Transcript บทที่ 4.2 ลิมิตและความต่อเนื่อง(ทฤษฎีบทลิมิต)
Slide 1
(Limit Theorem)
Slide 2
ทฤษฎีบทลิมิตจะช่วยในการคานวณค่าลิมิตของฟังก์ชนั
ได้เร็ วขึ้น ทฤษฎีบทลิมิตของฟังก์ชนั มีผลลัพธ์คล้ายกับทฤษฎี
บทลิมิตของลาดับ ที่กล่าวมาในบทที่ 3 ในการพิสูจน์สามารถ
ทาได้โดยใช้นิยามลิมิต ทฤษฎีบท 4.1.2 หรื อ ผลที่ได้จาก
หัวข้อ 3.4
Slide 3
ทฤษฎีบท 4.2.1 ให้ f, g : D มี x0 เป็ นจุดลิมิตของ D, f
และ g มีลิมิตที่ x0 แล้ว
(1) f+g มีลิมิตที่ x0 และ
(2) fg มีลิมิตที่ x0 และ
lim f(x) + lim g(x)
(
f+g
)(x)
=
x x
x x
x x
lim
0
0
0
lim f(x) ][ lim g(x) ]
(
fg
)(x)
=
[
x x
x x
x x
lim
0
0
0
f
g(x)
0
แล้
ว
(3) ถ้า g(x) 0 สาหรับ xD และ xlim
g
x0
มีลิมิตที่ x0 และ
lim f ( x )
x
x0
f
lim ( g ) =
lim g ( x )
x x
0
x x0
Slide 4
การพิสูจน์
(1)เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0
{
x
}
ให้ n n 1 เป็ นลาดับใดๆที่ล่เู ข้าสู่ x0 โดยที่ xn x0 ทุกๆ n
{
f
(
x
)}
โดยทฤษฎีบท 4.1.2 ทาให้ n n 1 เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ xlim
x 0 f(x)
{
g
(
x
)}
g(x)
และ n n 1 เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ xlim
x
0
โดยทฤษฎีบท 3.4.1 {( f g )( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้า และ
lim ( f+g )(x) = lim f(x) + lim g(x)
n
n
n
lim g(x)
=xlim
f(x)
+
x x
x
0
0
Slide 5
นัน่ คือ ฟังก์ชนั f + g มีลิมิตที่ x0 และ
lim ( f+g )(x) = lim f(x) + lim g(x)
x x
x x
x x
0
0
0
ต่อไปจะแสดงว่า fg มีลิมิตที่ x0 และ gf มีลิมิตที่ x0 โดยใช้นิยาม 4.1.1
กาหนดให้
f(x)
=
A,
x x
lim
0
lim
g(x) = B
x x0
(2) ให้ > 0
จะหา > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < ทาให้ | ( fg )(x) – AB | <
f มีลิมิตที่ x0 โดยทฤษฎีบท 4.1.4 จะมี M > 0 และ 1 > 0 ซึ่ ง
0 < | x – x0| < 1 , xD แล้ว | f(x) | M
Slide 6
ให้ =
| B | M
ดังนั้น > 0
จะมี 2 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2, xD ทาให้ | f(x) – A | <
g ต่อเนื่องที่ x0
จะมี 3 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3, xD ทาให้ | g(x) – B | <
เลือก = min {1, 2, 3}
Slide 7
ถ้า 0 < | x – x0| < แล้วทาให้
| ( fg )(x) – AB | = | f(x)g(x) – AB + f(x)B – f(x)B |
| f(x)g(x) – f(x)B | + | f(x)B – AB |
= | f(x) || g(x) – B | + | B || f(x) – A |
< M + | B |
= ( M + | B | )
ดังนั้น | ( fg )(x) – AB | <
lim f(x) ][ lim g(x) ]
ฟังก์ชนั fg มีลิมิตที่ x0 และ xlim
(
fg
)(x)
=
[
x
x x
x x
0
0
0
Slide 8
(3) ให้ > 0 , B 0 และ g(x) 0, xD
f
จะหา > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < จะทาให้ | ( g )(x) – AB | <
เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0 และ | B2 | > 0 จะมี 1 > 0
ซึ่งถ้า 0 < | x – x0| < 1
ทาให้
| g(x) – B | < | B2 |
| | g(x) | - | B | | <
|B|
2
|B|
2
< | g(x) | < 3 | B2 |
Slide 9
กรณี ที่ A2 0
ให้ = 4B| A | จะมี 2 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2 , xD ทาให้
| g(x) – B | <
ให้ = | B4| จะมี 3 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3 , xD ทาให้
| f(x) – A | <
Slide 10
เลือก = min {1, 2, 3} ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < แล้วทาให้
( gf )( x ) AB
=
Bf ( x ) Ag ( x ) AB AB
Bg ( x )
Bf ( x ) AB
Bg ( x )
+
Ag ( x ) AB
Bg ( x )
| f(x) A |
| A || g ( x ) B |
= | g ( x ) | + | B || g ( x ) |
2
|
A
|
2
< |B| +
=
2
|B|
Slide 11
f
ดังนั้น | ( g )(x) – AB | <
กรณี ที่ A = 0
จะมี 0 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < 0 ทาให้ | f(x) | <
2
|B|
เลือก = min {1, 0}
f(x)
f
(
x
)
A
ถ้า 0 < | x – x0 | < แล้ว g ( x ) B = g ( x ) <
lim f ( x )
x x0
f
f
lim
ฟังก์ชนั g มีลิมิตที่ x0 และ x x ( g )(x) = lim g ( x )
0
x x
0
g(x) 0 และ g(x) 0 , xD
เมื่อ xlim
x
0
Slide 12
ทฤษฎีบท 4.2.3 ให้ f : D และ g : D x0 เป็ นจุดลิมิต
ของ D f, g มีลิมิตที่ x0 ถ้า f(x) g(x) ทุกๆ xD แล้ว
lim f(x) lim g(x)
x x0
x x
0
การพิสูจน์ เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0
ลู่เข้าสู่
สาหรับ { x n } n 1 ใดๆที่ล่เู ข้าสู่ x0 ทาให้ลาดับ { f ( x n )} n 1
lim f(x) และลาดับ { g ( x n )}
lim g(x)
่
่
ลู
เ
ข้
า
สู
n
1
x x
x x
0
0
Slide 13
แต่ f(x) g(x) ทุกๆ xD ทาให้ f(xn) g(xn) ทุกๆ n
lim g(xn)
โดยบทแทรก 3.4.4 xlim
f(x
)
n
x
x x
0
f(x)
นัน่ คือ xlim
x0
0
g(x)
x x
lim
0
Slide 14
ทฤษฎีบท 4.2.4 ให้ f : D และ g : D , x0 เป็ น
จุดลิมิตของ D ถ้า f มีขอบเขตบนเซต Q ซึ่งเป็ นย่านของจุด
x0 และ g มีลิมิตเท่ากับ 0 ที่จุด x0 แล้ว fg มีลิมิตที่ x0 และ
lim (fg)(x) = 0
x x
0
การพิสูจน์
ให้ > 0 จะหา > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0 | < แล้ว |
(fg)(x) | <
Slide 15
เนื่องจาก f มีขอบเขตบน Q ซึ่งเป็ นย่านจุด x0 ดังนั้นจะมี
1 > 0 และ M > 0
ที่ | x – x0 | < 1, xD ทาให้ | f(x) | M
เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0
ให้ = M > 0 จะมี 2 > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < 2 ทาให้
| g(x) – 0 | < | g(x) | <
เลือก = min {1, 2}
Slide 16
ถ้า 0 < | x – x0 | < และ xD ทาให้
| (fg)(x) | = | f(x)g(x) |
= | f(x) || g(x) |
< M =
(fg)(x) = 0
นัน่ คือ fg มีลิมิตที่ x0 และ xlim
x
0
(Limit Theorem)
Slide 2
ทฤษฎีบทลิมิตจะช่วยในการคานวณค่าลิมิตของฟังก์ชนั
ได้เร็ วขึ้น ทฤษฎีบทลิมิตของฟังก์ชนั มีผลลัพธ์คล้ายกับทฤษฎี
บทลิมิตของลาดับ ที่กล่าวมาในบทที่ 3 ในการพิสูจน์สามารถ
ทาได้โดยใช้นิยามลิมิต ทฤษฎีบท 4.1.2 หรื อ ผลที่ได้จาก
หัวข้อ 3.4
Slide 3
ทฤษฎีบท 4.2.1 ให้ f, g : D มี x0 เป็ นจุดลิมิตของ D, f
และ g มีลิมิตที่ x0 แล้ว
(1) f+g มีลิมิตที่ x0 และ
(2) fg มีลิมิตที่ x0 และ
lim f(x) + lim g(x)
(
f+g
)(x)
=
x x
x x
x x
lim
0
0
0
lim f(x) ][ lim g(x) ]
(
fg
)(x)
=
[
x x
x x
x x
lim
0
0
0
f
g(x)
0
แล้
ว
(3) ถ้า g(x) 0 สาหรับ xD และ xlim
g
x0
มีลิมิตที่ x0 และ
lim f ( x )
x
x0
f
lim ( g ) =
lim g ( x )
x x
0
x x0
Slide 4
การพิสูจน์
(1)เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0
{
x
}
ให้ n n 1 เป็ นลาดับใดๆที่ล่เู ข้าสู่ x0 โดยที่ xn x0 ทุกๆ n
{
f
(
x
)}
โดยทฤษฎีบท 4.1.2 ทาให้ n n 1 เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ xlim
x 0 f(x)
{
g
(
x
)}
g(x)
และ n n 1 เป็ นลาดับลู่เข้าสู่ xlim
x
0
โดยทฤษฎีบท 3.4.1 {( f g )( x n )} n 1 เป็ นลาดับลู่เข้า และ
lim ( f+g )(x) = lim f(x) + lim g(x)
n
n
n
lim g(x)
=xlim
f(x)
+
x x
x
0
0
Slide 5
นัน่ คือ ฟังก์ชนั f + g มีลิมิตที่ x0 และ
lim ( f+g )(x) = lim f(x) + lim g(x)
x x
x x
x x
0
0
0
ต่อไปจะแสดงว่า fg มีลิมิตที่ x0 และ gf มีลิมิตที่ x0 โดยใช้นิยาม 4.1.1
กาหนดให้
f(x)
=
A,
x x
lim
0
lim
g(x) = B
x x0
(2) ให้ > 0
จะหา > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < ทาให้ | ( fg )(x) – AB | <
f มีลิมิตที่ x0 โดยทฤษฎีบท 4.1.4 จะมี M > 0 และ 1 > 0 ซึ่ ง
0 < | x – x0| < 1 , xD แล้ว | f(x) | M
Slide 6
ให้ =
| B | M
ดังนั้น > 0
จะมี 2 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2, xD ทาให้ | f(x) – A | <
g ต่อเนื่องที่ x0
จะมี 3 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3, xD ทาให้ | g(x) – B | <
เลือก = min {1, 2, 3}
Slide 7
ถ้า 0 < | x – x0| < แล้วทาให้
| ( fg )(x) – AB | = | f(x)g(x) – AB + f(x)B – f(x)B |
| f(x)g(x) – f(x)B | + | f(x)B – AB |
= | f(x) || g(x) – B | + | B || f(x) – A |
< M + | B |
= ( M + | B | )
ดังนั้น | ( fg )(x) – AB | <
lim f(x) ][ lim g(x) ]
ฟังก์ชนั fg มีลิมิตที่ x0 และ xlim
(
fg
)(x)
=
[
x
x x
x x
0
0
0
Slide 8
(3) ให้ > 0 , B 0 และ g(x) 0, xD
f
จะหา > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < จะทาให้ | ( g )(x) – AB | <
เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0 และ | B2 | > 0 จะมี 1 > 0
ซึ่งถ้า 0 < | x – x0| < 1
ทาให้
| g(x) – B | < | B2 |
| | g(x) | - | B | | <
|B|
2
|B|
2
< | g(x) | < 3 | B2 |
Slide 9
กรณี ที่ A2 0
ให้ = 4B| A | จะมี 2 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 2 , xD ทาให้
| g(x) – B | <
ให้ = | B4| จะมี 3 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0| < 3 , xD ทาให้
| f(x) – A | <
Slide 10
เลือก = min {1, 2, 3} ที่ ถ้า 0 < | x – x0| < แล้วทาให้
( gf )( x ) AB
=
Bf ( x ) Ag ( x ) AB AB
Bg ( x )
Bf ( x ) AB
Bg ( x )
+
Ag ( x ) AB
Bg ( x )
| f(x) A |
| A || g ( x ) B |
= | g ( x ) | + | B || g ( x ) |
2
|
A
|
2
< |B| +
=
2
|B|
Slide 11
f
ดังนั้น | ( g )(x) – AB | <
กรณี ที่ A = 0
จะมี 0 > 0 ซึ่ง 0 < | x – x0 | < 0 ทาให้ | f(x) | <
2
|B|
เลือก = min {1, 0}
f(x)
f
(
x
)
A
ถ้า 0 < | x – x0 | < แล้ว g ( x ) B = g ( x ) <
lim f ( x )
x x0
f
f
lim
ฟังก์ชนั g มีลิมิตที่ x0 และ x x ( g )(x) = lim g ( x )
0
x x
0
g(x) 0 และ g(x) 0 , xD
เมื่อ xlim
x
0
Slide 12
ทฤษฎีบท 4.2.3 ให้ f : D และ g : D x0 เป็ นจุดลิมิต
ของ D f, g มีลิมิตที่ x0 ถ้า f(x) g(x) ทุกๆ xD แล้ว
lim f(x) lim g(x)
x x0
x x
0
การพิสูจน์ เนื่องจาก f, g มีลิมิตที่ x0
ลู่เข้าสู่
สาหรับ { x n } n 1 ใดๆที่ล่เู ข้าสู่ x0 ทาให้ลาดับ { f ( x n )} n 1
lim f(x) และลาดับ { g ( x n )}
lim g(x)
่
่
ลู
เ
ข้
า
สู
n
1
x x
x x
0
0
Slide 13
แต่ f(x) g(x) ทุกๆ xD ทาให้ f(xn) g(xn) ทุกๆ n
lim g(xn)
โดยบทแทรก 3.4.4 xlim
f(x
)
n
x
x x
0
f(x)
นัน่ คือ xlim
x0
0
g(x)
x x
lim
0
Slide 14
ทฤษฎีบท 4.2.4 ให้ f : D และ g : D , x0 เป็ น
จุดลิมิตของ D ถ้า f มีขอบเขตบนเซต Q ซึ่งเป็ นย่านของจุด
x0 และ g มีลิมิตเท่ากับ 0 ที่จุด x0 แล้ว fg มีลิมิตที่ x0 และ
lim (fg)(x) = 0
x x
0
การพิสูจน์
ให้ > 0 จะหา > 0 ที่ ถ้า 0 < | x – x0 | < แล้ว |
(fg)(x) | <
Slide 15
เนื่องจาก f มีขอบเขตบน Q ซึ่งเป็ นย่านจุด x0 ดังนั้นจะมี
1 > 0 และ M > 0
ที่ | x – x0 | < 1, xD ทาให้ | f(x) | M
เนื่องจาก g มีลิมิตที่ x0
ให้ = M > 0 จะมี 2 > 0 ที่ 0 < | x – x0 | < 2 ทาให้
| g(x) – 0 | < | g(x) | <
เลือก = min {1, 2}
Slide 16
ถ้า 0 < | x – x0 | < และ xD ทาให้
| (fg)(x) | = | f(x)g(x) |
= | f(x) || g(x) |
< M =
(fg)(x) = 0
นัน่ คือ fg มีลิมิตที่ x0 และ xlim
x
0