Slide 1

บทนิยาม 4.5.1 ให้ f : D จะเรี ยก f ว่าเป็ น ฟังก์ ชันที่
มีขอบเขตบน D ถ้ามีจานวนจริ ง M > 0 ซึ่งทาให้
| f(x) |  M สาหรับทุก xD

ทฤษฎีบท 4.5.2 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I
เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน I

บทนิยาม 4.5.3 ให้ f : D
(1) จะกล่าวว่า f มี ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ ของ f
(2) จะกล่าวว่า f มี ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ ของ f

ทฤษฎีบท 4.5.4 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f จะมีค่าสูงสุ ดสัมบูรณ์ และค่าต่าสุ ด
สัมบูรณ์บน I
ทฤษฎีบท 4.5.5 ให้ I เป็ นช่วง และ f : I เป็ นฟังก์ชนั
ต่อเนื่องบน I ถ้า ,  I โดยที่  <  และ
f() < 0 < f() [หรื อ f() > 0 > f()] แล้วจะมี c(, )
ซึ่ง f(c) = 0

ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ ามัชฌิมของโบลซาโน
(Bolzano’s Intermediate Value Theorem)

ทฤษฎีบท 4.5.7 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้วเซตของ f( I ) = { f(x) | x I } เป็ นช่วง
ปิ ด


Slide 2

บทนิยาม 4.5.1 ให้ f : D จะเรี ยก f ว่าเป็ น ฟังก์ ชันที่
มีขอบเขตบน D ถ้ามีจานวนจริ ง M > 0 ซึ่งทาให้
| f(x) |  M สาหรับทุก xD

ทฤษฎีบท 4.5.2 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I
เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน I

บทนิยาม 4.5.3 ให้ f : D
(1) จะกล่าวว่า f มี ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ ของ f
(2) จะกล่าวว่า f มี ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ ของ f

ทฤษฎีบท 4.5.4 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f จะมีค่าสูงสุ ดสัมบูรณ์ และค่าต่าสุ ด
สัมบูรณ์บน I
ทฤษฎีบท 4.5.5 ให้ I เป็ นช่วง และ f : I เป็ นฟังก์ชนั
ต่อเนื่องบน I ถ้า ,  I โดยที่  <  และ
f() < 0 < f() [หรื อ f() > 0 > f()] แล้วจะมี c(, )
ซึ่ง f(c) = 0

ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ ามัชฌิมของโบลซาโน
(Bolzano’s Intermediate Value Theorem)

ทฤษฎีบท 4.5.7 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้วเซตของ f( I ) = { f(x) | x I } เป็ นช่วง
ปิ ด


Slide 3

บทนิยาม 4.5.1 ให้ f : D จะเรี ยก f ว่าเป็ น ฟังก์ ชันที่
มีขอบเขตบน D ถ้ามีจานวนจริ ง M > 0 ซึ่งทาให้
| f(x) |  M สาหรับทุก xD

ทฤษฎีบท 4.5.2 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I
เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน I

บทนิยาม 4.5.3 ให้ f : D
(1) จะกล่าวว่า f มี ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ ของ f
(2) จะกล่าวว่า f มี ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ ของ f

ทฤษฎีบท 4.5.4 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f จะมีค่าสูงสุ ดสัมบูรณ์ และค่าต่าสุ ด
สัมบูรณ์บน I
ทฤษฎีบท 4.5.5 ให้ I เป็ นช่วง และ f : I เป็ นฟังก์ชนั
ต่อเนื่องบน I ถ้า ,  I โดยที่  <  และ
f() < 0 < f() [หรื อ f() > 0 > f()] แล้วจะมี c(, )
ซึ่ง f(c) = 0

ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ ามัชฌิมของโบลซาโน
(Bolzano’s Intermediate Value Theorem)

ทฤษฎีบท 4.5.7 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้วเซตของ f( I ) = { f(x) | x I } เป็ นช่วง
ปิ ด


Slide 4

บทนิยาม 4.5.1 ให้ f : D จะเรี ยก f ว่าเป็ น ฟังก์ ชันที่
มีขอบเขตบน D ถ้ามีจานวนจริ ง M > 0 ซึ่งทาให้
| f(x) |  M สาหรับทุก xD

ทฤษฎีบท 4.5.2 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I
เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน I

บทนิยาม 4.5.3 ให้ f : D
(1) จะกล่าวว่า f มี ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ ของ f
(2) จะกล่าวว่า f มี ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ ของ f

ทฤษฎีบท 4.5.4 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f จะมีค่าสูงสุ ดสัมบูรณ์ และค่าต่าสุ ด
สัมบูรณ์บน I
ทฤษฎีบท 4.5.5 ให้ I เป็ นช่วง และ f : I เป็ นฟังก์ชนั
ต่อเนื่องบน I ถ้า ,  I โดยที่  <  และ
f() < 0 < f() [หรื อ f() > 0 > f()] แล้วจะมี c(, )
ซึ่ง f(c) = 0

ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ ามัชฌิมของโบลซาโน
(Bolzano’s Intermediate Value Theorem)

ทฤษฎีบท 4.5.7 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้วเซตของ f( I ) = { f(x) | x I } เป็ นช่วง
ปิ ด


Slide 5

บทนิยาม 4.5.1 ให้ f : D จะเรี ยก f ว่าเป็ น ฟังก์ ชันที่
มีขอบเขตบน D ถ้ามีจานวนจริ ง M > 0 ซึ่งทาให้
| f(x) |  M สาหรับทุก xD

ทฤษฎีบท 4.5.2 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I
เป็ นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f เป็ นฟังก์ชนั มีขอบเขตบน I

บทนิยาม 4.5.3 ให้ f : D
(1) จะกล่าวว่า f มี ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าสู งสุ ดสั มบูรณ์ ของ f
(2) จะกล่าวว่า f มี ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ บน D ถ้ามี x*D
ซึ่ง f(x*)  f(x) ทุก xD
และเรี ยก f(x*) เป็ น ค่ าตา่ สุ ดสั มบูรณ์ ของ f

ทฤษฎีบท 4.5.4 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้ว f จะมีค่าสูงสุ ดสัมบูรณ์ และค่าต่าสุ ด
สัมบูรณ์บน I
ทฤษฎีบท 4.5.5 ให้ I เป็ นช่วง และ f : I เป็ นฟังก์ชนั
ต่อเนื่องบน I ถ้า ,  I โดยที่  <  และ
f() < 0 < f() [หรื อ f() > 0 > f()] แล้วจะมี c(, )
ซึ่ง f(c) = 0

ทฤษฎีบท 4.5.6 ทฤษฎีบทค่ ามัชฌิมของโบลซาโน
(Bolzano’s Intermediate Value Theorem)

ทฤษฎีบท 4.5.7 ให้ I = [ a, b ] เป็ นช่วงปิ ด และ f : I เป็ น
ฟังก์ชนั ต่อเนื่องบน I แล้วเซตของ f( I ) = { f(x) | x I } เป็ นช่วง
ปิ ด