Slide 1

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 2

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 3

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 4

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 5

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 6

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 7

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 8

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 9

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 10

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 11

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 12

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 13

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 14

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 15

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 16

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 17

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 18

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 19

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 20

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 21

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 22

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 23

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 24

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 25

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 26

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 27

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 28

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 29

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 30

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้



Slide 31

หลักการจัดอันดับดี (The Well-Ordering Principle)
บทนิยาม 1.1.10 จำนวน a จะเรี ยกว่ำเป็ น สมาชิกตัวแรก
(least element) ของ A 
ถ้ำ aA และ a  x สำหรับทุก xA
สั จพจน์ หลักการจัดอันดับดี
ทุกเซตย่อยของเซตของจำนวนนับ ที่ไม่ใช่เซตว่ำง เป็ นเซตที่มีสมำชิก
ตัวแรก

1.2 ฟังก์ ชัน (Functions)
บทนิยาม 1.2.1 ถ้ำ A และ B เป็ นเซตแล้ว ผลคูณคาร์ ทเี ซียน
(cartesian product) ของ A และ B เขียนแทนด้วย AB
หมำยถึงเซตของคู่อนั ดับ ( a, b ) เมื่อ aA และ bB
นัน่ คือ AB = { ( a, b ) | aA , bB }

บทนิยาม 1.2.2 ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ ชันจาก
A ไปยัง B เมื่อ f เป็ นเซตย่อยของ AB ที่ แต่ละ aA จะมีคู่อนั ดับ
(a, b) f เพียงคู่เดียวเท่ำนั้น
ว่ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B ก็ต่อเมื่อ f  AB โดยที่
Df = A, Rf = { bB |  aA, (a, b) f } และ ถ้ำมี (a, b1), (a, b2) f แล้ว
b1 = b2
ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย f : AB

ภาพของ x (image of x) ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ให้ f : AB
ถ้ำ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x)

ภาพของ D ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ D  A แล้ว f(D) = { f(x) | xD }
ภาพผกผัน (inverse image) ของ C ภำยใต้ฟังก์ชนั f

ถ้ำ C  B แล้ว f–1(C) = { aA | f(a)C }

ตัวอย่ าง 1 กำหนด f = { ( x, x2 ) | – < x <  }
f เป็ นฟังก์ชนั แทนโดย f(x) = x2 , – < x < 
โดเมนของ f คือ เซตของจำนวนจริ ง , เรนจ์ของ f
คือ [ 0,  )
ซึ่ งจะได้วำ่ f(1) = 1, f(–1) = 1 และ f–1(1) = { –1, 1 }

บทนิยาม 1.2.3 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B จะเรี ยก f1 ว่1ำเป็ น ฟังก์ชัน
หนึ่งต่ อหนึ่ง (one–to–one function) เขียนแทนด้วย f : A B ก็ต่อเมื่อ ถ้ำ
f(a1) = f(a2) แล้ว a1 = a2 สำหรับ a1, a2A
บทนิยาม 1.2.4 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั จำก A ไป B และเรนจ์ของ f คือเซต B
จะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันจาก A ไปทัว่ ถึง (onto) B เขียนแทนด้วย
f : AB

บทนิยาม 1.2.5 ให้ f : AB ถ้ำ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไป
ทัว่ ถึง B แล้วจะเรี ยก f ว่ำเป็ น ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่ อหนึ่ง
(one–to–one correspondence) จำก A ไปยัง B เขียนแทนด้วย
1 1
f : A B
และ ถ้ำมีฟังก์ชนั สมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจำก A ไปยัง B
จะเรี ยกว่ำเซต A เทียบเท่ า (equivalent) กับเซต B

ทฤษฎีบท 1.2.6 ถ้ำ f : AB และ X  B, Y  B แล้ว
1) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)
2) f–1(XY) = f–1(X)  f–1(Y)

ทฤษฎีบท 1.2.7 ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A แล้ว
f(XY) = f(X)f(Y)

ข้ อสั งเกต ถ้ำ f : AB และ X  A, Y  A ไม่จำเป็ นที่
f(XY) = f(X)  f(Y) เช่น

A
1
2
3
4

f

B
2
4
6
8

X = { 2, 3 } , Y = { 3, 4 }
f(XY) = { 6 }  { 4, 6 } = f(X)  f(Y)

บทนิยาม 1.2.8 ให้ f เป็ นฟังก์ชนั 1–1 จำก A ไปยัง B แล้ว f–
1 จะเป็ นฟั งก์ชน
ั 1–1 ที่มีโดเมนเป็ นเซตย่อยของ B และมี เรนจ์เป็ น
เซต A เรี ยก f–1 ว่ำ ฟังก์ชันผกผันของ f (inverse function of f)

บทนิยาม 1.2.9 ถ้ำ f : AB และ g : CD โดยที่
Rf  Dg   ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
ของ f กับ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย
(gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก xA ที่ f(x)Dg

บทนิยาม 1.2.10 ถ้ำ f : A จะเรี ยก f ว่ำ ฟังก์ชันค่ าจริง
(real–valued function)
บทนิยาม 1.2.11 ถ้ำ f : A และ g : B โดยที่
AB  
(1) (f+g)(x) = f(x) + g(x) , x  AB
(2) (f–g)(x) = f(x) – g(x) , x  AB
(3) (fg)(x) = f(x)g(x) , x  AB
f(x)
f
(4) (g )(x) = g ( x ) , x  AB – { x | g(x) = 0 }

ตัวอย่ าง 3 กำหนด f(x) = x2 , x และ g(x) = 1 , x
จะได้วำ่
1. (f + g)(x) = x2 + 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.4
2. (f – g)(x) = x2 – 1 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.5
3. (fg)(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6
4. (gf )(x) = x2 , x มีกรำฟดังรู ป 1.2.6

รู ป 1.2.4

รู ป 1.2.5

รู ป 1.2.6

บทนิยาม 1.2.12 ถ้ำ f : A และ c เป็ นจำนวนจริ ง
ใดๆ ฟังก์ชนั cf นิยำมดังนี้
(cf)(x) = cf(x) , xA

บทนิยาม 1.2.13 ถ้ำ f : A และ g : A แล้ว
(1) max { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
max { f, g }(x) = max { f(x), g(x) } , xA
(2) min { f, g } เป็ นฟังก์ชนั กำหนดโดย
min { f, g }(x) = min { f(x), g(x) } , xA

บทนิยาม 1.2.14 ถ้ำ f : A แล้ว | f | : A เป็ น
ฟังก์ชนั กำหนดโดย | f |(x) = | f(x) | , xA

1.3 เซตนับได้ (Countable Set)
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตอนันต์ นับได้
(denumerable set) ถ้ำ A มีสมนัย 1–1 กับเซตของจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่ าง 5 เซตของจำนวนเต็ม { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } เป็ น เซต
อนันต์นบั ได้
1 1
+
เพรำะมี f : 
เมื่อ f(n) =

 n  1 , n  1, 3, 5 ,...
 2

  n2 , n  2 , 4 , 6 ,...


หรื ออำจกล่ำวว่ำ

f(1) = 0
f(2) = –1
f(3) = 1
f(4) = –2
f(5) = 2

f(6) = –3
f(7) = 3
.........
สำมำรถจัดสมำชิกของเซต เป็ นตัวที่ 1, ที่ 2, ... ได้
เรื่ อยๆ
นัน่ คือ เป็ นเซตอนันต์นบั ได้

บทนิยาม 1.3.2 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำ เซตนับได้ (countable set)
เมื่อ A เป็ นเซตจำกัด หรื อเป็ นเซตอนันต์แบบนับได้

บทนิยาม 1.3.3 ให้ A เป็ นเซต จะเรี ยก A ว่ำเป็ น เซตนับไม่ ได้
(uncountable set) ถ้ำ A ไม่เป็ นเซตนับได้
A เป็ นเซตนับไม่ได้ A จะต้องเป็ นเซตอนันต์ และ A
ไม่ใช่เซตที่นบั ได้

ทฤษฎีบท 1.3.4 ถ้ำ A เป็ นเซตนับได้ และ B  A แล้ว B เป็ น เซต
นับได้

การพิสูจน์ (1) ถ้ำ B เป็ นเซตจำกัด แล้ว B เป็ นเซตนับได้
(2) ถ้ำ B เป็ นเซตอนันต์
ให้ A = { a1, a2, a3, ... }
ดังนั้น ถ้ำ bB แล้ว b = ai i = 1, 2, 3, ...
สำมำรถเขียนสมำชิกในเซต B โดยจัดแผนกำรนับ ดังนี้
b1 = ai เมื่อ i เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ aiB
b2 = aj เมื่อ j เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ ajB–{ b1 }

b3 = ak เมื่อ k เป็ นจำนวนที่นอ้ ยที่สุด ที่ akB–{ b1, b2 }
และทำเช่นนี้ต่อไปเรื่ อยๆ ดังนั้น B = { b1, b2, b3, ... }
นัน่ คือ B เป็ นเซตนับได้




ทฤษฎีบท 1.3.5 ถ้ำ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้ แล้ว  A n
n1
เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำก A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
ให้
A1 = {a11, a21, a31, … }
A2 = {a12, a22, a32, … }
A3 = {a13, a23, a33, … }
…………
An = {a1n, a2n, a3n, … }
…………

สมำชิก ajk แทนกำรเป็ นสมำชิกตัวที่ j ในเซต Ak
ให้ j+k เป็ นน้ ำหนักของสมำชิก ajk สมำชิกทุกตัวสำมำรถหำน้ ำหนัก
ได้ และค่ำของน้ ำหนักที่นอ้ ยที่สุดเท่ำกับ 2
น้ ำหนักเท่ำกับ 2 มี 1 ตัวได้จำกสมำชิก a11
น้ ำหนักเท่ำกับ 3 มี 2 ตัวได้จำกสมำชิก a12, a21
น้ ำหนักเท่ำกับ 4 มี 3 ตัวได้จำกสมำชิก a31, a22, a13
น้ ำหนักเท่ำกับ 5 มี 4 ตัวได้จำกสมำชิก a14, a23, a32, a41
…………………………
น้ ำหนักเท่ำกับ m มี m-1 ตัวได้จำกสมำชิก
a1m-1, a2m-2, …, am-11

จึงได้วำ่ น้ ำหนักแต่ละค่ำได้จำกสมำชิกเป็ นจำนวนจำกัด ทำให้
สำมำรถเขียน สมำชิกทุกตัวใน  A nโดยเรี ยงตำมน้ ำหนักที่ให้ไว้จำกน้อย
n1
ไปมำกดังนี้
a11, a12, a21, a31, a22, a13, a14, a23, a32, a41, …
เพื่อให้เห็นแผนกำรนับได้ชดั เจนขึ้น ซึ่งนับตำมลูกศรดังนี้
a11 a21 a31 a41 a51 …
a12 a22 a32 a42 a52 …
a13 a23 a33 a43 a53 …
a14 a24 a34 a44 a54 …
a15 a25 a35 a45 a55 …

……………………. จึงได้วำ่  A n เป็ นเซตนับได้
n1

บทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ เซตของจำนวนตรรกยะ เป็ นเซตของจำนวนที่
เขียนอยูใ่ นรู ป mn ; m, n  และ n  0
ให้ A1 = { 01, 11 , - 11 , 21, - 21 , 31 , - 31 , . . . }
A2 = { 0 , 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , . . . }
2 2

2 2

2 2

2

A3 = { 0 , 1 , - 31 , 23 , - 23 , 33 , - 3 , . . . }
3
3 3
………………………..
An = { n0 , n1 , - n1 , n2 , -n2 , n3 , - n3 , . . . }

จะได้วำ่ A1, A2, A3, … เป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.5 =  A n เป็ นเซตนับได้
n 1



บทแทรก 1.3.7 เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
การพิสูจน์ จำกบทแทรก 1.3.6 เซตของจำนวนตรรกยะเป็ นเซตนับได้
จำกทฤษฎีบท 1.3.4 เซตย่อยของเซตนับได้เป็ นเซตนับได้
ดังนั้น เซตของจำนวนตรรรกยะบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้


ทฤษฎีบท 1.3.8 เซตของจำนวนจริ งบน [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับได้
ให้ [ 0, 1 ] = { x0, x1, x2, x3, … }
แต่ละ xn เขียนในรู ปทศนิยม เมื่อ n, aji  { 0 } , 0  aji  9 ,
j = 1, 2, 3, … และ i = 1, 2, 3, …
x0 = 1
x1 = 0.a11a21a31a41…
x2 = 0.a12a22a32a42…
x3 = 0.a13a23a33a43…
………………………
xn = 0.a1na2na3na4n…ann…

 1 , ถ้า a nn  1
ให้ bn = 
n
 2 , ถ้า a n  1

เมื่อ n = 1, 2, 3, ...

และให้ y = 0.b1b2b3…bn… พิจำรณำ y จะเห็นว่ำ y  xn เพรำะ
ทศนิยมที่กระจำยตัวที่ n ของ y ไม่เท่ำกับตัวที่ n ของ xn , n = 1, 2, 3, ...
ดังนั้น y{ x0, x1, x2, x3, … }
แต่ y[ 0, 1 ] เกิดกำรขัดแย้ง
นัน่ คือ [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้


ทฤษฎีบท 1.3.9 เซตของจำนวนจริ งเป็ นเซตนับไม่ได้
การพิสูจน์ สมมติ เซตของจำนวนจริ ง เป็ นเซตนับได้
เนื่องจำก [ 0, 1 ] 
โดยทฤษฎีบท 1.3.4 [ 0, 1 ] เป็ นเซตย่อยของ เป็ นเซตนับได้
แต่จำกทฤษฎีบท 1.3.8 [ 0, 1 ] เป็ นเซตนับไม่ได้ เกิดกำร
ขัดแย้ง
นัน่ คือ เป็ นเซตนับไม่ได้
