Transcript x – h - โรงเรียนวัดบวรนิเวศ

เพาเวอรพอยท
เรื
อ
่
งพารา
์
์
จัดทาโดย
นางสาวอารมณ์
อิ
น
ทร
ภู
เ
มศร
์
์ เวศ
โรงเรียนวัดบวรนิ
สั งกัดสานักงานคณะกรรมการการศึ กษ
กรุงเทพมหานคร เขต 1
เขียนความสั มพันธ์ ที่มีกราฟเป็ นพาราโบลา
เมื่อกาหนดส่ วนต่ าง ๆ ของพาราโบลาให้
และเขียนกราฟของความสั มพันธ์ น้ันได้
บทนิยาม
พาราโบลา คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจาก
เส้ นตรงคงทีเ่ ส้ นหนึ่งบนระนาบ และจุดคงทีจ่ ุดหนึ่งบนระนาบนอก
เส้ นตรงคงที่น้ันเป็ นระยะทางเท่ ากันเสมอ
เส้ นตรงคงที่ เรียกว่ า ไดเรกตริกซ์ ของพาราโบลา
จุดคงที่
เรียกว่ า โฟกัสของพาราโบลา
เส้ นตรงคงที่
(ไดเรกตริกซ์ )
Y
จุดใดๆบนพาราโบลา
X
O
จุดยอดของพาราโบลา
แกนของพาราโบลา
จุดคงที่ (โฟกัส)
1. พาราโบลาทีม่ ีจุดยอดทีอยู่ทจี่ ุด (0 , 0)
1) มีxแกน
X
เป็
นแกนของพาราโบลา
=-c Y
D(-c,y)
P(x,y)
Y x =-c
P(x,y)
D(-c,y)
F(c,0) V(0,0)
V(0,0) F(c,0)
เมื่อ c > 0
เมื่อ c < 0
ให้ P(x, y ) เป็ นจุดใดๆบนพาราโบลาจากบทนิยามจะได้
PF
นั่นคือ
ยกกาลังสองทั้งสองข้ างจะได้
(x – c)2+ y2
x2 – 2cx + c2 + y2
ดังนั้น
y2
=
=
=
=
=
PD
(x  c) 2  (y  y) 2
(x + c)2
x2 + 2cx + c2
4cx
นั่นคือ y2 = 4cx เป็ นสมการของพาราโบลาทีม่ ี
1) โฟกัสอยู่ทจี่ ุด F(c , 0)
2) จุดยอดอยู่ทจี่ ุด V( 0 , 0 )
3) ไดเรกตริกซ์ คือเส้ นตรง x = - c
4) แกนของพาราโบลา คือแกน X
5) ถ้ า c > 0 กราฟจะเปิ ดทางขวา
ถ้ า c < 0 กราฟจะเปิ ดทาง ซ้ าย
ข้ อสั งเกต 1) ระยะทางจากจุดยอดไปยังโฟกัสเท่ ากับระยะห่ างระหว่ าง
จุดยอดกับไดเรกตริกซ์
2) แกนของพาราโบลาผ่ านจุดยอดและโฟกัส
3) แกนของพาราโบลาเป็ นแกนสมมาตร
2) มีแกน Y เป็ นแกนของพาราโบลา
Y
y
=
c
F(0,c)
y =-c
V(0,0)
P(x,y) X
Y
X
P(x,y)
V(0,0)
F(0,c)
เมื่อ c < 0
D(x,-c)
เมื่อ c > 0
ให้ P(x, y ) เป็ นจุดใดๆบนพาราโบลาจากบทนิยามจะได้
PF
นั่นคือ
ยกกาลังสองทั้งสองข้ าง
x2+ ( y - c)2
x2 + y2– 2cy + c2
ดังนั้น
x2
=
=
=
=
=
D(x,-c)
PD
2
(x  x )  (y  c)
( y + c)2
y2 + 2cy + c2
4cy
2
นั่นคือ x2 = 4cy เป็ นสมการของพาราโบลาทีม่ ี
1) โฟกัสอยู่ทจี่ ุด F(0 , c)
2) จุดยอดอยู่ทจี่ ุด V( 0 , 0 )
3) ไดเรกตริกซ์ คือเส้ นตรง y = - c
4) แกนของพาราโบลา คือแกน Y
5) ถ้ า c > 0 กราฟหงายขึน้
ถ้ า c < 0 กราฟคว่าลง
ข้ อสั งเกต 1) ระยะทางจากจุดยอดไปยังโฟกัสเท่ ากับระยะห่ างระหว่ าง
จุดยอดกับไดเรกตริกซ์
2) แกนของพาราโบลาผ่ านจุดยอดและโฟกัส
3) แกนของพาราโบลาเป็ นแกนสมมาตร
เลตัสเรกตัม
เลตัสเรกตัม ( latus rectum ) คือ คอร์ ดที่
ตั้งฉากกับแกนพาราโบลาและผ่ านโฟกัสของ
พาราโบลา ( ส่ วนของเส้ นตรงทีม่ จี ุดปลายอยู่บน
พาราโบลาเรียกกว่ า คอร์ ด(chord)ของพาราโบลา )
ความยาวของเลตัสเรกตัม ใช้ วดั “ความกว้ าง”
ของพาราโบลา
เลตัสเรกตัมมีความยาวเท่ ากับ 4 c หน่ วย
จากสมการของพาราโบลาต่ อไปนี้ จงหาจุดยอด โฟกัส
สมการไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตรและความยาวเลตัสเรกตัม
ข้ อ 1) y2 = 20x
วิธีทา
y2 = 20x
เทียบกับสมการ y2 = 4cx
จะได้ 4c = 20
c= 5
มีจุดยอดทีจ่ ุด (0 , 0)
โฟกัสอยู่ทจี่ ุด(c , 0) = ( 5 , 0)
สมการไดเรกตริกซ์ คือ
x = -c
x = -5
มีแกน X เป็ นแกนสมมาตร
เลตัสเรกตัมยาว 4 c
 20  20
ข้ อ 2) x2 = -12y
วิธีทา
x2 = -12y
เทียบกับสมการ x2 = 4cy
จะได้ 4c = - 12
c = -3
มีจุดยอดทีจ่ ุด (0 , 0)
โฟกัสอยู่ทจี่ ุด (0 , c) = ( 0 , - 3)
สมการไดเรกตริกซ์ คือ y = - c
y = - (- 3)
y=3
มีแกน Y เป็ นแกนสมมาตร
เลตัสเรกตัมยาว 4 c   12  12
จงหาสมการของพาราโบลา ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่
จุดกาเนิด และโฟกัสอยู่ทจี่ ุด F (  23 ,0 )
วิธีทา นาสิ่ งทีก่ าหนดให้ ไปเขียนกราฟคร่ าวๆ เพือ่ ดูว่าจัดอยู่
ในสมการแบบใด
จากกราฟจะได้ สมการพาราโบลาอยู่ในรูป
y2 = 4cx
3
F
(

จาก
2 ,0 )
จะได้ c = 
3
2
นา c =  23 ไปแทนค่ าในสมการ
y2 = 4cx
จะได้
y2 = 4(  23 )x
ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่ได้ คือ y2 = -6x
2. พาราโบลาทีม่ ีจุดยอดทีจ่ ุด (h, k)
1) เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน X
Y
x = h-c
Y
P(x,y)
y= k
V (h, k)
O
เมือ่ c > 0
F (h+c, k)
ให้ P(x, y) เป็ นจุดใดๆ บนพาราโบลา
จะได้ สมการ ( y – k)2 = 4c (x – h)
เป็ นสมการที่มี
1) จุดยอดที่ V(h, k)
2) โฟกัสที่ F(h+c , k)
X 3) ไดเรกตริกซ์ คอื
เส้ นตรง x = h - c
4) แกนของพาราโบลา
คือ เส้ นตรง y = k
X 5) ถ้ า c > 0 กราฟเปิ ดทางขวา
ถ้ า c < 0 กราฟเปิ ดทางซ้ าย
2) เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน Y
Y
y=k-c
Y
F(h, k + c)
V (h, k)
P(x,y)
X
X
O
เมื่อ c > 0
ให้ P(x, y) เป็ นจุดใดๆ บนพาราโบลา
จะได้ สมการ (x – h)2 = 4c (y – k)
เป็ นสมการที่มี
1) จุดยอดที่ V(h, k)
2) โฟกัสที่ F(h , k + c)
3) ไดเรกตริกซ์ คอื เส้ นตรง
y=k-c
4) แกนของพาราโบลาคือ
เส้ นตรง x = h
5) ถ้ า c > 0 กราฟหงาย
ถ้ า c < 0 กราฟควา่
ตัวอย่ างที่ 3 จากสมการพาราโบลา (x + 3)2 = 16(y – 5) จงหาจุดยอด
โฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ แกนของพาราโบลาและเขียนกราฟ
(x + 3)2 = 16(y – 5)
(x – h)2 = 4c (y – k)
h = - 3 , k = 5 , 4c = 16
c =4
ดังนั้นจุดยอด
(h, k) = ( - 3 , 5)
โฟกัสอยู่ทจี่ ุด
(h , k + c) = (- 3 , 5+4) = ( - 3 , 9)
สมการไดเรกตริกซ์
y = k- c
y = 5 –4
y = 1
แกนพาราโบลา
x = h
x = -3
วิธีทา จากสมการ
เทียบสมการ
จะได้
F(-3, 9)
V(-3, 5)
O
ตัวอย่ างที่ 4 จากสมการพาราโบลา y2 – 4y + 8x = 20 จงหาจุดยอด
โฟกัส สมการไดเรกตริกซ์ แกนของพาราโบลา และเขียนกราฟ
วิธีทา จากสมการ
y2 – 4y + 8x = 20
จัดสมการ
y2 – 4y + 4 = - 8x + 20 + 4
(y – 2)2 = - 8x + 24
(y – 2)2 = - 8(x – 3)
เทียบสมการ
(y – k)2 = 4c(x – h)
จะได้
h=3 , k=2 , c=-2
ดังนั้นจุดยอดอยู่ที่ (h , k) = ( 3 , 2 )
โฟกัส ( h + c , k ) = (3+(-2) , 2) = (1 , 2)
สมการไดเรกตริกซ์ x = h – c = 3 – (-2) = 5
แกนของพาราโบลา y = k
y =2
เขียนกราฟได้ ดงั นี้
x=5
V(3, 2)
F(1,2)
O
ตัวอย่ างที่ 5 จงหาสมการของพาราโบลา และสมการไดเรกตริกซ์
เมื่อพาราโบลามีจุดยอดทีจ่ ุด(3 , 4) และโฟกัสที่จุด(1 , 4)
วิธีทา นาสิ่ งทีโ่ จทย์ ให้ ไปเขียนกราฟคร่ าวๆ ว่ าเป็ นกราฟของสมการแบบใด
จากกราฟจะได้ สมการพาราโบลาที่มีแกนขนานกับแกน X
มีสมการอยู่ในรูป
(y – k)2 = 4c(x – h)
จากโจทย์ จุดยอดอยู่ทจี่ ุด V(h , k) = (3,4)
จะได้
h=3, k = 4
โฟกัสอยู่ทจี่ ุด F(h+c , k) = (1 , 4)
จะได้
h+c = 1
3+c = 1
c = - 2 ( กราฟเปิ ดซ้ าย )
นา h = 3, k = 4 , c = - 2 แทนค่ าในสมการ
(y – k)2 = 4c(x – h)
จะได้
(y – 4)2 = 4(-2)(x – 3)
(y – 4)2 = - 8(x – 3) (รูปมาตรฐาน)
หรือ
y2 – 8y + 16 = - 8x + 24
y2 – 8y + 8x - 8 = 0 (รูปทัว่ ไป)
ดังนั้นสมการของพาราโบลานีค้ อื
(y – 4)2 = - 8(x – 3 ) หรือ y2 – 8y + 8x - 8 = 0
สมการไดเรกตริกซ์
x = h–c
x = 3 – (-2)
x = 5
เสาไฟฟ้ าสองต้ นสู ง 8 เมตร อยู่ห่างกัน 20 เมตร ถ้ าโยง
สายไฟฟ้ าระหว่ างเสาทั้งสองโดยสายไฟจะหย่ อนเป็ นรู ปโค้ ง
พาราโบลา และมีจุดตา่ สุ ดอยู่สูงจากพืน้ ดิน 3 เมตร จงหาว่ า ณ
จุดทีอ่ ยู่ห่างจากจุดกึง่ กลางระหว่ างเสาทั้งสอง 5 เมตร
สายไฟฟ้ าจะอยู่สูงจากพืน้ ดินเท่ าใด (แบบฝึ กหัดเสริมข้ อ17)
วิธีทา
????
จากโจทย์เขียนกราฟได้ดงั นี้
Y
( 10,5 )
เสาไฟฟ้า
5 ม.
3 ม.
พืน้ ดิน
V(0,0)
5ม
10 ม.
(5,y)
3 ม.
10 ม.
20 ม.
X
จากกราฟจะได้ สมการพาราโบลาในรู ป x2 = 4cy
จุด (10, 5) อยู่บนพาราโบลา จะได้ x = 10 และ y = 5
แทนค่ าในสมการ
x2 = 4cy
102 = 4c(5)
100 = 20c
สมการพาราโบลาที่ต้องการ คือ
c
=
x2 =
X2
5
4(5)y
= 20y
จุดทีห่ ่ างจากจุดกึง่ กลางระหว่ างเสาทั้งสอง 5 เมตรคือ
จุด ( 5 , y ) ซึ่งหาค่ า y ได้ ดังนี้
จากสมการ
x2 = 20y
แทน x ด้ วย 5 จะได้
52 = 20y
25 = 20y
y =
5
4
หรือ 1.25
ดังนั้น สายไฟฟ้าอยู่สูงจากพืน้ ดิน 1.25 + 3 = 4.25 เมตร