Transcript (Some Extension of Limit Concept) บทนิยาม 4.3.1 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D( x0, ) = { xD |

(Some Extension of Limit Concept)
บทนิยาม 4.3.1 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ
D( x0, ) = { xD | x > x0 } ฟังก์ชนั f จะเรี ยกว่า
มีลมิ ิตขวา (right-hand limit) ที่ x0 เท่ากับ L ก็
ต่อเมื่อสาหรับ  > 0 จะมี  > 0 ถ้า 0 < x – x0 < ,
xD ทาให้ | f(x) – L | < 
lim  f(x) = L
และเขียนแทนด้วย x
x
0
อ่านว่า ลิมิตของ f เมื่อ x เข้าใกล้ x0 ทางขวาเท่ากับ L
บทนิยาม 4.3.2 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ
D( –, x0 ) = {xD | x < x0} ฟังก์ชนั f จะเรี ยกว่า
มีลมิ ิตซ้ าย (left-hand limit) ที่ x0 เท่ากับ
L ก็ต่อเมื่อ สาหรับ  > 0 จะมี  > 0
ถ้า 0 < x0 – x < , xD ทาให้ | f(x) – L | < 
limx  f(x) = L
และเขียนแทนด้วย x
0
อ่านว่า ลิมิตของ f เมื่อ x เข้าใกล้ x0 ทางซ้ายเท่ากับ L
ทฤษฎีบท 4.3.3 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ
lim  f(x) = L ก็ต่อเมื่อ
D( x0, ) แล้ว x
x0
สาหรับลาดับ xn ใดๆที่ล่เู ข้าสู่ x0 ที่ xnD และ
xn > x0 ทุก n แล้วลาดับ {f ( xn )}
n 1 ลู่เข้าสู่ L
การพิสูจน์ สามารถทาได้ในทานองเดียวกับ ทฤษฎีบท 4.1.2

ทฤษฎีบท 4.3.4 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ
D( x0, ) และ D( –, x0 ) แล้ว xlim
f(x)
=
L
x0
lim f(x) = L = lim  f(x)
ก็ต่อเมื่อ x
xx0
x0
การพิสูจน์
( ) ให้ xlim
x0f(x) = L
สาหรับ  > 0 จะมี  > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < 
ทาให้ | f(x) – L | < 
lim  f(x) = L = lim  f(x)
ดังนั้น x
xx
x
0
0
lim f(x) = L
( ) ให้  > 0 เนื่องจาก x
x0
จะมี 1 > 0 ที่ 0 < x – x0 < 1 และ xD
ทาให้ | f(x) – L | < 
เนื่องจาก x
limx f(x) = L
0
จะมี 2 > 0 ที่ 0 < x0 – x < 2 และ xD
ทาให้ | f(x) – L | < 
เลือก  = min { 1, 2 }
จะได้วา่ ถ้า 0 < | x – x0 | <  ทาให้ | f(x) – L | < 
นัน่ คือ xlim
x0 f(x) = L

ลิมิตอนันต์ (Infinite Limits)
กาหนด
เมื่อ x  0 ดังรู ป 4.3.1 ฟังก์ชนั f ไม่มี
ขอบเขตบนย่านของจุด 0 ฟังก์ชนั f ย่อมไม่สอดคล้องกับ
นิยาม 4.1.1 ทาให้ f ไม่มีลิมิตที่ 0
1
f(x) = x 2
Y
X
ในที่น้ ีเพื่อความสะดวกจะใช้สญ
ั ลักษณ์  (+ ) หรื อ –
แทนค่าที่ฟังก์ชนั ไม่มีขอบเขต แต่ตอ้ งคานึงเสมอว่า  และ
– ไม่เป็ นจานวนจริ ง
บทนิยาม 4.3.5 ให้ f : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D
1) จะกล่าวว่า f มีค่าเข้ าใกล้  เมื่อ x มีค่าเข้ าใกล้ x0 และเขียน
่
แทนด้วย xlim
f(x)
=

ก็
ต
อ
เมื
่
อ
ส
าหรั
บ
ทุ
ก
ๆ

>
0
จะมี

>
0
ซึ
่
ง
x
0
ถ้า 0 < | x – x0 | <  และ xD แล้ว f(x) > 
2) จะกล่าวว่า f มีค่าเข้ าใกล้ – เมื่อ x มีค่าเข้ าใกล้ x0 และเขียน
แทนด้วย lim f(x) = – ก็ต่อเมื่อ สาหรับทุกๆ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง
xx0
ถ้า 0 < | x – x0 | <  และ xD แล้ว f(x) < –
ทฤษฎีบท 4.3.6 ให้ f, g : D , x0 เป็ นจุดลิมิตของ D และ
f(x)  g(x) สาหรับทุกๆ xD เมื่อ x  x0
lim
(1) ถ้า xlim
f(x)
=

แล้
ว
x0
xx0g(x) = 
(2) ถ้า xlim
f(x) = -
x0g(x) = - แล้ว xlim
x
0
การพิสูจน์
(1)
กาหนด xlim
x0f(x) = 
ให้  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < | x – x0 | < , xD ทา
ให้ f(x) > 
เนื่องจาก f(x)  g(x) ทุก xD เมื่อ x  x0
ดังนั้น ถ้า 0 < | x – x0 | < , xD ทาให้ g(x) > 
นัน่ คือ xlim
g(x) = 
x
0
(2)
พิสูจน์เป็ นแบบฝึ กหัด

บทนิยาม 4.3.7 ให้ f : D
(1) x0 เป็ นจุดลิมิตของ D( x0,  ) = { xD | x > x0 }
จะเรี ยก f เข้ าใกล้ (–) เมื่อ x  x0+ และเขียน
lim f(x) =  [ lim f(x) = – ]
แทนด้วย x
x0
xx
0
ก็ต่อเมื่อสาหรับ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < x – x0 <
 และ xD แล้ว f(x) > [ f(x) < – ]
(2) x0 เป็ นจุดลิมิตของ D( –, x0 ) = { xD | x < x0 } จะ
เรี ยก f เข้ าใกล้  (–) เมื่อ x  x0– และเขียนแทนด้วย
lim  f(x) =  [ lim  f(x) = – ]
xx
xx
0
0
ก็ต่อเมื่อสาหรับ  > 0 จะมี  > 0 ซึ่ง ถ้า 0 < x0 – x < 
และ xD แล้ว f(x) > [ f(x) < – ]
บทนิยาม 4.3.8 ให้ f : D
(1) ให้ ( a,  )  D จะเรี ยก L ว่าเป็ น ลิมิตของ
f เมื่อ x เข้ าใกล้  และเขียนแทนด้วย lim f(x) = L
ก็ต่อเมื่อ สาหรับ  > 0 จะมี k > axซึ่งถ้า x > k ทาให้ |
f(x) – L | < 
(2) ให้ (–, b )  D จะเรี ยก L ว่าเป็ น
ลิมิตของ
lim
f เมื่อ x เข้ าใกล้ – และเขียนแทนด้วย x f(x) = L
ก็ต่อเมื่อ สาหรับ  > 0 จะมี k < b ซึ่งถ้า x < k ทาให้
| f(x) – L | < 
บทนิยาม 4.3.9 ให้ f : D
(1) ให้ ( a,  )  D , a จะเรี ยกว่า f เข้ าใกล้
(–) เมื่อ x
lim f(x) =  [ lim f(x) = – ]
เขียนแทนด้วยx

x 
ก็ต่อเมื่อ  > 0 จะมี k > a ซึ่งถ้า x > k แล้ว f(x) >
 [ f(x) < – ]
(2) ให้ (–, b )  D , b จะเรี ยกว่า f เข้ าใกล้  (–)
เมื่อ x–
เขียนแทนด้วย xlim f(x) =  [xlimf(x) = – ]
ก็ต่อเมื่อ  > 0 จะมี k < b ซึ่งถ้า x < k แล้ว f(x) >  [
f(x) < – ]
ทฤษฎีบท 4.3.10 ให้ D  และ f, g : D ,
( a, )  D , a
lim gf ((xx)) = L เมื่อ
ถ้า g(x) > 0 สาหรับ x > a และx

L , L  0
lim f(x) =  ก็ต่อเมื่อ lim g(x) = 
ถ้า L > 0 แล้ว x

x 
lim f(x) = – ก็ต่อเมื่อ lim g(x) = 
ถ้า L < 0 แล้ว x

x 