Slide 1

By Proof หนุ่มเลขน่ ารั ก

ลิมิตของฟังก์ ชัน


Slide 2

ลิมิตของฟังก์ ชัน
2.1 สมบัติของลิมิต
การคานวณหาลิมิตโดยใช้กราฟ เป็ นสิ่ งที่ดีในด้านการให้ผเู ้ รี ยนเห็น
แนวคิดของลิมิตได้แจ่มชัดว่าลิมิตของฟังก์ชนั เป็ นอย่างไร อย่างไรก็ตาม
การหาลิมิตจากกราฟ อาจทาให้ได้คาตอบที่คลาดเคลื่อนไปจากความเป็ น
จริ งได้
วิธีการหาลิมิตที่จะกล่าวในหัวข้อนี้ เป็ นวิธีการหาลิมิตของฟังก์ชนั โดย
การใช้กฎ หรื อสมบัติต่างๆ ของลิมิตเข้าช่วยหาลิมิตโดยไม่ตอ้ งเขียนกราฟ
ทั้งที่หาลิมิตได้และหาลิมิตไม่ได้


Slide 3

ขอเริ่ มด้วยการใช้กฎของการคานวณหาลิมิตของฟังก์ชนั พื้นฐาน
จานวน 2 ฟังก์ชนั คือ
f(x) = k
เมื่อ k เป็ นค่าคงตัว
และ f(x) = x
ซึ่งทั้งสองฟังก์ชนั ให้กราฟเป็ นเส้นตรง ดังรู ป 2.1 (1) และ (2)
ทั้งนี้ เพื่อนาไปสู่การคานวณหา ลิมิตของฟังก์ชนั ที่ซบั ซ้อนขึ้น
k

(1)

รู ป 2.1

(2)


Slide 4

ตารางทีจ่ ะแสดงต่ อไปนี้ เป็ นกฎพืน้ ฐานสาหรับคานวณหาลิมิตฟังก์ชันทั้ง
สอง รวมทั้งหมด 6 ข้ อพร้ อมทั้งตัวอย่ าง และการแสดงทีม่ าของกฎโดยการ
ใช้ กราฟของฟังก์ชัน เมื่อกาหนดให้ a และ k ทีเ่ ป็ นค่ าคงตัว
เมือ่
ลิมิต
ตัวอย่าง

xa
x
x  

lim k  k
x a

lim k  k

x 

lim

lim 5  5
x1

lim 5  5
x 

kk

x  

รู ป 2.2

lim 5  5

x  


Slide 5

เมือ่

xa
x
x  

(a)

ลิมิต

ตัวอย่าง

lim x  a

lim x  4

x a

lim x  

x 

lim

x  

x  

(b)

รู ป 2.3

x 4

ดูรูป 2.3 (b)
ดูรูป 2.3 (c)

(c)


Slide 6

จากกราฟของฟังก์ชนั ที่กาหนดให้ จะได้ทฤษฎีบทที่จะกล่าวต่อไปนี้
ซึ่งเป็ นสมบัติพ้นื ฐานของลิมิตที่สามารถเห็นได้ชดั เจนจากกราฟ
นอกเหนือไปจากกฎพื้นฐาน 6 ข้อ ที่กล่าวในทฤษฎีบท 2.11 แล้ว
เราสามารถคานวณหาลิมิตของฟังก์ชนั ที่มีรูปที่ซบั ซ้อนมากขึ้นได้
ทฤษฎีบท 2.1.1 ถ้า f(x) = k เมื่อ k เป็ นค่าคงตัว จะได้วา่
(1) lim k  k
x a

(2)

(3)

lim k  k

x 

lim
x 

kk


Slide 7

ทฤษฎีบท 2.1.2 ถ้า f(x) = x จะได้วา่
(1) lim x  a
x a

(2)
(3)

lim x  
x 

lim
x 

x  


Slide 8

เพื่อความสะดวกต่อจากนี้ไป ขอทาความตกลงว่าสัญลักษณ์ของลิมิต
ที่เขียนว่า lim f(x) ขอให้หมายถึงว่ามีความหมายเป็ นอย่างใดอย่างหนึ่งก็ได้
ใน 5 อย่างต่อไปนี้
lim f ( x )
x a

lim f ( x )
x a

lim f ( x )
x 



lim f ( x )
x a

lim
x 

f (x )




Slide 9

ทฤษฎีบท 2.1.3
ถ้า lim f(x) = L1 และ lim g(x) = L2 เมื่อ L1 , L2 เป็ นจานวนจริ ง แล้ว

1. lim  f(x)  g(x)   lim f ( x )  lim g ( x )  L 1  L 2
2. lim  f(x)  g(x)   lim f ( x )  lim g ( x )  L 1  L 2
3. lim  f(x)  g(x)   lim f ( x )  g ( x )  L 1 L 2
4.

lim

5. lim n

f(x)
g(x)



lim f ( x )
lim g ( x )



L1
L2

เมือ่ L 2  0

f(x)  n lim f ( x )  n L 1

โดยที่ L 1  0 เมือ่ n เป็ นจานวนค ูู ู่


Slide 10

สมบัติของลิมิตทั้งห้าข้อในทฤษฎีบท 2.1.3 หากกล่าวเป็ นคาพูด
อาจกล่าวได้วา่
1.ลิมิตของผลบวกเท่ากับผลบวกของลิมิต
2.ลิมิตของผลต่างเท่ากับผลต่างของลิมิต
3.ลิมิตของผลคูณเท่ากับผลคูณของลิมิต
4.ลิมิตของผลหารเท่ากับผลหารของลิมิต เมื่อลิมิตของตัวหารไม่เท่ากับศูนย์
5. ลิมิตของรากที่ n เท่ากับรากที่ n ของลิมิต
หมายเหตุ การใช้สมบัติของลิมิตในทฤษฎีบท 2.1.3
เราจะต้องแน่ใจเสี ยก่อนว่า lim f(x) และ g(x)หาค่าได้


Slide 11

สมบัติของ 1 และ 3 ในทฤษฎีบท 2.2.1 นอกจากจะใช้ได้สาหรับ
สองฟังก์ชนั แล้ว ยังใช้ได้สาหรับฟังก์ชนั จานวนจากัดด้วย กล่าวคือ
ทฤษฎีบท 2.1.4
ถ้า lim f1(x) = L1 , lim f2(x) = L2 ,…, lim fn(x) = Ln แล้ว
limf1(x) + f2(x) +… + fn(x) = lim f1(x) + lim f2(x) + … + lim fn(x)
= L1 + L2 + … + Ln
ทฤษฎีบท 2.1.5
limf1(x) f2(x)…fn(x) = lim f1(x)lim f2(x) … lim fn(x) = L1L2...Ln


Slide 12

ในกรณี ที่เป็ นผลคูณของฟังก์ชนั เดียวกันทั้ง n ฟังก์ชนั ทบ.2.1.5
อาจกล่าวใหม่ได้วา่
n
n




lim
f(x)

lim
f
(
x
)
ทฤษฎีบท 2.1.6

เมื่อ lim f(x) หาค่าได้ และ n เป็ นจานวนเต็มบวก
และในกรณี ที่ f(x) = x และ a เป็ นค่าคงตัว จาก ทบ. 2.1.2 เราทราบแล้วว่า
lim f(x)  a
x a

ดังนั้น ถ้า n เป็ นจานวนเต็มบวกแล้วโดยอาศัย ทบ.2.1.6 และ ทบ.2.1.7 ดังนี้
n
n
ทฤษฎีบท 2.1.7 lim x  a
x a

เมื่อ a เป็ นค่าคงตัว และ n เป็ นจานวนเต็มบวก


Slide 13

ทฤษฎีบท 2.1.8 lim

n

xn a

x a

เมื่อ a เป็ นค่าคงตัว n เป็ นจานวนเต็มบวก และในกรณี ที่ n เป็ นจานวนคู่
a จะต้องเป็ นจานวนจริ งบวกหรื อศูนย์
ในกรณี ที่ k เป็ นค่าคงตัว จาก ทบ.2.1.1 จะได้วา่ lim k = k

ดังนั้น ถ้า lim f(x) หาค่าได้แล้ว จากสมบัติของลิมิต ทบ.2.1.3 จะได้วา่
lim k f(x) = k lim f(x)
ทฤษฎีบท 2.1.9 lim k f(x) = k lim f(x) เมื่อ k เป็ นค่าคงตัว
และ lim f(x) หาค่าได้


Slide 14

ต่อจากนี้ไป จะเป็ นตัวอย่างการนากฎพื้นฐานและสมบัติต่างๆ
ของลิมิต มาช่วยการคานวณหาลิมิตของฟังก์ชนั โดยไม่ตอ้ งเขียนกราฟ
2

ตัวอย่ างที่ 1 จงหา lim (x  5x  4)
x 2

วิธีทา

เนื่องจาก

2

2

lim x  2  4
x 2

lim 5 x  5 ( 2 )  10
x 2

และ

lim 4  4
x 2

(ทบ. 2.1.7)

(ทบ. 2.1.9)
(ทบ. 2.1.1)


Slide 15

ดังนั้น จากทฤษฎีบท 2.1.3 ข้อ (1) และ (2) จะได้วา่
2

2

lim (x  5x  4)  lim x  lim 5 x  lim 4
x 2

x 2

x 2

 4  10  4
 2

ดังนั้น

2

lim (x  5x  4)  -2
x 2

x 2


Slide 16

2.2 ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม
2.2.2 ลิมติ ของฟังก์ ชันพหุนามในขณะที่ x  a

จากตัวอย่างที่ 1 จะพบว่าฟังก์ชนั

2

f (x)  x  5x  4

x  2 เป็ นฟังก์ชนั พหุ นาม และค่าลิมิตที่ได้
ที่นามาหาลิมิต เมื่อ
จะเท่ากับ f(2) = 22 – 5(2) + 4 = -2

ซึ่งเรื่ องนี้ไม่ใช่เรื่ องบังเอิญเท่านั้น แต่จะเป็ นจริ งสาหรับทุกๆ
ฟังก์ชนั ที่เป็ นฟังก์ชนั พหุนามดังทฤษฎีบทที่จะกล่าวต่อไปนี้


Slide 17

ทฤษฎีบท 2.2.1 กาหนดฟังก์ชนั พหุนามใดๆ
p(x) = c0 + c1x +c2x2 +…+cnxn
และ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ จะได้วา่
lim p ( x ) 
x a

p(x) = c0 + c1x +c2x2 +…+cnxn

ผลจากทฤษฎี 2.2.1 จะทาให้การคานวณหาลิมิตของฟังก์ชนั
พหุนามสะดวกและง่ายขึ้น กล่าวคือ ถ้าต้องการหาลิมิตของฟังก์ชนั
พหุนามในขณะที่ x  a เมื่อ a เป็ นจานวนจริ ง แล้วเราเพียงแต่นา a
ไปแทนค่าตัวแปรในฟังก์ชนั ดังตัวอย่างต่อไปนี้


Slide 18

ตัวอย่ างที่ 2

2

1 ) lim ( 3 x  6 x  1 )
x 4

2

3

2 ) lim ( 4 x  8 x  5 x )
x  1

3

5

3 ) lim ( 8 x  7 x  6 x  3 )
x 0

ตัวอย่ างที่ 3 จงหา

3

lim
x 2

2

2x  3x  5
2

x  4x  5


Slide 19

2.2.2 ลิมิตของฟังก์ชนั พหุนามในขณะที่ x   หรื อ x  
ต่อไปเราจะหาหลักการหาลิมิตของพหุนามในขณะที่ x  

หรื อ x  
โดยจะเริ่ มจากการหาลิมิตของพหุนาม f(x) = xn เมื่อ n = 1,2,3,…
เช่นฟังก์ชนั พหุนาม
f(x)=x , f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = x4
ชื่อมีกราฟดังรู ป 2.1 ผลที่ได้จากกราฟทั้งสี่ เป็ นกรณี เฉพาะของ
กรณี ทวั่ ไป ดังต่อไปนี้


Slide 20

ทฤษฎีบท 2.2.2 ถ้า f(x) = xn เมื่อ n = 1,2,3,… แล้วจะได้วา่
n

1 ) lim x   เมือ่ n  1 , 2 , 3 ,...
x 

2)

lim
x 

lim x  

x 

lim x  

x  

 เมือ่ n  2 , 4 , 6 ,...

n
x 


เมื
อ
่
n

1
,
3
,
5
,...


2

lim x  

x 

lim

x  

2

x 

3
lim x  

x 

3
lim x  

x  

4
lim x  

x 

4
lim x  

x  


Slide 21

ในกรณี ที่มีค่าคงตัวคูณกับ xn ถ้าค่าคงตัวนั้นเป็ นจานวนบวก
จะไม่มีผลต่อลิมิต ทบ.2.2.2 ข้อ ( 1 ) และ ( 2 )
ดังกล่าวแต่ถา้ ตัวคงตัวเป็ นจานวนลบ จะมีผลโดยต้องเปลี่ยน
เครื่ องหมายของลิมิตที่ได้ใน ทบ.2.2.2 ข้อ ( 1 ) และ ( 2 ) ดัง ทบ. ต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 2.2.3 ถ้า f(x) = xn เมื่อ c เป็ นค่าคงตัว แล้วจะได้วา่
n

1 ) lim cx   เมือ่ c  0 และ n  1 , 2 , 3 ,...
x 

n

2 ) lim cx   เมือ่ c  0 และ n  1 , 2 , 3 ,...
x 


Slide 22

ทฤษฎีบท 2.2.4 ถ้า f(x) = xn เมื่อ c เป็ นค่าคงตัว แล้วจะได้วา่
1)

lim
x 

2)

lim
x 

 เมือ่ n  2 , 4 , 6 ,...; c  0

n
cx  
   เมือ่ n  1 , 3 , 5 ,...; c  0
  เมือ่ n  2 , 4 , 6 ,...; c  0

n
cx  

เมื
อ
่
n

1
,
3
,
5
,...;
c

0
