Transcript ม.6 คาบที่ 11-12 - KIDs

กฎเกณฑ์ การนับเบือ้ งต้ น
ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวังรายคาบ
1. สามารถใช้ หลักการคานวณวิธีเขียนแผนภาพต้ นไม้ แก้ ปัญหาได้
2. สามารถใช้ กฎเกณฑ์ การนับเบือ้ งต้ นในการหาจานวนเหตุการณ์ อย่ างง่ ายได้
นิยาม
การเลือกสิ่ งของ 1 สิ่ ง จากเซต A1 หรือเซต
จะมีวธิ ีเลือก เท่ ากับ n(A1 )  n(A2 ) วิธี
A2
ตัวอย่ าง อาหารคาว 7 ชนิด ของหวาน 3 ชนิด ถ้ าต้ องการรับประทาน
อาหาร
คาวหรือหวานก็ได้ 1 ชนิด จะรับประทานได้ กวี่ ธิ ี
นักเรียนคิดว่ าการเลือกในตัวอย่ างนีม้ ีกกี่ รณี
2 กรณี คือ กรณีเลือกอาหารคาวและเลือกอาหารหวาน
กรณีเลือกอาหารคาวจะเลือกได้ 7 ชนิด ดังนั้น จะได้
กรณีเลือกอาหารหวานจะเลือกได้ 3 ชนิด ดังนั้น จะได้
n (A) = 7
n (B) = 3
ถ้ าในการคิดแบบแบ่ งเป็ นกรณี การหาจานวนวิธีท้งั หมดให้ นาจานวนวิธี
แต่ ละกรณีมาบวกกัน
ดังนั้น จานวนวิธีท้งั หมดในข้ อนี้
คือ
7+3 = 10 วิธี
จากตัวอย่ างว่ ามีวธิ ีการคิดต่ างจากตัวอย่ างอืน่ ๆอย่ างไร
ตัวอย่ างเกีย่ วกับการจัดเรียงตัวเลข
1) จานวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลักมีท้งั หมดกีจ่ านวน
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
พัน
ร้ อย
สิ บ
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
หน่ วย
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ให้ นักเรียนพิจารณาแต่ ละหลัก ดังนี้
หลักหน่ วยมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักสิ บมีเลขทีเ่ ป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักร้ อยมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักพันมีเลขทีเ่ ป็ นไปได้ กจี่ านวน
9 จานวน เพราะถ้ าเป็ นเลข 0 จะได้ เลขเพียง 3 หล
ดังนั้น จานวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลัก มีท้งั หมด = 9 x 10 x 10 x 10 = 9,000
จานวน
2) จานวนคีบ่ วกซึ่งมี 4 หลักมีท้งั หมดกีจ่ านวน
1, 3, 5, 7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
พัน
ร้ อย
สิ บ
หน่ วย
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
โจทย์ ข้อนีม้ ีเงือ่ นไขอะไรเพิม่ เติม
จานวนคี่
เลขจานวนคีด่ ูจากอะไร
หลักหน่ วยต้ องเป็ นเลขคี่
ให้ นักเรียนพิจารณาแต่ ละหลัก ดังนี้
5 จานวน
หลักหน่ วยมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
หลักสิ บมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักร้ อยมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักพันมีเลขทีเ่ ป็ นไปได้ กจี่ านวน
9 จานวน
ดังนั้น จานวนคีบ่ วกซึ่งมี 4 หลัก มีท้งั หมด = 9 x 10 x 10 x 5 = 4,500
จานวน
3) จานวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลักและหลักหน่ วยเป็ น 0 มีท้งั หมดกีจ่ าน
0
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
หลักพัน หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
โจทย์ ข้อนีม้ ีเงือ่ นไขอะไรเพิม่ เติม
หลักหน่ วยต้ องเป็ น 0
ให้ นักเรียนพิจารณาแต่ ละหลัก ดังนี้
หลักหน่ วยมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
1 จานวน
หลักสิ บมีเลขทีเ่ ป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักร้ อยมีเลขที่เป็ นไปได้ กจี่ านวน
10 จานวน
หลักพันมีเลขทีเ่ ป็ นไปได้ กจี่ านวน
9 จานวน
ดังนั้น จานวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลักและหลักหน่ วยเป็ น 0 มี
ทั้งหมด
4) จากเลข 0 - 9 สามารถสร้ างเลข 4 หลัก โดยห้ ามใช้
เลขซ้ากัน
ได้
ท้งั ขหมดกี
โจทย์
้ อนีม้ ีเงืจ่ อ่ านวน
นไขอะไรเพิม่ เติม
ห้ ามใช้ เลขซ้า
ใช้ เลขได้ 9 ตัว คือ
1-9 ยกเว้ น 0
ใช้ เลขได้ 7 ตัว เพราะใช้ เลข
ใน 3 หลักแรกไปแล้ว 3 ตัว
หลักพัน หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
ใช้ เลขได้ 9 ตัว เพราะใช้ เลข
ในหลักพันไปแล้ว 1 ตัว
ใช้ เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้ เลขใน
หลักพันและหลักร้ อยไปแล้ว 2 ตัว
ดังนั้น สามารถสร้ างเลข 4 หลัก โดยห้ ามใช้ เลขซ้ากัน ได้ ท้งั หมด
= 9 x 9 x 8 x 7 = 4,536 จานวน
5) จากเลข 0-9 สามารถสร้ างจานวนคู่ 4 หลัก โดยห้ ามใช้ เลขซ้ากันได้
ทั้งหมด
กีจ่ านวน
โจทย์ ข้อนีม้ ีเงือ่ นไขอะไรเพิม่ เติม ห้ ามใช้ เลขซ้าและเป็ นจานวนคู่
ต้ องการเลขเป็ นจานวนคู่ ดังนั้น ต้ องพิจารณาทีห่ ลักหน่ วยก่ อน
ซึ่งเลขทีใ่ ช้ ได้ คือ 0, 2, 4, 6, 8
ให้ นักเรียนพิจารณาทีเ่ ลข 0
ถ้ าเลข 0 อยู่ในหลักหน่ วย หลักพันจะใช้ เลขได้ 9 ตัว คือ 1- 9
แต่ ถ้าเลข 0 ไม่ อยู่ในหลักหน่ วย หลักพันจะใช้ เลขได้ เพียง 8 ตัว
คือ ยกเว้ น 0 และเลขทีใ่ ช้ ในหลักหน่ วย
ดังนั้น ในการคิดต้ องแบ่ งกรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 เลข 0 อยู่ในหลักหน่ วย จะได้
ใช้ เลขได้ 9 ตัว คือ
1-9 ยกเว้ น 0
ได้ 1 จานวน คือ 0
หลักพัน หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
ใช้ เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้ เลขใน
หลัก
พันและหลักหน่ วยไปแล้ว 2 ตัว
ใช้ เลขได้ 7 ตัว เพราะใช้ เลขในหลักพัน
หลักร้ อย และหลักหน่ วย ไปแล้ว 3 ตัว
ดังนั้น ได้ จานวนวิธี = 9 x 8 x 7 x 1 = 504 จานวน
กรณีที่ 2 เลข 0 ไม่ อยู่ในหลักหน่ วย จะได้
ได้ 4 จานวนคือ
2, 4, 6, 8
ใช้ เลขได้ 8 ตัว คือยกเว้ น 0
และเลขทีใ่ ช้ ในหลักหน่ วยแล้ว
หลักพัน หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
ใช้ เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้ เลขใน
หลัก
พันและหลักหน่ วยไปแล้ว 2 ตัว
ใช้ เลขได้ 7 ตัว เพราะใช้ เลขในหลักพัน
หลักร้ อย และหลักหน่ วย ไปแล้ว 3 ตัว
ดังนั้น ได้ จานวนวิธี = 8 x 8 x 7 x 4 = 1,792 จานวน
จากกรณีที่ 1 และ 2 สามารถสร้ างเลขจานวนคู่ 4 หลัก
โดยห้ ามใช้ เลขซ้ากันได้ ท้งั หมด = 504 + 1,792 =2,296 จานวน
จากตัวอย่างข้ างต้ นจะทาให้ เห็นความแตกต่ างระหว่ างการใช้ เลขซ้าได้ กับการห้ ามใช้ เลขซ้า
แบบฝึ กทักษะที่ 4 (ข)
วิธีเรียงสั บเปลีย่ นและวิธีจัดหมู่
27.หนังสื อเล่มหนึ่งมีท้งั หมด 60 หน้ า มีทพี่ มิ พ์ ผดิ ทั้งหมดอยู่ 2
แห่ ง อยากทราบว่าทีพ่ มิ พ์ผดิ ทั้ง 2 แห่ งนีจ้ ะอยู่ในหน้ าหนังสื อได้
ทั้งหมดกีว่ ธิ ี
มีที่พมิ พ์ผดิ ทั้ง 2 แห่ ง อยู่หน้ าเดียวกันได้
พิมพ์ผดิ 2
พิมพ์ผดิ 1
จานวนวิธีท้งั หมด

60  60 = 3,600 วิธี
มีที่พมิ พ์ผดิ ทั้ง 2 แห่ ง ไม่ อยู่หน้ าซ้ากัน
พิมพ์ผดิ 2
พิมพ์ผดิ 1
จานวนวิธีท้งั หมด
60
59
= 3,540
วิธี
28. มีจดหมาย 5 ฉบับ จะทิง้ ในตู้ไปรษณีย์ 7 ตู้ ได้ กวี่ ธิ ี ถ้ าจดหมายแต่ ละ
ฉบับ
ไม่ ซ้าตู้กนั
จานวนวิธีท้งั หมดเท่ ากับ
ฉบับที่ 3 เลือก
ทิง้ ได้ 5 ตู้
ฉบับที่ 1 เลือก
ทิง้ ได้ 7 ตู้ ฉบับที่ 2 เลือก
ทิง้ ได้ 6 ตู้
ฉบับที่ 4 เลือก
ทิง้ ได้ 4 ตู้
ฉบับที่ 5 เลือก
ทิง้ ได้ 3 ตู้
7  6  5  4  3  2,520
วิธี
29. มีผู้ชาย 5 คน ผู้หญิง 5 คน ทุกคนจะจับคู่เต้ นราในเพลงๆ หนึ่งได้กวี่ ธิ ี
โดยผู้ชายต้ องจับคู่กบั ผู้หญิง
วิธีทา
ก
A
ข
ค
ง
จ
MAY
YU
AOR
PUM
ยุเลือกเป็ น อ้อเลือกเป็ น
เมย์เลือกเป็ นคนที่ 2
คนที่ 3
คนที่ 4
ดังนั้นเมย์จะเลือก
ดังนั้นยุเลือก ดังนั้นอ้อเลือก
ได้แค่ 4 คน
ได้แค่ 3 คน ได้แค่ 2 คน
นัน่ คือเลือกได้ 4 วิธี
นัน่ คือ 3 วิธี นัน่ คือ 2 วิธี
เอเลือกเป็ นคนแรก
ดังนั้นเอสามารถ
เลือก
ก, ข, ค, ง, จ ได้
นัน่ คือเลือกได้ 5 วิธี
ดังนั้น มีวธิ ีจับคู่ท้งั หมด 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 วิธี
ปุ้ มเลือกเป็ น
คนสุ ดท้าย
ดังนั้นปุ้ มเลือก
ได้แค่ 1 คน
นัน่ คือ 1 วิธี
30. ชาย 4 คน หญิง 4 คน ยืนสลับกันแบบชาย
2 คน หญิง 2 คน เป็ นแถวยาว
ทีต่ าแหน่ งที2่ ผู้ชาย
ได้ กวี่ ธิ ี
วิธีทา
ทีต่ าแหน่ งที1่ ยืนได้ 3 เพราะว่ าที่
ผู้ชายยืนได้ 4 คน ตาแหน่ งแรกมีคน
กรณี 1 ชายเป็ นหัวแถว
ยืนแล้ว
ตาแหน่งการยืน
ชช ญญ ชช ญญ
4 3 4 3 2 1 2 1
จานวนวิธีในกรณี ที่ชายเป็ นหัวแถว
3
2
1
2
1
=
576
 4งที




4 ทีต่3าแหน่
3่
ทีต่ าแหน่ งที4่ ผู้หญิง
ญ ญ ช ช ญ ยืญนได้ช3 คนเพราะว่
ช าที่
กรณี 2 หญิผูง้หเป็ญินหั
งยืนวได้แถว
4
4 3 4 3 2 1 2 1
คน
3มีคนยืน
จานวนวิธีในกรณี ที่หญิงเป็ นหัวแถวมีจานวนเท่าตกัาแหน่
บ ง576
แล้ว
ดังนั้นจานวนวิธีในการยืนทั้งหมดเท่ ากับ 576+576 = 1152 วิธี
31. จะมีวิธีที่นาชาย 4 คน หญิง 4 คน มาเรียงแถวสลับกันแบบชาย 2 คน หญิง
2 คน โดยชายต้ องยืนหัวแถว
วิธีทา เนื่องจากโจทย์กาหนดให้ชายต้องยืนหัวแถว
จะเห็นว่ าเหมือนข้ อ 4 เพียงแต่ กาหนดมาเลยว่ าชายต้ องยืนหัวแถวเท่ านั้น
ตาแหน่ ง
การยืน
ชช
43
ญ ญ ชช ญ ญ
4 3 2 1 2 1 = 576
ดังนั้น จะได้จานวนวิธีท้ งั หมด = 576 วิธี
32. กาหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , …, 9 จงสร้ างเลข 5 หลัก
โดยใช้ เลขซ้ำกันได้
-- สร้ างได้ ท้งั หมดกีจ่ านวน
1,2,3,4,5,6,7,8,
9 เป็ น 0 ไม่ได้
เพราะถ้าเป็ น 0
จะไม่ได้ 5 หลัก
หมื่น พัน ร้ อย
9
10 10
สิ บ หน่ วย
10
10
ดังนั้นสร้ างได้ ท้งั หมด 9 10 10 10 10  90,000 จานวน
6.(ต่ อ) กาหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , …, 9 จงสร้ างเลข
5 หลัก โดยใช้ เลขซ้ำกันได้
-- สร้ างเลขคีไ่ ด้ ท้งั หมดกีจ่ านวน
1,2,3,4,5,6,7,8,9
เป็ น 0 ไม่ ได้
หมื่น พัน
ร้ อย
สิ บ หน่ วย
9
10
10
10
5
เลขคี่ คือ
1,3,5,7,9
ดังนั้นสร้ างได้ ท้งั หมด 9 10 10 10  5  45,000 จานวน
6. (ต่ อ) กาหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , … , 9 จงสร้ างเลข 5
หลัก โดยใช้ เลขซ้ำกันได้
-- สร้ างเลขคู่ได้ ท้งั หมดกีจ่ านวน
1,2,3,4,5,6,7,8,
9 เป็ น 0 ไม่ ได้
หมื่น พัน
ร้ อย
สิ บ หน่ วย
9
10
10
10
5
เลขคู่ คือ
0,2,4,6,8
ดังนั้นสร้ างได้ ท้งั หมด 9 10 10 10  5  45,000 จานวน
33. กาหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , …, 9 จงสร้ างเลข 5 หลัก
โดยใช้ เลขซ้ำกันไม่ ได้
-- สร้ างได้ ท้งั หมดกีจ่ านวน
หมื่น พัน ร้ อย
9
9
8
สิ บ
หน่ วย
7
6
1,2,3,4,5,6,7,8,
ใช้ไป 10 ตัวใช้ไป
9 เป็ น 0 ไม่ไจากเลข
ด้ 10 ตัวจากเลข
จากเลข 10 ตัวใช้จากเลข
ไป 10 ตัวใช้ไป
1 ตัวเหลือ 9 ตั2ว ตัวเหลือ 8 ตัว
3 ตัวเหลือ 7 ตัว4 ตัวเหลือ 6 ตัว
ดังนั้นสร้ างได้ ท้งั หมด
9  9  8  7  6  27216
จานวน
34. กาหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้ างเลข 5 หลัก โดยใช้ เลขซ้ากัน
ได้
-จานวนวิธีท้ งั หมดที่สร้างได้
หลักที่
จานวนตัวเลขที่
สามารถลงได้
1
2
3
4
5
9
9
9
9
9
จานวนวิธีท้งั หมด 9  9  9  9  9 = 59049 จานวน
สบาย สบาย
ยังมีต่อนะครับ
34.(ต่ อ) กาหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้ างเลข 5 หลัก
โดยใช้ เลขซ้ากันได้
-สร้ างเลขคีไ่ ด้ ท้งั หมดกีจ่ านวน ( ในแต่ ละหลักสามารถซ้าได้ )
หลักที่
1
จานวนตัวเลขที่
สามารถลงได้
9
2
9
สามารถสร้ างเลขคีไ่ ด้ ท้งั หมด
3
4
9
9
9 9

5
1,3,5,7,9
5
9 9
= 32805 จานวน

5
34.(ต่ อ) กาหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้ างเลข 5 หลัก
โดยใช้ เลขซ้ากันได้
อย่าพึ่งขี้เกียจ
นะ มอ.......
-สร้ างเลขคู่ได้ ท้งั หมดกีจ่ านวน
หลักที่
1
2
3
4
5
จานวนตัวเลขที่
สามารถลงได้
9
9
9
9
4
2,4,6,8
สามารถสร้ างเลขคู่ได้ ท้งั หมด 9  9  9  9  4
= 26244 จานวน
34.(ต่ อ) กาหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้ างเลข 5 หลัก
โดยใช้ เลขซ้ากันได้
-สร้างเลขที่หารด้วย 5 ลงตัว
หลักที่
1
จานวนตัวเลขที่
สามารถลงได้
9
2
9
3
4
5
9
9
1
สามารถสร้ างเลขทีห่ ารด้ วย 5 ลงตัว ได้ ท้งั หมด
=9 99 9  1
= 6561 จานวน
มี 5 เพียงตัวเดียว
35 . กาหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9
9.1 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ ากัน
สามารถเลือกตัวเลขได้ 6
จานวน คือ 2,3,5,6,7,9
หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จานวน
เพราะใช้ ในหลักร้ อยไปแล้ว 1 จานวน
สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จานวน
เพราะใช้ ในหลักร้ อยและหลักสิ บไปแล้ ว
ดังนั้น จานวนวิธีในการสร้ างเลข 3 หลัก = 6 x 5
x 4 = 120 จานวน
35 . กาหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9
35.2 จงสร้ างเลข 3 หลัก ไม่ ซ้ากันและเลขทีส่ ร้ างมีค่าน้ อยกว่ า 400
สามารถเลือกตัวเลขได้ 2
จานวน คือ 2 , 3
ไม่ สามารถเลือก 5,6,7,9ได้
เพราะมีเงือ่ นไขว่ าต้ อง
น้ อยกว่ า 400
หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จานวน
เพราะใช้ ในหลักร้ อยไปแล้ว 1 จานวน
สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จานวน
เพราะใช้ ในหลักร้ อยและหลักสิ บไปแล้ ว
ดังนั้น มีจานวนทีน่ ้ อยกว่ า 400 อยู่ =
2 x 5 x 4 = 40 จานวน
35 . กาหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9
35.3 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ ากันและเป็ นเลขคู่
สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จานวน
เพราะใช้ ในหลักหน่ วยและหลักสิ บไปแล้ว
หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
ต้ องสร้ างเลขคู่ นั่นคือ
หลักหน่ วยต้ องเป็ นเลขคู่
ดังนั้น สามารถเลือกตัวเลขได้
2 จานวน คือ 2 , 6
สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จานวน
เพราะใช้ ในหลักหน่ วยไปแล้ว 1 จานวน
ดังนั้น มีจานวนทีเ่ ป็ นเลขคู่อยู่ =
2 x 5 x 4 = 40 จานวน
35 . กาหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9
35.4 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ ากันและเป็ นเลขคี่
สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จานวน
เพราะใช้ ในหลักหน่ วยและหลักสิ บไปแล้ว
หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
ต้ องสร้ างเลขคี่ นั่นคือ
หลักหน่ วยต้ องเป็ นเลขคี่
ดังนั้น สามารถเลือกตัวเลขได้
4 จานวน คือ 3 , 5 , 7 , 9
สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จานวน
เพราะใช้ ในหลักหน่ วยไปแล้ว 1 จานวน
ดังนั้น มีจานวนทีเ่ ป็ นเลขคู่อยู่ =
4 x 5 x 4 = 40 จานวน
35 . กาหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9
35.5 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ ากันและเป็ นจานวนที่ 5 หารลงตัว
สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จานวน
เพราะใช้ ในหลักหน่ วยและหลักสิ บไปแล้ว
หลักร้อย หลักสิ บ หลักหน่วย
จานวนที่ 5 หารลงตัวต้ องมี
หลักหน่ วยเป็ น 0 หรือ 5
จากโจทย์สามารถเลือกตัวเลขได้
1 จานวน คือ 5
สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จานวน
เพราะใช้ ในหลักหน่ วยไปแล้ว 1 จานวน
ดังนั้น จานวนทีห่ ารด้ วย 5 ลงตัวมีท้งั หมด = 1 x 5
x 4 = 40 จานวน
36. กาหนดเซตของตัว { 1,2,3,4 } เราสามารถสร้ างจานวนเต็มบวกได้
ทั้งหมดกีจ่ านวนถ้ าตัวเลขใช้ ไม่ ซ้ากัน
สามารถเลือกได้ 4
ตัว คือ 1,2,3,4
จานวนเต็มบวกหลักเดียว
จานวนเต็มบวกสองหลัก
สามารถเลือกได้ 4
ตัว คือ 1,2,3,4
จานวนเต็มบวกสามหลัก
สามารถเลือกได้ 4
ตัว คือ 1,2,3,4
จานวนเต็มบวกสี่ หลัก
สามารถเลือกได้ 4
ตัว คือ 1,2,3,4
4 จานวน
43=12
12 จานวน
สามารถเลืออกได้
กได้3ตั3ตัวว
สามารถเลื
เพราะใช้ไปแล้
ไปแล้ววสามารถเลื
เพราะใช้
11ตัตัวว อกได้ 1ตัว
เพราะใช้43
ไปแล้ว2=24
3 ตัว
24 จานวน
สามารถเลื
อกได้
สามารถเลื
อกได้
3ตัว2ตัว
เพราะใช้
ไปแล้
เพราะใช้
ไปแล้
ว 1วตั2ว ตัว
43  2  1=24
24 จานวน
สามารถเลื
อ
กได้
2ตั
ว
ดังนั้นสามารถสร้ างจานวนเต็มบวกได้ ท้งั หมด = 4+12+24+24 =64 วิธี
เพราะใช้ ไปแล้ว 2 ตัว
37 . จงหาว่ าจานวนเต็มทีอ่ ยู่ระหว่ าง 100 และ 1000 โดยที่แต่ ละหลักไม่ ซ้ำกันมีกจี่ านวน
เนื่องจากว่ าจานวนเต็มที่อยู่ระหว่ าง 100 และ 1000 เป็ นเลข 3 หลัก ดังนั้นจะได้ ว่า
ใช้ เลขได้ 9 ตัว คือ
1-9 ยกเว้ น 0
ใช้ เลขได้ 9 ตัว เพราะ
ใช้ เลขไปแล้ว 1 ตัว
ใช้ เลขได้ 8 ตัว เพราะ
ใช้ เลขไปแล้ว 2 ตัว
ดังนั้นสามารถสร้ างจานวนได้ ท้งั หมด 9 × 9 × 8 = 648 วิธี
38. จะมีเลขจานวนเต็มกีต่ ัวระหว่ าง 1000 กับ 9999 ทีม่ เี ลข 3
อกได้
อกได้
หลั
หลั
กหลั
พั3กนร้กเลื
อหลั
อบอกได้
อหน่
1วยเลื
อวคืเลข
3เลข
สิยเลื
กเลื
อกได้
กได้
คือสามารถเลื
อเลข
1สามารถเลื
ตัว3 3คือเลข
3
เลข 3
เลข
เลข
3ตั1ว1ตัอคืตัวกได้
สามารถเลื
กได้
เลข 3
วตัทีวที่ไม่่ไคืม่ใช่อใเช่ลข
เ3333
ลข3 3
_ช่เลข13เลข 3 = 19จ9ตัานวน
มีเเลข
ลข 33 ปนอยู่ 4 หลัก9คืตัอว1_ที1
่ไ_ม่_ใ1
เลข
3
สามารถเลือกได้ 8 ตัว
สามารถเลื
อกได้
เลข33ปนอยู่ 3 หลักคืเลข
=
9
จ
านวน
มีเลข
เลข9
3
เลข
33ลข
ที่ไม่ใช่เลข 3 และ เลข อ 131 1
เลข
9
ตั
ว
ที
่
ไ
ม่
ใ
ช่
เ
เลข 3
คือ 1 1 9 1
= 9 จานวน
สามารถเลือกได้
เลข
3
0
3
= 9 จานวน
คือ 1 9 1 1
9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข
คือ 8 1 1 1
= 8 จานวน
นาแต่3 ละวิธี
= 81 จานวน
มีเลข 3 ปนอยู่ 2 หลักคือ 1 1 9 9 สามารถเลื
มาบวกกัน
อ
กได้
สามารถเลื
อ
กได้
= 81 จานวน
คือ 1 9 9 1
9 ตั=ว 81ที่ไจม่านวน
ใช่เลข
ได้ ท้งั หมด
จากการอธิ
บ
าย
คื
อ
1
9
1
9
9
ตั
ว
ที
่
ไ
ม่
ใ
ช่
เ
ลข
เลข 3
สามารถเลื
อานวน
กได้
คือ 8 1 9 1
=
72
จ
านวน
3
3168
จ
ลักษณะเดียวกับ
คือ38 9 1 1
= 72 จานวน
9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข
ข้างต้น จะได้
= 72 จานวน
คือ 8 1 1 9
3
=
729
จ
านวน
มีเลข 3 ปนอยู่ 1 หลักคือ 1 9 9 9
= 648 จานวน
คือ 8 1 9 9
= 648 จานวน
คือ 8 9 1 9
= 648 จานวน
คือ 8 9 9 1
ดังนั้น มีจานวนเต็มระหว่ าง 1000 กับ 9999 ทีม่ ีเลข 3 ปนอยู่ท้งั หมด 3168 จานวน
39. ชายคนหนึ่งได้ ตัวเลขมา 5 ตัว 1,3,4,6,8 เอามาเรียงเพือ่ ซื้อฉลากกินแบ่ งเลขท้ าย
3 ตัว ราคาใบละ 10 บาท ปรากฏว่ าถูกรางวัลเลขท้ าย 3 ตัวได้ รับรางวัล 1000
บาทอยากทราบว่ าชายคนนีก้ าไรหรือขาดทุน
จานวนรางวัลเลขท้ ายที่เป็ นไปได้
เลขท้ ายตัวที่ 1
2
สามารถเลืสามารถเลื
อกเลขได้ อ5สามารถเลื
ตัว 5 5อตักเลขได้
กเลขได้
ว 5 5 ตัว
3
5
ดังนั้น มีจานวนเลขท้ ายทีเ่ ป็ นไปได้ = 5  5  5 = 125
นั่นคือต้ องซื้อฉลากกินแบ่ ง 125 ใบ เป็ นเงิน 125  10 = 1250 บาท
แต่ ถูกรางวัลได้ เงินมา 1000 บาท ดังนั้นขาดทุน 1250 - 1000 = 250 บาท
40. ป้ ายทะเบียนรถประกอบด้ วยภาษาอังกฤษและตัวเลขดังนี้
ตัวอักษร ( 26 )
ตัวเลข ( 10 ตัว )
จะสร้ างทะเบียนรถได้ ท้งั หมดกีค่ นั ( ตัวอักษรและตัวเลขสามารถซ้าได้ )
26
26
26
10
10
10
ดังนั้นจานวนวิธีในการสร้ าง = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10
= 1,757,6000 คัน