ความน่ าจะเป็ นเบือ้ งต้ น กฎการนับเบือ้ งต้ น (Fundamental Counting Principle) By Proof หนุ่มเลขน่ารัก.
Download ReportTranscript ความน่ าจะเป็ นเบือ้ งต้ น กฎการนับเบือ้ งต้ น (Fundamental Counting Principle) By Proof หนุ่มเลขน่ารัก.
ความน่ าจะเป็ นเบือ้ งต้ น กฎการนับเบือ้ งต้ น (Fundamental Counting Principle) By Proof หนุ่มเลขน่ารัก กฏข้ อ 1. ถ้ าการกระทาที่หนึ่งเกิดขึน้ ได้ m วิธี การกระทาที่สองเกิดขึน้ ได้ n วิธี แล้ว จานวนวิธีที่จะเกิดการกระทาที่หนึ่งและการกระทาสองจะมีท้งั หมด mn วิธี ตัวอย่ าง 1. ชายคนหนึ่งมีกางเกง 2 ตัว เสื้ อ 3 ตัว จงหาจานวนวิธีที่ชายคนนี้ จะแต่งตัวไปทางานได้ท้ งั หมดกี่แบบไม่ซ้ ากัน วิธีทา การกระทาที่หนึ่ง การกระทาที่สอง จานวนวิธี แบบที่ 1 ก1ส1 เสื้ อ 1 กางเกง 1 กางเกง 2 เสื้ อ 2 แบบที่ 2 ก1ส2 เสื้ อ 3 เสื้ อ 1 แบบที่ 3 ก1ส3 แบบที่ 4 ก2ส1 เสื้ อ 2 แบบที่ 5 ก2ส2 แบบที่ 6 ก2ส3 เสื้ อ 3 ดังนั้นจานวนวิธีแต่งตัวของชายคนนี้ คือ 23 = 6 วิธี กฎข้ อ 2. ถ้ ามีการกระทาอยู่ k อย่ าง โดยการกระทาอย่ างที่หนึ่ง กระทาได้ n1 วิธี การกระทาอย่ างที่สองกระทาได้ n2 วิธี การกระทาอย่ างที่สามกระทาได้ n3 วิธี เช่ นนีเ้ รื่อยไป จนกระทัง่ ถึงการกระทาอย่ างที่ k กระทาได้ nk วิธี แล้ วจานวนวิธีในการกระทา ทั้งหมดเท่ ากับ n1n2n3nk วิธี ตัวอย่ าง 2. ชายคนหนึ่งมีกางเกง 2 ตัว เสื้ อ 3 ตัว และหมวก 2 ใบ จงหาจานวนวิธีที่ชายคนนี้ จะแต่งตัวไปทางานได้ท้ งั หมดกี่แบบไม่ซ้ ากัน วิธีทา ดังนั้นจานวนวิธีแต่งตัวของชายคนนี้ คือ 23 2 = 12 วิธี ตัวอย่ าง 3. จากเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 นามาสร้าง เลขสามหลักตามเงื่อนไขต่าง ๆ ดังนี้ ได้กี่จานวน วิธีทา สามหลักประกอบด้วย หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย ก. เลข 3 หลัก โดยที่หลักแต่ละหลักเป็ นเลขใดก็ได้ยกเว้นหลักร้อยไม่เป็ นเลข 0 หลักร้อย 9 หลักสิ บ 10 หลักหน่วย 10 หลักร้อยใส่ เลขได้ 9 วิธี ( 0 ใช้ไม่ได้) คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 หลักสิ บใส่ เลขได้ 10 วิธี คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 หลักหน่วยใส่ เลขได้ 10 วิธี คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ดังนั้น เลข 3 หลักจะสร้างได้ เท่ากับ 91010 = 900 จานวน ข. เลข 3 หลักที่เป็ นเลขคู่ หลักร้อย 9 หลักสิ บ 10 หลักหน่วย 5 หลักร้อยใส่ เลขได้ 9 วิธี ( 0 ใช้ไม่ได้) คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 หลักสิ บใส่ เลขได้ 10 วิธี คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 หลักหน่วยใส่ เลขได้ 5 วิธี คือ 0, 2 , 4 , 6 , 8 ดังนั้น เลข 3 หลักจะสร้างได้ เท่ากับ 9105 = 450 จานวน ค. เลข 3 หลักที่มีค่ามากกว่า 500 ลองสร้างเลข 3 หลักมีค่าตั้งแต่ 500 ขึ้นไป หลักร้อย 5 หลักร้อยใส่ เลขได้ 5 วิธี หลักสิ บใส่ เลขได้ 10 วิธี หลักหน่วยใส่ เลขได้ 10 วิธี หลักสิ บ 10 หลักหน่วย 10 คือ 5 , 6 , 7 , 8 , 9 คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ดังนั้น เลข 3 หลักตั้งแต่ 500 จะสร้างได้ เท่ากับ 51010 = 500 จานวน เพราะฉะนั้น จานวนเลข 3 หลักที่มีค่ามากกว่า 500 เท่ากับ 500 – 1= 499 จานวน ง. เลข 3 หลักที่หารด้วย 5 ลงตัว หลักร้อย 9 หลักสิ บ 10 หลักหน่วย 2 หลักร้อยใส่ เลขได้ 9 วิธี ( 0 ใช้ไม่ได้) คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 หลักสิ บใส่ เลขได้ 10 วิธี คือ 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 หลักหน่วยใส่ เลขได้ 2 วิธี คือ 0, 5 ดังนั้น เลข 3 หลักจะสร้างได้ เท่ากับ 9102 = 180 จานวน จ. เลข 3 หลักที่ไม่มีหลักใดใช้ เลขซ้ ากัน หลักร้อย 9 หลักสิ บ 9 หลักหน่วย 8 หลักร้อยใส่ เลขได้ 9 วิธี ( 0 ใช้ไม่ได้) หลักสิ บใส่ เลขได้ 9 วิธี หลักหน่วยใส่ เลขได้ 8 วิธี ดังนั้น เลข 3 หลักจะสร้างได้ เท่ากับ 998 = 648 จานวน การจัดลาดับ (Permutation) การหาจานวนวิธีในการนาสิ่ งของซึ่งแตกต่างกัน หรื อซ้ ากันบางสิ่ ง มาจัดลาดับทั้งหมด หรื อนามาจัดคราวละส่ วน โดยถือว่าลาดับของสิ่ งของที่จดั แต่ละครั้งมีความสาคัญต่อจานวนวิธีที่จดั นั้นผูจ้ ดั จะต้องมีความรู ้พ้นื ฐานของ แฟคทอเรียล (Factorial) ก่อนดังนี้ แฟคทอเรียลของจานวนเต็มบวก n แทนด้ วย n! มีความหมายว่า n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1) เช่น 10! = 109! = 10987654321 = 3,628,800 ตัวอย่ าง จัดนักศึกษา 2 คน คือ นาย A และนาย B ยืนเรียงแถวจะได้ กวี่ ธิ ี วิธีที่ 1 A B วิธีที่ 2 B A ตัวอย่ าง จัดนักศึกษา 3 คน คือ นาย A , B และนาย C ยืนเรียงแถวจะได้ กวี่ ธิ ี ตัวอย่ าง จัดนักศึกษา 4 คน ยืนเรียงแถวจะได้ กวี่ ธิ ี กฎข้ อ 3 ถ้ ามีสิ่งของทีแ่ ตกต่ างกันอยู่ n สิ่ ง นามาจัดเรียงลาดับเป็ นแถวทั้งหมด จานวนวิธีที่จัด ได้ เท่ ากับ n! วิธี ตัวอย่ าง จัดนักเรี ยน 8 คน เข้าแถวเรี ยงลาดับ ดังนี้ ก.เรี ยงลาดับเป็ นแถวทั้ง 8 คนได้กี่วิธี จานวนวิธีเรี ยงลาดับนักเรี ยนทั้ง 8 คน เท่ากับ 8! วิธี ข. เรี ยงลาดับโดยให้ปุ๋ยอยูห่ วั แถวเสมอได้กี่วิธี ปุ๋ ย จะมีผอู ้ ื่นยืนสลับที่กนั ในแถวได้ 7 คน ดังนั้น จานวนวิธีเรี ยงลาดับ เท่ากับ 7! วิธี ค. เรี ยงลาดับโดยให้ปุ๋ยกับแป๋ วอยูต่ ิดกันเสมอได้กี่วิธี ปุ๋ ย แป๋ ว = 2!6! ปุ๋ ย แป๋ ว = 2!6! ปุ๋ ย แป๋ ว = 2!6! ปุ๋ ย แป๋ ว = 2!6! ปุ๋ ย แป๋ ว = 2!6! ปุ๋ ย แป๋ ว ปุ๋ ย แป๋ ว = 2!6! = 2!6! ดังนั้น จานวนวิธีเรี ยงลาดับ เท่ากับ 7 2!6! วิธี = 10080 วิธี ค. เรี ยงลาดับโดยให้ปุ๋ยกับแป๋ วอยูต่ ิดกันเสมอได้กี่วิธี มอง ปุ๋ ย กับ แป๋ ว เป็ นคนเดียวกัน ปุ๋ ย แป๋ ว ดังนั้นจะมีคนทั้งหมด 7 คน จะได้ จานวนวิธีเรี ยงลาดับ เท่ากับ 7! วิธี แต่ ปุ๋ ย กับ แป๋ ว สลับที่กบั ได้ อีก 2! วิธี ดังนั้น จานวนวิธีเรี ยงลาดับ เท่ากับ 2!7! วิธี = 10080 วิธี ง. เรี ยงลาดับโดยให้นกั เรี ยนชาย 4 คน ยืนสลับกับนักเรี ยนหญิง 4 คนได้กี่วิธี ช ญ ช ญ ช ญ ช ญ นักเรี ยนชายยืนสลับกับนักเรี ยนหญิงได้ 4!4! วิธี และนักเรี ยนชายหรื อนักเรี ยนหญิงเป็ นหัวแถว จัดได้ 2! วิธี ดังนั้น จานวนวิธีเรี ยงลาดับ เท่ากับ 2!4!4! วิธี จ. เรี ยงลาดับโดยให้นกั เรี ยนชาย 4 คนยืนติดกัน และนักเรี ยนหญิง 4 คน ยืนติดกันได้กี่วิธี ช ช ช ช ญ ญ ญ ญ นักเรี ยนชายยืนติดกันได้ 4! วิธี จัดนักเรี ยนหญิงยืนติดกันได้ 4! วิธี และกลุ่มนักเรี ยนชาย หรื อกลุ่มนักเรี ยนหญิงเป็ นหัวแถวจัดได้ 2! วิธี ดังนั้น จานวนวิธีเรี ยงลาดับ เท่ากับ 2!4!4! วิธี กฎข้ อ 4 ถ้ ามีสิ่งของทีแ่ ตกต่ างกันอยู่ n สิ่ ง นามาจัดเรียงคราวละ r สิ่ ง (r n) จานวนวิธีเรียงลาดับ เท่ ากับ Pn , r n! ( n r )! วิธี ตัวอย่ าง มีธงสี ต่างกัน 5 สี คือ เหลือง ขาว แดง น้ าเงิน และเขียว นาธงดังกล่าวมาส่ งสัญญาณคราวละ 3 สี จะทาสัญญาณได้กี่วิธี วิธีทา จานวนวิธี เท่ากับ P 5,3 5! (5 - 3)! 5! 2! 60 วิธี กฎข้ อ 5 ถ้ ามีสิ่งของทีเ่ หมือนกันบ้ างแตกต่ างกันบ้ างอยู่ท้งั หมด n สิ่ งและ ในสิ่ งของ ทั้งหมดนีม้ ีกลุ่มทีห่ นึ่งเหมือนกัน n1 สิ่ ง กลุ่มทีส่ องเหมือนกัน n2 สิ่ ง กลุ่มทีส่ ามเหมือนกัน n3 สิ่ ง อย่ างนีเ้ รื่อยไป จนถึงกลุ่มที่ k เหมือนกัน nk สิ่ ง โดยที่ n1 + n2 + n3 + …+nk = n แล้ว จานวนวิธีที่จัดเรียงลาดับ สิ่ งของดัง กล่าว เท่ ากับ n! n ! n !n !... n ! 1 2 3 k วิธี ตัวอย่ าง มีหนังสื อเรี ยนคณิ ตศาสตร์อย่างเดียวกัน 5 เล่ม ภาษาไทยอย่างเดียวกัน 3 เล่ม และสังคมอย่างเดียวกัน 2 เล่ม จะเรี ยงลาดับหนังสื อทั้งหมด ขึ้นชั้นได้ท้ งั หมดกี่วิธี วิธีทา 10! จานวนวิธีท ีีี ่ จดั เรี ยลงาดับ เท่ากับ 2520 วิธี 5!3!2! ตัวอย่ าง จัดคน 2 คนให้นงั่ รับประทานอาหารบนโต๊ะกลม ดังนี้ ตัวอย่ าง จัดคน 3 คนให้นงั่ รับประทานอาหารบนโต๊ะกลม ดังนี้ กฎข้ อ 6 ถ้ ามีสิ่งของทีแ่ ตกต่ างกันอยู่ n สิ่ ง นามาจัดเรียงลาดับเป็ นวงกลม ได้ เท่ ากับ (n – 1)! วิธี ตัวอย่ าง จัดคน 6 คนให้นงั่ รับประทานอาหารบนโต๊ะกลม ดังนี้ ก.นัง่ เป็ นวงกลมโดยใครจะนัง่ ที่ไหนก็ได้ ก.จะจัดได้เท่ากับ (6-1)! = 5! วิธี ข. นัง่ เป็ นวงกลมโดยให้สามีนงั่ ติดกับภรรยาเสมอ จะจัดได้ เท่ากับ (3-1)! = 2! วิธี แต่สามีและภารยาของและคู่สลับที่น้ งั ได้อีกคู่ล่ะ = 2! วิธี ดังนั้น จะจัดได้เท่ากับ 2!2!2!2! วิธี ค. นัง่ เป็ นวงกลมโดยให้ผชู ้ าย 3 คน นัง่ ติดกันเสมอ จะจัดได้ เท่ากับ (4-1)! = 3! วิธี แต่ผชู ้ ายสลับที่น้ งั ได้อีก = 3! วิธี ดังนั้น จะจัดได้เท่ากับ 3!3! วิธี ง. นัง่ เป็ นวงกลมโดยให้ผชู ้ าย 3 คน นัง่ ติดกันและผูห้ ญิง 3 คน นัง่ ติดกันเสมอ จะจัดได้ เท่ากับ (2-1)! = 1! วิธี แต่ผชู ้ ายสลับที่น้ งั ได้อีก = 3! วิธี และผูห้ ญิงสลับที่น้ งั ได้อีก = 3! วิธี ดังนั้น จะจัดได้เท่ากับ 3!3!1! วิธี กฏข้ อ 7 ถ้ ามีสิ่งของทีแ่ ตกต่ างกันอยู่ n สิ่ งนามาจัดเรียงลาดับเป็ นวงกลมคราวละ r สิ่ง (r n) จานวนวิธที ีีี่จัดได้เท่ ากับ n! r(n - r)! วิธี ตัวอย่ าง จัดนักเรี ยนจานวน 8 คนให้ไปยืนวงกลมรอบเสาธงคราวละ 5 คน จะจัดได้กี่วิธี วิธีทา จานวนวิธีใ นการจัด เท่ากับ 8! 5(8 - 5)! 1,344 วิธี กฏข้ อ 8 ถ้ ามีสิ่งของทีแ่ ตกต่ างกันอยู่ n สิ่ งนามาจัดเรียงลาดับเป็ นวงกลมลักษณะ เหมือนกันทั้งสองด้ าน (อยู่ในสภาพ 3 มิติ) จานวนวิธีเรียงลาดับ จะได้ เท่ ากับ (n - 1)! 2 วิธ ีี ตัวอย่ าง นาลูกปัดสี ต่างๆ กัน 10 เม็ด มาร้อยเป็ นกาไลข้อมือจะสามารถ ทาเป็ นกาไลได้กี่แบบ วิธีทา จานวนวิธีใ นการทา เท่ากับ (10 - 1)! 181,440 2 แบบ การเลือกหมู่ (Combination) การหาจานวนวิธีในการนาสิ่ งของซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด หรื อเหมือนกัน บางสิ่ ง มาจัดทั้งหมดหรื อนามาจัดคราวละบางส่ วน โดยถือว่าลาดับที่จดั หรื อ ลาดับในการเลือก ไม่มีความสาคัญ จะจัดได้ตามกฎต่อไปนี้ กฎข้ อ 9 ถ้ ามีสิ่งของแตกต่ างกันอยู่ n สิ่ ง เลือกสิ่ งของนั้นมาคราวละ r สิ่ ง (r n ) จะจัดได้ เท่ ากับ n r หรือ nC n! r r! (n - r)! วิธี n r หรือ nC n! r r! (n - r)! วิธี ตัวอย่ าง มีนกั เรี ยนชาย 6 คน และนักเรี ยนหญิง 4 คน สมัครลงเลือกตั้งเป็ น หัวหน้าชั้นและรองหัวหน้าอย่างละคน จงหาจานวนวิธีในการเลือก ก. เลือกมา 2 คนจากผูส้ มัครทั้งหมด จานวนวิธีใ นการเลือก เท่ากับ 10 2! 2 90 วิธี ข. เลือกหัวหน้าชั้นเป็ นผูช้ าย รองหัวหน้าชั้นเป็ นผูห้ ญิง จานวนวิธีใ นการเลือก เท่ากับ 6 4 1 1 24 วิธี ค. เลือกหัวหน้าชั้นเป็ นผูช้ าย รองหัวหน้าชั้นเป็ นใครก็ได้ จานวนวิธีใ นการเลือก เท่ากับ 6 9 1 1 54 วิธี ง. เลือกหัวหน้าชั้นเป็ นผูห้ ญิง และรองหัวหน้าชั้นเป็ นผูห้ ญิง จานวนวิธีใ นการเลือก เท่ากับ 4 3 1 1 12 วิธี ตัวอย่ าง จงหาจานวนวิธีที่จะเลือกนักกรี ฑาจานวน 4 คน มาจัดทีมวิ่งผลัด 4100 เมตร ไม้ที่ 1, 2 , 3 และ 4 จากนักกรี ฑาทั้งหมด 10 คน วิธีทา จานวนวิธีใ นการเลือกน ีักกีฑา 4 คน จาก 10 คน คือ 10 4 วิธี ีี และนักกรี ฑาทั้ง 4 คน นามาจัดเรี ยงไม้ที่วงิ่ ได้อีก 4! วิธี ดังนั้นจาน วนวิธีในกา รจัด เท่ากับ 10 4! 4 5,040 วิธี ีี ตัวอย่ าง เลือกไพ่ 4 ใบ จากสารับหนึ่ง จงหาจานวนวิธี ไพ่สาหรับหนึ่งมี 52 ใบ แบ่งเป็ น 4 กลุ่ม คือ โพแดง โพดา ดอกจิก และข้าวหลามตัด กลุ่มละ 13 ใบ ก.ได้ไพ่โพแดงทั้งหมด จานวนวิธีเ ลือกได้ไพ่ โพแดง ทั้งหมด 13 4 วิธี ข. ได้ไพ่เป็ นอักษรภาษาอังกฤษ (J, Q, K, A) ไพ่อกั ษรภา ษาอังกฤษ J, Q, K, และ A มีอย่างละ 4 ใบ 16 ดังนั้น จานวนวิธีท ีัี้งหมด วิธี 4 ค.ได้ไพ่คิง 3 ใบ อีก 1 ใบเป็ นไพ่แต้มน้อยกว่า 5 จานวนวิธีท ีีี ่ จะได้ไคิพ่ง 3 ใบ คือ 4 3 คือ 4, 3 และ 2 มีอย่างละ 4 ใบได้อกี วิธี อีก 1 ใบ เลือกจากแต ี้มทีน่ อ้ ยก ว่า 5 12 1 วิธี ดังนั้นจาน วนวิธี ง. ได้ไพ่โพแดง 2 ใบ โพดา 2 ใบ จานวนวิธีเลือกให้ได้ไพ่โพแดง 2 ใบ คือ 13 2 และจานวนวิธีเลือกให้ได้ไพ่โพดา 2 ใบ คือ ดังนั้น จานวนวิธีท้ งั หมด เท่ากับ 13 2 วิธี 13 2 13 2 วิธี วิธี 4 12 3 1 จ. ได้ไพ่โพแดง 3 ใบ และ ไพ่ A 1 ใบ จานวนวิธีเลือกให้ได้ไพ่โพแดง 3 ใบ คือ 13 3 วิธี จานวนวิธีเลือกให้ได้ไพ่ A 1 ใบ คือ 3 1 วิธี ดังนั้น จานวนวิธีท้ งั หมด เท่ากับ 13 3 3 1 วิธี