Transcript ฟังก์ชันความเป็นสมาชิก (Membership Function)

ฟัซซีเซต (Fuzzy set)
• มนุ ษ ย์ส ามารถอธิ บ ายพฤติ ก รรมของสิ่ ง ต่ า ง ๆ รอบตัว เราด้ว ยแบบจ าลองทาง
คณิ ตศาสตร์ ท้ งั แบบเชิงเส้นและแบบไม่เป็ นเชิงเส้น
• ทฤษฎีเซตเป็ นตัวอย่างหนึ่ งของแบบจาลองทางคณิ ตศาสตร์
• ทฤษฎีฟัซซี เซต (Fuzzy set) ช่วยให้สามารถอธิ บายพฤติกรรมของระบบต่างที่ปรากฏ
ในชีวิตประจาวันได้ชดั เจนขึ้นกว่าการอธิ บายทางคณิ ตศาสตร์ โดยใช้ทฤษฎีเซตแบบดัง่
เดิม ทาให้ไม่เกิดข้อโต้แย้ง
ตัวอย่าง
ให้ A เป็ นเซตของจานวนเต็มคู่ที่มีค่าน้อยกว่า 12
A = { …,-4,-2,0,2,4,6,8,10}
ซึ่ งทาให้เราสามารถตอบได้อย่างไม่ลงั เลว่า 4 เป็ นสมาชิกของเซต A
และ 5 หรื อ 24 ไม่เป็ นสมาชิกของเซตนี้
ทฤษฎีฟัซซีเซต (Fuzzy set)
•หลักสาคัญของทฤษฎี ฟัซซี เซตคือ ยอมรับสมาชิ กที่มีลกั ษณะตามที่กาหนดของเซต
นั้นๆ แม้เพียงบางส่ วนเข้ามาเป็ นสมาชิ ก โดยสมาชิ กทุกค่ามีการให้น้ าหนักค่าระดับ
ความเป็ นสมาชิกกากับไว้ดว้ ย
• ซึ่ งแตกต่างจากทฤษฎี เซตดั้งเดิ ม (Crisp set) ซึ่ งจะระบุ อย่างชัดเจนว่าสิ่ งที่ กาลัง
พิจารณาเป็ นสมาชิกของเซตนั้นหรื อไม่เท่านั้น
ในภาพ กราฟของฟั งก์ชนั ของระดับความเป็ นสมาชิ กของเซตของวัยรุ่ นตาม
นิ ยามทฤษฎีเซตดั้งเดิม ในตรรกศาสตร์ ทวั่ ไปจะกาหนดค่าเพียงว่าเป็ น “0” หรื อเป็ น
“1” เพื่อบอกความเป็ นสมาชิกของเซตหรื อไม่ หรื อ “ถูก” หรื อ “ผิด” เท่านั้น
ภาพนี้ แสดงกราฟของฟั งก์ชนั ของระดับความเป็ นสมาชิกของฟั ซซี เซต ซึ่ ง
จะยอมรับสมาชิกที่มีลกั ษณะที่ถูกเพียงบางส่ วนและผิดเพียงบางส่ วนเข้ากลุ่ม
ฟัซซีเซตและคุณสมบัติ
ฟั ซซี เซตจะต้องแสดงค่าระดับความเป็ นสมาชิ กของเซต (Membership
value) กากับมาด้วยพร้อมกับสมาชิกนั้น ๆ เราใช้ µA แทนค่าระดับความ
เป็ นสมาชิก
ฟังก์ชันความเป็ นสมาชิก (Membership Function)
ฟังก์ชนั ความเป็ นสมาชิกที่นิยมใช้กนั มี 4 ลักษณะ ได้แก่
1 S-Function
2 Triangular Function
3 Π - F u n c tio n
4 Trapezoid Function
1. S-Function
ฟังก์ชนั ชนิดนี้จะมีรูปร่ างเป็ นตัว S โดยรู ปร่ างของฟังก์ชนั นี้จะขึ้นอยู่
กับตัวแปร a, b และ c ตามภาพที่ 10 ข้างล่างนี้ จะสังเกตได้วา่ S-Function จะ
เป็ นเส้นตรงขนานแกน x โดยมีค่าเท่ากับ 0 เมืx่อ a และจะมีค่าเป็ น 1 เมื่อ
x  c โดยที่เมื่อ x อยูร
่ ะหว่าง a และ c รู ปร่ างของฟังก์ชนั จะมีลกั ษณะเป็ น
Quadratic Function และเมื่อ x=b ซึ่ งจุดนี้เรี ยกว่า Crossover Point จะเกิดขึ้น
เมื่อ b  a  c โดยมีค่าเท่ากับ 0.5 ดังนั้นฟังก์ชนั คือ
2
S-Function
ฟังก์ชนั ความเป็ นสมาชิกของ S-Function
0

2
x
a

 
2

  c - a 
S(x; a, b, c)  
2
xc

1

2



ca

1
สาหรับ x  a
สาหรับ a  x  b
สาหรับ b  x  c
สาหรับ x  c
S-Function
ภาพที่ 3 ลักษณะฟั งก์ชนั ระดับความเป็ นสมาชิกแบบ S-Function
2. Triangular Function
ฟังก์ชนั ชนิดนี้จะมีรูปร่ างเป็ นสามเหลี่ยม ซึ่ งขึ้นอยูก่ บั ค่าตัวแปร
3 ตัวคือ a , b และ c ตามภาพที่ 11 และเป็ นฟังก์ชนั ที่นิยมใช้เกี่ยวกับการ
ควบคุมที่ตอ้ งการความรวดเร็ วทันเวลาเนื่องจากมีการคานวณน้อย
Triangular Function
ฟังก์ชนั ความเป็ นสมาชิกของ Triangular Function
0

x -a

 b -a
μ (x )= 
 c -x
 c -b
0

x  a
a< x  b
b<x<c
x>c
Triangular Function
ภาพที่ 4 ลักษณะฟังก์ชนั ระดับความเป็ นสมาชิกแบบ Triangular Function
3.  -Function
ฟังก์ชนั ชนิดนี้ จะมีรูปร่ างคล้ายกับระฆัง โดยจะมีดา้ นข้างทั้ง 2 ด้านเป็ น
S-Function ฟังก์ชนั ชนิดนี้จะมีรูปร่ างคล้ายกับ Triangular Function เพียงแต่ต่างกัน
ตรงที่ดา้ นข้างของ  -Function ที่เป็ น S-Function จะค่อย ๆ ลาดลง
เป็ น 0 มากกว่า ถ้าเปรี ยบเทียบกับ Triangular Function
Π - F u n ctio n
ฟังก์ชนั ความเป็ นสมาชิกของ
Π - F u n ctio n
cb

S( x : c  b,
,c)


2
( x )  
1  S ( x : c  b , c  b , c )


2
,x  c
,x  c
Π - F u n c tio n
ภาพที่ 5 ลักษณะฟังก์ชนั ความเป็ นสมาชิกแบบ Π - F u n ctio n
4. Trapezoid Function
ฟังก์ชนั ชนิดนี้ จะมีรูปร่ างเป็ นสี่ เหลี่ยมคางหมู โดยรู ปร่ าง
จะขึ้นอยูก่ บั ตัวแปร 4 ตัวด้วยกันคือ a, b, c และ d ฟังก์ชนั ชนิดนี้ เป็ น
ฟังก์ชนั ที่นิยมใช้กนั อีกฟั งก์ชนั หนึ่งเช่นเดียวกับฟั งก์ชนั รู ปสามเหลี่ยม
Trapezoid Function
ฟังก์ชนั ความเป็ นสมาชิกของ Trapezoid Function
x 
b 

w
( x )  
d 
d 

0
a
,a  x  b
a
,b  x  c
x
,c  x  d
c
,x > d
Trapezoid Function
ภาพที่6 ลักษณะฟังก์ชนั ระดับความเป็ นสมาชิกแบบ Trapezoid Function
นิยาม
•Support ของฟั ซซี เซตคือ เซตของสมาชิ กทุกตัวใน U ที่ มีค่าระดับความเป็ น
สมาชิกมากกว่า 0
จากตัวอย่างในกราฟจะเท่ากับความเร็ วของยานพาหนะที่มีค่ามากกว่า 60 kmph
โดย Support ของฟัซซี เซต A เขียนแทนด้วย supp(A) หรื อ S(A)
นิยาม
•Height ของฟัซซี เซต (h(A~ )) คือ ค่าระดับความเป็ นสมาชิกของฟั ซซี เซต A~ ซึ่ งมี
ค่าสู งสุ ด
•ฟัซซี เซตที่เป็ น Normal คือ ฟัซซี เซต A~ ซึ่ งมีค่า h(A~ )=1
นิยาม
•Crossover Point คือ สมาชิก x ที่มีค่าระดับความเป็ นสมาชิกของฟัซซี เซต A~ ซึ่ งมี
ค่า  ( x )  0 . 5
~
A
ในกราฟนี้ Crossover point คือที่ความเร็ ว 80 kmph
นิยาม
•Fuzzy Singleton ของฟัซซี เซตคือ ฟัซซี เซตที่มี Support เพียงค่าเดียวใน U มีค่า
ระดับความเป็ นสมาชิกเป็ น 1 อีกนัยหนึ่งก็คือเซตปกติที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว
•Peak Point ของฟัซซี เซตคือ สมาชิก x มีค่าระดับความเป็ นสมาชิกเป็ น 1
(  ( x )  1 .0 )
•Left Width ของฟัซซี เซตคือ ความกว้างทางซ้าย โดยวัดจากตาแหน่งสมาชิก x
ไปทางซ้ายจนถึงตาแหน่งสมาชิกที่มีค่าระดับความเป็ นสมาชิกเป็ น 0
 ( x )  0 . 0 นัน
่ คือ Left width ( w )  x  x
~
A
~
A
peak
left
l
peak
left
peak
นิยาม
 A~
•Right Width ของฟัซซี เซตคือ ความกว้างทางขวา โดยวัดจากตาแหน่งสมาชิก x
ไปทางขวาถึงตาแหน่งสมาชิกที่มีค่าระดับความเป็ นสมาชิกเป็ น 0
(x
)  0 . 0 นัน
Right width ( w )  x
 x
่ คือ
right
r
right
peak
กราฟแสดงตาแหน่งของจุดต่าง ๆ ของสมาชิกของฟัซซี เซต A
peak
•Crosspoint ของฟัซซี เซตคือ ตาแหน่งที่ n-linguistic variable ตัดกันโดยที่
 A~ ( x cross )   B~ ( x cross )  0 . 0
•Crosspoint Level ของฟัซซี เซตคือ ค่าระดับความเป็ นสมาชิกที่จุด Crosspoint
จากกราฟ Crosspoint Level = 0.67 ๏
กราฟแสดงตาแหน่งของ Crosspoint และระดับค่าความเป็ นสมาชิกของ Crosspoint Level ของ
ฟั ซซี เซตทั้งสอง
นิยาม
กาหนดฟัซซี เซต A~ ซึ่ งนิยามอยูบ่ น U มีเลขจานวนใดๆ ซึ่ งมีคุณสมบัติ
~
~
  [ 0 ,1] จะได้   cut ของ A ( A ) และ strong   cut
ของ A~ ( A~ ) ดังนี้



~
A  { x  U |  A~ ( x )   }

~
A  { x  U |  A~ ( x )   }
ตัวอย่าง
ถ้า Y เป็ นฟัซซี เซตของความเป็ นเด็ก (Young) นัน่ คือ
~
Y = {(5,1.0),(10,1.0),(20,0.8),(30,0.5),(40,0.2),(50,0.1),(60,0.0),(70,0.0),
(80,0.0)} จะได้
supp( Y~ ) = {5,10,20,30,40,50}
~
Y = {5,10,20,30,40} เมื่อ  = 0.2
~
Y = {5,10,20} เมื่อ  = 0.8
~
Y = {5,10} เมื่อ  = 1.0 และ
~
Y = {5,10} เมื่อ strong  = 0.8
0 .2
0 .8
1 .0
0 .8 