { 1, 2, 3 } ไม่เป็ นเซตเปิ ดใน

บทนิยาม 2.3.4 ให้เซต F เป็ นเซตย่อยของ จะเรี ยก F ว่ำเป็ น เซต
ปิ ด (closedset) ใน เมื่อ FC เป็ นเซตเปิ ดใน
จึงกล่ำวได้วำ่ เซต F  เป็ นเซตปิ ด ก็ต่อเมื่อแต่ละ
x  FC จะมี x > 0 ซึ่ง ( x – x, x + x )  F =  หรื อ
( x – x, x + x )  FC
ทฤษฎีบท 2.3.5 (1) เป็ นเซตปิ ด
(2)  เป็ นเซตปิ ด
ทฤษฎีบท 2.3.6 ยูเนียนของเซตเปิ ดใดๆ เป็ นเซตเปิ ด
การพิสูจน์
ให้ { G | G เป็ นเซตเปิ ด และ    , โดยที่  เป็ นเซตดรรชนี }
จะแสดงว่ำ  G เป็ นเซตเปิ ด

ถ้ำ
ถ้ำ

G =  แล้วโดยทฤษฎีบท 2.3.3(2) จะได้  G เป็ นเซตเปิ ด

G  


ให้ x   G จะได้วำ่ x  G  


เนื่องจำก G เป็ นเซตเปิ ด จะมี  > 0 ซึ่ง
x  ( x – , x +  )  G 
นั้นคือ


Gเป็ นเซตเปิ ด


G
ทฤษฎีบท 2.3.7 อินเตอร์เซกชันอย่ำงจำกัดของเซตเปิ ดเป็ นเซตเปิ ด
n
การพิสูจน์ ให้ G1, G2, G3, …, Gn เป็ นเซตเปิ ด จะแสดงว่ำ  G i
i 1
เป็ นเซตเปิ ด n
n
ถ้ำ  G i =  แล้วโดยทฤษฎีบท 2.3.3(2) จะได้  G i เป็ นเซต
i 1
i 1
เปิ ด
n
ถ้ำ  G i = 
i 1
n
ให้ x   G i ย่อมได้วำ่ x  G1 , และ x  G2,
i 1
และ x  G3, …, และ x  Gn
x  G1  1 > 0 ซึ่ง ( x – 1, x + 1 )  G1
x  G2  2 > 0 ซึ่ง ( x – 2, x + 2 )  G2
………………………………………….
x  Gn  n > 0 ซึ่ง ( x – n, x + n )  Gn
ให้  = min { 1, 2, 3, …, n }
ทำให้ ( x – , x +  )  Gi i = 1, 2, 3, …, n
n
ดังนั้น ( x - , x +  )   G i
i 1
n
นั้นคือ  G i เป็ นเซตเปิ ด
i 1
ทฤษฎีบท 2.3.8 อินเตอร์เซกชันใดๆของเซตปิ ดเป็ นเซตปิ ด
การพิสูจน์ ให้ { F | F เป็ นเซตปิ ด,    }
จแสดงว่ำ  F เป็ นเซตเปิ ด

เนื่องจำก (  F

จำกทฤษฎีบท 2.3.6
)C = 

C
ซึ่ง F ,   
 F เป็ นเซตเปิ ด
C

นั้นคือ  F เป็ นเซตปิ ด

FC
เป็ นเซตเปิ ด
บทแทรก 2.3.9 ยูเนียนอย่ำงจำกัดของเซตปิ ดเป็ นเซตปิ ด
ตัวอย่ าง 4 กำหนด Gn = ( 1, 2 + n1 ) , n 
Gn เป็ นเซตเปิ ด , n 
พิจำรณำ

 Gn
n 1

จะได้วำ่  G n = ( 1, 2 ] ซึ่งไม่เป็ นเซตปิ ด
n 1
ตัวอย่ าง 5 กำหนด Fn = ( 1, 2 - n1 ) , n 
Fn เป็ นเซตเปิ ด , n 
พิจำรณำ
จะได้วำ่

 Fn
n 1

 Fn= [ 0, 1 )
n 1
ซึ่งไม่เป็ นเซตปิ ด
บทนิยาม 2.3.10 ให้ A  และ x  A จะเรี ยก x ว่ำเป็ น จุด
ภายใน (interiorpoint) ของ A ถ้ำมียำ่ นของจุด x เป็ นเซตย่อยของ A
บทนิยาม 2.3.11 ให้ A  และ x  จะเรี ยก x ว่ำเป็ น จุดลิมติ
(cluster points or limit points) ของ A ถ้ำทุกๆย่ำนของจุด x บรรจุ
สมำชิกของเซต A ที่ไม่ใช่ x
นัน่ คือ x เป็ นจุดลิมิตของ A เมื่อแต่ละ  > 0 ,
(x)  ( A – { x } )  
ทฤษฎีบท 2.3.12 เซตย่อยของเซตของจำนวนจริ ง ที่ไม่ใช่เซตว่ำง
เป็ นเซตปิ ดก็ต่อเมื่อเซตนั้นบรรจุทุกๆจุดลิมิตของเซต
การพิสูจน์
ให้ F เป็ นเซตปิ ด F   และ x เป็ นจุดลิมิตของ F จะแสดงว่ำ x  F
สมมติ x  F ดังนั้น x  FC
เนื่องจำก FC เป็ นเซตเปิ ด จึงมียำ่ นของจุด x, (x)
ซึ่ง (x)  FC
ดังนั้น (x)  F = 
เกิดกำรขัดแย้ง ที่วำ่ x เป็ นจุดลิมิตของ F
ดังนั้น xF
ในทำงกลับกัน ให้ F  ที่บรรจุทุกๆจุดลิมิตของ F จะแสดงว่ำ
F เป็ นเซตปิ ด
ให้ y  FC ดังนั้น y จึงไม่เป็ นจุดลิมิตของ F ทำให้มียำ่ นของ
y , (y)
ซึ่ง (y)  ( F – { y } ) = 
แต่ y  FC, (y)  F =   (y)  FC
ทำให้ FC เป็ นเซตเปิ ด ดังนั้น F เป็ นเซตปิ ด

บทนิยาม 2.3.13 ช่ วงซ้ อนใน (Nested Intervals)
รู ป
ลำดับของช่วง In, n  จะเรี ยกว่ำเป็ นช่ วงซ้ อนใน (nested) ดัง
ถ้ำ I1  I2  I3  …  In  In+1  …
[
[
[
[
[
I1
I3
I5
I4
I2
]
]
]
]
]
ทฤษฎีบท 2.3.14 สมบัติของช่ วงซ้ อนใน (Nested Intervals Property)
ถ้ำ In = [ an, bn ] , n  เป็ นช่วงซ้อนในที่ In เป็ นช่วงปิ ดทุกๆ
n  แล้วจะมีจำนวนจริ ง x0 ซึ่ง x0 In สำหรับทุก n 
และถ้ำ g.l.b. { bn – an  In = [ an, bn ] , n  } = 0 แล้ว In ,
n  จะมีสมำชิกร่ วมเพียงตัวเดียว
ทฤษฎีบท 2.3.15 ทฤษฎีโบลซาโน–ไวแยร์ สตราสส์ (Balzano–
Weierstrass Theorem)
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนจริ ง ที่เป็ นเซตอนันต์และมี
ขอบเขต จะต้องมีจุดลิมิต