Transcript เอกสารในรูปแบบ Powerpoint รุ่น 2003

ลำดับและอนุกรม (sequences and series)
ลำดับและอนุกรม ในทำงคณิ ตศำสตร์ หมำยถึง รู ปแบบ
ของตัวเลข และ ผลรวมของตัวเลข ซึ่งมีลกั ษณะที่สำมำรถ
คำดเดำได้ เช่น
a.) 1,1,1, …
c.) 1,2,4,8,16,…
e.)1+1+1+1+…
b.)1,2,3,4,5,…
d.) 1,1,2,3,5,8,13,…
f.) 1+2+3+4+5+6+…
ลำดับ (sequences)
ลำดับเป็ นฟังก์ชนั ซึ่งส่ งจำกจำนวนนับไปยังจำนวนจริ ง
เรำมักใช้สญ
ั กรณ์
f :N  R
a1  f (1)
a 2  f (2)
a 3  f (3)
และเรี ยก
an  f (n )
an
ว่ำพจน์ที่ n (nth-term)
คณิตศำสตร์ ในธรรมชำติ
ลำดับ Fibonacci
1 12 3 5 8 1321345589
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#spiral
http://www.popmath.org.uk/rpamaths/rp
ampages/sunflower.html
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci
จงหำ an จำกลำดับต่อไปนี้
1,1,1, …
จงหำ an จำกลำดับต่อไปนี้
1,1.1,1.01,1.001, …
จงหำ an จำกลำดับต่อไปนี้
1,2,3, …
จงหำ an จำกลำดับต่อไปนี้
2,4,6,8, …
จงหำ an จำกลำดับต่อไปนี้
12,14,16,18, …
จงหำ a1 ,a2 ,a3,a4 ,a5 เมื่อ an มีค่ำ
a n  10  2 n
จงหำ a1 ,a2 ,a3,a4 ,a5 เมื่อ an มีค่ำ
an  3 2
n
จงหำ a3 ,a4 ,a5,a6 ,a7 เมื่อ an มีค่ำ
a n  a n 1  a n  2
a1  1, a 2  1
ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequences)
ลำดับเลขคณิ ต หมำยถึง ลำดับที่มีผลต่ ำงร่ วม (common
difference) หรื อ
d  a n  a n 1
เป็ นค่ำคงตัว
ตัวอย่ำงลำดับเลขคณิ ต
1,1,1, …
เป็ นลำดับที่มีผลต่ำงร่ วมคือ
ตัวอย่ำงลำดับเลขคณิ ต
1,2,3,4,5,…
เป็ นลำดับที่มีผลต่ำงร่ วมคือ
ตัวอย่ำงลำดับเลขคณิ ต
3,4,5,6,7,…
เป็ นลำดับที่มีผลต่ำงร่ วมคือ
รูปแบบของลำดับเลขคณิต
ลำดับเลขคณิ ต จะมีรูปแบบคือ
a1 , a1  d , a1  2 d , a1  3 d ,
ซึ่งทำให้ได้วำ่
an 
จงหำพจน์ที่ 20 และ 40 ของลำดับเลขคณิ ตต่อไปนี้
3, 7,11,15, ...
13,10, 7, 4, ...
ถ้ำพจน์ที่ 6 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิ ตหนึ่งมี
ค่ำเป็ น 22 และ 38 ตำมลำดับ
จงหำพจน์ที่ 1 และ 100 ของลำดับเลขคณิ ตดังกล่ำว
ลำดับเลขคณิต an หนึ่งมีพจน์ที่ 5 และ 11 มีค่ำเป็ น
–3 และ –15ตำมลำดับ
ลำดับเลขคณิ ตดังกล่ำวมีผลต่ำงร่ วม คือ
1) 3
2) 2
3) 0
4) -2
5) -3
ลำดับเลขคณิต an หนึ่งมีพจน์ที่ 5 และ 11 มีค่ำ
เป็ น –3 และ –15ตำมลำดับ
a1 (ลำดับเลขคณิตพจน์ที่ 1) มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
1) -1
2) 1
3) 3
4) 5
5) 7
ลำดับเลขคณิต an หนึ่งมีพจน์ที่ 5 และ 11 มีค่ำ
เป็ น –3 และ –15ตำมลำดับ
a100 (ลำดับเลขคณิตพจน์ที่ 100) มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
1) 193
2) -193
3) 195
4) -195
5) 205
ลำดับเรขำคณิต (geometric sequences)
ลำดับเรขำคณิ ต หมำยถึง ลำดับที่มีอตั รำส่ วนร่ วม (common
ratio) หรื อ
r 
เป็ นค่ำคงตัว
an
a n 1
ตัวอย่ำงลำดับเรขำคณิ ต
1,1,1, …
เป็ นลำดับที่มีอตั รำส่ วนร่ วมคือ
ตัวอย่ำงลำดับเรขำคณิ ต
1,-1,1,-1,1,…
เป็ นลำดับที่มีอตั รำส่ วนร่ วมคือ
ตัวอย่ำงลำดับเรขำคณิ ต
2,4,8,16,32,…
เป็ นลำดับที่มีอตั รำส่ วนร่ วมคือ
รูปแบบของลำดับเรขำคณิต
ลำดับเรขำคณิ ต จะมีรูปแบบคือ
2
3
r1 , r1 r , r1 r , r1 r ,
ซึ่งทำให้ได้วำ่
rn 
จงหำพจน์ที่ 5 และ 10 ของลำดับเรขำคณิ ตต่อไปนี้
5,10, 20, ...
2,  1,
1
2
,
1
4
, ...
ถ้ำพจน์ที่ 3 และพจน์ที่ 6 ของลำดับเรขำคณิ ตหนึ่งมี
ค่ำเป็ น 15 และ 120 ตำมลำดับ
จงหำพจน์ที่ 1 และ อัตรำส่ วนร่ วมของลำดับเรขำคณิ ต
ดังกล่ำว
ลำดับเรขาคณิต rn หนึ่งมีพจน์ที่ 3 และ 6 มีค่ำเป็ น
8 และ 1 ตำมลำดับ
ลำดับเรขำคณิ ตดังกล่ำวมีอตั รำส่ วนร่ วม คือ
1
1) 2
2)  2
1
1
3)
4) 
2
5)
1
8
8
ลำดับเรขาคณิต rn หนึ่งมีพจน์ที่ 3 และ 6 มีค่ำเป็ น
8 และ 1 ตำมลำดับ
r1 (ลำดับเรขำคณิตพจน์ที่ 1) มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
1) 2
2) -4
3) 8
4) -16
5) 32
ลำดับเรขาคณิต rn หนึ่งมีพจน์ที่ 3 และ 6 มีค่ำเป็ น
8 และ 1 ตำมลำดับ
r10 (ลำดับเรขำคณิตพจน์ที่ 10) มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
1)
1
16
3) 1
5) 16
2)

1
4
4) -4
ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
ลำดับจำกัด (finite sequences) หมำยถึง ลำดับที่มีจำนวน
พจน์อยูเ่ ป็ นจำนวน ๆ หนึ่งเช่น
1,2,3,…,100 เป็ นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ 100 พจน์
10,20,30,…,100 เป็ นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์
1,2,4,…,1024 เป็ นลำดับที่มีจำนวนพจน์อยู่ พจน์
ลำดับอนันต์ (infinite sequences) หมำยถึง ลำดับที่มี
จำนวนพจน์อยูไ่ ม่จำกัด เช่น
1,2,3,…,n,...
n-1
1,2,4,8,16,…,2 ,...
1.1,1.01,1.001,1.0001,…,
1
1
10
,...
n
พิจำรณำลำดับ
1.1,1.01,1.001,1.0001,…, 1 
1
10
n
,...
an 
เมื่อ n มีค่ำมำกขึ้นมำกๆ หรื อใช้สญ
ั กรณ์วำ่ n  
( เรำเรี ยก n   ว่ำ n tends to infinity
หรื อ n มีค่ำเป็ นอนันต์)
an 
โดยส่ วนใหญ่จะใช้สญ
ั กรณ์
1 


1
lim a n  lim 1 
n 
n 
n  
10 
( เรำเรี ยกว่ำ limit n tends to infinity of an
หรือ ลิมต
ิ n เข
แทน
n
an  1 
1
10
n
1
ถ้ำ n   แล้ว a n มีค่ำเท่ำกับค่ำ A
เรำจะกล่ำวว่ำลำดับ a n ลู่เข้ำสู่ค่ำ A เมื่อ n มีค่ำเป็ นอนันต์
a n converges to A as n tends to infinity.
แล้ว
an
ไม่มีค่ำใกล้เคียงค่ำใดเฉพำะ
เรำจะกล่ำวว่ำลำดับ
an
ลู่ออก
ถ้ำ
n
an
diverges as n tends to infinity.
คุณสมบัติของลิมิต n เข้ำสู่อนันต์ของลำดับ an และ bn
ถ้ำ
lim a n  A
และ
1.)
lim c  c
เมื่อ c เป็ นค่ำคงตัวใดๆ
2.)
lim ca n  c lim a n  cA
n 
n 
n 
n 
lim b n  B
n 
3.)
lim  a n  b n   lim a n  lim b n  A  B
4.)
lim  a n  b n   lim a n  lim b n  A  B
n 
n 
n 
n 
n 
n 
5.)
lim  a n b n   lim a n lim b n  A B
6.)
an
 a n  lim
A
n 
lim 



n 
bn
B
 bn  lim
n 
n 
เมื่อ B
n 
 0
n 
7.)
lim
n 
8.)
9.)
lim
n 
1
0
n
1
0
n!
lim a
n
n 
 0
ถ้ำ 0  a  1
และ lim a ลู่ออกถ้ำ
n
n 
a 1
จงพิจำรณำว่ำลำดับต่อไปนี้ล่เู ข้ำหรื อลู่ออก ถ้ำลู่เข้ำ
ให้ระบุวำ่ ลู่เข้ำสู่ค่ำใด
1 2 3
n
, , , ...,
, ...
2 3 4
n 1
1, 4, 9,16, ..., n , ...
1 1 1
1
1, , , , ..., n 1 , ...
2 4 8
2
1,  1,1,  1, ..., (  1)
2 3 4 5
n 1
, , ,
, ...,
, ...
2
1 4 9 15
n
4, 2, 0, ..., 6  2 n , ...
2
n 1
, ...
อนุกรม (series)
อนุกรมเป็ นฟังก์ชนั ซึ่งอยูใ่ นรู ปของผลบวกของลำดับ
เช่น 1+1+1+1+...
1+2+3+4+...
1-1+1-1+-...
1+2+4+8+16+...
อนุกรมเลขคณิต (arithmetic series)
อนุกรมเลขคณิ ต หมำยถึง อนุกรมที่มีพจน์ของผลบวกภำยใน
อยูใ่ นรู ปลำดับเลขคณิต หรือ
S n  a1  a 2 
โดย a1 , a 2 ,
 an
, a n เป็ นลำดับเลขคณิ ต
ตัวอย่ำงอนุกรมเลขคณิ ต
111
n  ¾¨ ¹ ì
1
ตัวอย่ำงอนุกรมเลขคณิ ต
1 2  3
 100
รูปแบบของอนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเลขคณิ ต จะมีรูปแบบคือ
S n  a1  a 2  a 3 
 an
 a1   a1  d    a1  2 d  
ซึ่งทำให้ได้วำ่
Sn 
  a1  ( n  1) d

จงหำค่ำอนุกรมเลขคณิ ต
357
 101
จงหำค่ำอนุกรมเลขคณิ ต
10  7  4  1 
 (  32)
ลำดับเลขคณิต an หนึ่งมีพจน์ที่ 5 และ 11 มีค่ำ
เป็ น –3 และ –15ตำมลำดับ
กำหนดให้ S n  a1  a 2   a n
เป็ นอนุ กรมเลขคณิตของลำดับเล
จงหำค่ำ S
1) -9400
2) -9800 3) -9600
100
4) 10400
5) 10600
อนุกรมเรขำคณิต (geometic series)
อนุกรมเรขำคณิ ต หมำยถึง อนุกรมที่มีพจน์ของผลบวก
ภำยในอยูใ่ นรู ปลำดับเรขำคณิต หรือ
S n  r1  r2 
โดย r1 , r2 ,
 rn
, rn เป็ นลำดับเรขำคณิ ต
ตัวอย่ำงอนุกรมเรขำคณิ ต
111
n  ¾¨ ¹ ì
1
ตัวอย่ำงอนุกรมเรขำคณิ ต
111 
n  ¾¨ ¹ ì
1
ตัวอย่ำงอนุกรมเรขำคณิ ต
1 2  4 
 1024
รูปแบบของอนุกรมเรขำคณิต
อนุกรมเรขำคณิ ต จะมีรูปแบบคือ
S n  r1  r2  r3 
 rn
 r1   r1 r    r1 r
ซึ่งทำให้ได้วำ่
Sn 
2

  r1 r
n 1

รูปแบบของอนุกรมเรขำคณิต
r 1
n
S n  r1
หรื อ
S n  r1
เมื่อ
r 1
r 1
1 r
n
1 r
ตัวอย่ำงอนุกรมเรขำคณิ ต
1 2  4 
 1024
จงหำค่ำอนุกรมเรขำคณิ ต
1
1
2

1
4


1
2
10
จงหำค่ำอนุกรมเรขำคณิ ต 8 พจน์ของอนุกรม
2  6  18  54 
ลำดับเรขาคณิต rn หนึ่งมีพจน์ที่ 3 และ 6 มีค่ำเป็ น
8 และ 1 ตำมลำดับ
กำหนดให้ S n  r1  r2   rn
เป็ นอนุ กรมเรขำคณิ ตของลำดับเรขำคณิ ตดัง
จงหำค่ำ S
1) 48
2) 56
3) 60
6
4) 62
5) 63
อนุกรมจำกัดและอนุกรมอนันต์
อนุกรมจำกัด (finite series) หมำยถึง อนุกรมที่มีผลรวม
ของจำนวนพจน์เป็ นจำนวน ๆ หนึ่งเช่น
1+2+3+…+100 เป็ นอนุกรมที่มีจำนวนพจน์อยู่ 100 พจน์
มีค่ำเท่ำกับ
1+2+4+…+1024 เป็ นอนุกรมที่มีจำนวนพจน์อยู่
มีค่ำเท่ำกับ
พจน์
อนุกรมอนันต์ (infinite series) หมำยถึง อนุกรมที่มี
ผลรวมของจำนวนพจน์อยูไ่ ม่จำกัด เช่น
1+2+3+…+n+...
1
1

2
1
2 3

1


4
1
3 4
1
2

1
4 5
n 1



1
( n  1)( n  2)

ถ้ำ n   แล้ว
เรำจะกล่ำวว่ำอนุกรม
Series
ถ้ำ
Sn
n
มีค่ำเท่ำกับค่ำ A
S n ลู่เข้ำสู่ ค่ำ A เมื่อ n มีค่ำเป็ นอนันต์
Sn
converges to A as n tends to infinity.
แล้ว
Sn
ไม่มีค่ำใกล้เคียงค่ำใดเฉพำะ
เรำจะกล่ำวว่ำอนุกรม S n ลู่ออก
Series
Sn
diverges as n tends to infinity.
ตัวอย่ ำง อนุกรมฮำร์มอนิก
1+
1
2
+
เป็ นอนุกรมที่ล่อู อก
1
+
3
1
+ L +
4
1
+ L
n
กำหนดให้
sn = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ L +
1
n
นอกจำกนี้พบว่ำ s
และ
32
> 1+
5
2
, s 64 > 1 +
s2n > 1 +
แสดงว่ำ
lim s 2 n
æ
nö
³ lim çç1 + ÷
÷
÷
n® ¥ ç
è
2ø
นัน่ คือ
lim s 2 n = ¥
n® ¥
(s
6
2
, s128 > 1 +
n
2
n® ¥
2
n
® ¥
เมื่อ
n® ¥
)
7
2
จงพิจำรณำว่ำอนุกรมต่อไปนี้ล่เู ข้ำหรื อลู่ออก ถ้ำลู่เข้ำ
ให้ระบุวำ่ ลู่เข้ำสู่ค่ำใด
1+2+3+…+n+...
1
1

2
1
2 3

1


4
1
3 4
1
2

1
4 5
n 1



1
( n  1)( n  2)

ลำดับเรขาคณิต rn หนึ่งมีพจน์ที่ 3 และ 6 มีค่ำเป็ น 8
และ 1 ตำมลำดับ
กำหนดให้ S n  r1  r2   rn
จงหำค่ำ lim S
n 
n
1) 512
2) 256
4) 64
5) 32
3) 128
กำรทดสอบกำรลู่เข้ ำของอนุกรมอนันต์
เนื่ อ งด้ว ยเป็ นกำรยำกที่ จ ะทรำบว่ ำ อนุ ก รมอนัน ต์ที่
สนใจนั้น มีค่ำที่แน่นอนเป็ นเท่ำใด บำงครั้งเรำต้องกำร
ทรำบเพียงแค่ว่ำอนุ กรมอนันต์ดงั กล่ำวนั้นลู่เข้ำ หรื อ ลู่
ออก ซึ่ งในที่ น้ ี จะน ำเสนอวิ ธี ก ำรเบื้ อ งต้ น ที่ จ ะใช้
ตรวจสอบว่ำอนุกรมดังกล่ำวนั้นลู่เข้ำหรื อไม่
ทฤษฎีบทที่จะกล่ำวต่อไปนี้ เกี่ยวข้องกับกำรลู่เข้ำของอนุกรม
จะกล่ำวถึงโดยไม่ได้แสดงกำรพิสูจน์ ผูอ้ ่ำนสำมำรถหำกำร
พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่ำวได้ในหนังสื อ Calculus ทัว่ ไป เช่น
Stewart, J., Calculus, early transcendental 6th ed., 2008,
USA, Thomson Brooks/Cole

ทฤษฎีบท ถ้ำอนุกรม  a ลู่เข้ำ แล้ว
n
n 1
ตัวอย่ ำง พิจำรณำอนุกรม
1
1
2

1
4

lim a n  0
n 
1

2
n 1

หมำยเหตุ ในทำงกลับกัน ถ้ำ

แล้ว
lim a n  0
n 
 a อำจจะลู่เข้ำ หรื อลู่ออกก็ได้
n
n 1
ตัวอย่ ำงเช่ น พิจำรณำอนุกรมฮำร์โมนิก

1
n
n 1
 1
1
2

1
3

1
4


1
n

ทฤษฎีบท ถ้ำ
lim a n  0
n 
หรื อ ไม่สำมำรถหำค่ำ

แล้ว  a ลู่ออก
n
n 1

ตัวอย่ ำง พิจำรณำอนุกรม 
n 1
n 1
2
n
2
lim a n
n 
ได้
ต่อไปนี้ เพื่อควำมสะดวก จะใช้สญ
ั กรณ์ต่อไปนี้
a
แทน
n

a
n
n 1
b
n
แทน

b
n
n 1
c
n
แทน

c
n 1
n
ทฤษฎีบท ถ้ำอนุกรม  a n และ  bn ลู่เข้ำแล้ว อนุกรมต่อไปนี้จะ
ลู่เข้ำด้วย  ca (เมื่อ c เป็ นค่ำคงตัวใด ๆ)   a
และ
 ca  c  a
n
n
 bn 
n
n
 a
n
 bn  
a
n

b
n
 a
n
 bn  
a
n

b
n

a
n 1

N
n

a
n 1
n


n  N 1
an
, a
n
 bn 
ตัวอย่ ำง จงหำค่ำ


4
1 
  n ( n  1)  2 n 
n 1 

กำรทดสอบด้ วยปริพนั ธ์
(The Integral Test)
โดยทัว่ ไปแล้วเป็ นกำรยำกที่จะทรำบว่ำอนุกรมอนันต์ที่
สนใจนั้น มีค่ำที่แน่นอนเป็ นเท่ำใด ด้วยแนวคิดทำงด้ำน
กำรหำปริ พนั ธ์ จะช่ วยให้สำมำรถประมำณค่ำอนุ กรม
และประเมินได้วำ่ อนุกรมดังกล่ำวลู่เข้ำหรื อไม่
แนวคิด
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
¥
พืน้ ที่ = 1 + ò
1
1
x
2
พืน้ ที่
dx = 1 + 1 = 2
จำกตัวอย่ ำงพบว่ ำ
¥
1
å
n= 1
n
1
=
2
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+ L < 2
Leonhard Euler (1707-1783) เป็ นผู้แรกทีแ่ สดงให้ เห็นว่ ำ
¥
å
n= 1
1
n
2
=
p
2
» 1.644934068...
6
โดยเรำสำมำรถใช้อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series)
ซึ่ งจะได้เรี ยนถัดไปมำช่วยในกำรแสดงกำรหำค่ำดังกล่ำวได้
แนวคิด
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
พืน้ ที่
¥
พืน้ ที่ = ò
1
1
x
พืน้ ที่
dx
ซึ่งลู่ออก
จำกตัวอย่ ำงพบว่ ำ
¥
å
n= 1
1
=
n
1
1
+
1
+
2
1
+ L >
3
¥
ซึ่งแสดงให้ เห็นว่ ำ
¥
å
n= 1
ò
1
1
n
ลู่ออก
1
x
dx
ทฤษฎีบท ถ้ำ f ( x ) เป็ นฟังก์ชนั ที่ต่อเนื่อง มีค่ำไม่ติดลบ และ เป็ นฟังก์ชนั ลด
บนช่วง [1, ¥ ) โดยที่ f ( n ) = a , n = 1, 2, 3, K ดังนั้น
n
¥
1) ถ้ำ ò

f ( x) dx
ลู่เข้ำ แล้ว  a ลู่เข้ำ
n
n 1
1
¥
2) ถ้ำ ò

f ( x) dx
ลู่ออก แล้ว  a ลู่ออก
n
n 1
1
¥
หมำยเหตุ โดยทัว่ ไปแล้ว ò
1
¥
f ( x ) dx ¹
å
n= 1
an
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำอนุกรม å
n= 1
1
2
n +1
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำอนุกรม å
n= 1
1
n
p
ทฤษฎีบท อนุกรม p (p-series)
¥
å
n= 1
ลู่เข้ ำถ้ำ
p> 1
1
n
p
ลู่ออกถ้ำ p £
1
กำรทดสอบด้ วยกำรเปรียบเทียบ
(The Comparison Test)
ถ้ำทรำบว่ำอนุ กรมที่เรำสนใจ มีรูปแบบใกล้เคียง หรื อ
ค่ ำ ประมำณใกล้เ คี ย งกับ อนุ ก รมที่ เ รำรู ้ จัก หรื อ ทรำบ
คุณสมบัติก่อนหน้ำนี้ แล้ว เรำสำมำรถใช้กำรทดสอบ
ด้วยกำรเปรี ยบเที ยบ เชื่ อมโยงควำมสัมพันธ์ของสอง
อนุกรมดังกล่ำวด้วยกันได้
ทฤษฎีบท ถ้ำอนุกรม  a n และ bn เป็ นอนุกรมที่มีพจน์แต่ละพจน์
เป็ นค่ำบวกแล้ว
1) ถ้ำ  a ลู่เข้ ำและ a
n
n
2) ถ้ำ  a ลู่ออกและ a
n
n
 bn
ทุก ๆ ค่ำ n แล้ว  b ลู่เข้ ำด้วย
 bn
ทุก ๆ ค่ำ n แล้ว  b ลู่ออกด้วย
n
n
อนุกรมทีม่ ักจะนำมำใช้ เปรียบเทียบ
1. อนุกรมเรขำคณิ ต
2. อนุกรม p

r1 r

n 1
1
n
ลู่เข้ ำ ถ้ำ
r 1
ลู่ออก ถ้ำ
r 1
ลู่เข้ ำ ถ้ำ
p 1
ลู่ออก ถ้ำ
p 1
p
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
3
2
5n + 7 n + 1
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
ln n
n
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
1
n
2 + 3
n
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
ทฤษฎีบท ถ้ำอนุกรม  a n และ bn เป็ นอนุกรมที่มีพจน์แต่ละพจน์
เป็ นค่ำบวกแล้ว และ
lim
n 
an
c
bn
เมื่อ c เป็ นค่ำคงตัวที่ไม่ เป็ นศูนย์ (เป็ นตัวเลขและไม่ใช่ค่ำ ¥ หรื อ 0)
1) ถ้ำ  a ลู่เข้ ำ แล้ว  b ลู่เข้ ำด้วย
n
n
2) ถ้ำ  a ลู่ออกแล้ว  b ลู่ออกด้วย
n
n
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
1
n
2 - 1
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
2
2n + n
7+ n
5
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
อนุกรมสลับ (alternating series)
อนุกรมสลับ หมำยถึงอนุกรมที่มีพจน์สลับไปมำระหว่ำงค่ำบวกและลบ
ตัวอย่ำงเช่น
1-
-
1
2
+
1
+
1
-
1
+
1
2
3
4
5
2
3
4
5
3
-
4
+
5
-
6
-
1
¥
+ L =
6
+
6
7
(- 1)
å
n= 1
n- 1
n
¥
- L =
å
n= 1
(- 1)
n
n
n+ 1
โดยทัว่ ไปเรำมักใช้สญ
ั กรณ์
¥
¥
¥
å
(- 1)
n- 1
bn =
n= 1
å
หรื อ å
an
n
(- 1) b n =
n= 1
n= 1
แทนอนุกรมสลับ เมื่อ
¥
å
an
n= 1
bn = a n
ตัวอย่ ำงเช่ น
1
1-
+
2
-
1
2
+
1
-
3
2
3
-
1
+
4
3
4
+
1
-
5
4
5
-
1
¥
+ L =
6
5
6
+
å
n= 1
6
7
(- 1)
n- 1
an =
n
¥
- L =
å
n= 1
(- 1)
(- 1)
n
n- 1
n
, bn =
1
n
n
n+ 1
a n = (- 1)
n
n
n+ 1
, bn =
n
n+ 1
¥
ทฤษฎีบท ถ้ำอนุกรม å
¥
(- 1)
n- 1
bn
หรื อ å
n
(- 1) b n
n= 1
n= 1
เป็ นอนุกรมสลับ และ
สำหรับทุก ๆ
1)
bn  bn  1
2)
lim b n  0
n  1, 2, 3,
n 
แล้วอนุกรมสลับดังกล่ำวจะเป็ นอนุกรมที่ล่ ูเข้ ำ
(b n ³ 0 )
ตัวอย่ ำง
¥
å
n= 1
พบว่ำ
และ
(- 1)
n- 1
n
b1 = 1 > b 2 =
lim b n = lim
n® ¥
= 1-
n® ¥
1
+
2
1
2
> b3 =
1
1
-
3
1
3
1
+
4
> b4 =
1
-
5
1
1
+ L
6
> L
4
= 0
n
ดังนั้นอนุกรมสลับนี้เป็ นอนุกรมสลับที่ล่เู ข้ำ

แต่ !!! อนุกรมฮำร์โมนิก 
n 1
1
n
 1
1
2

1
3

1
4


1
n

ลู่ออก
¥
ตัวอย่ ำง å
n= 1
(- 1)
2
n+ 1
n + 1
n
¥
ตัวอย่ ำง å
n= 1
n
(- 1) 3 n
4n - 1
กำรลู่เข้ ำสั มบูรณ์ (absolute convergence)
¥
พิจำรณำอนุกรม å
a n = a1 + a 2 + a 3 + L
n= 1
¥
ดังนั้น
å
a n = a1 + a 2 + a 3 + L
n= 1
¥
¥
ถ้ำ å
n= 1
an
ลู่เข้ ำ เรำจะกล่ำวว่ำอนุกรม å
n= 1
an
มีสมบัติลู่เข้ ำสั มบูรณ์
ตัวอย่ ำง
อนุกรม
¥
(- 1)
å
n= 1
¥
n= 1
å
n= 1
n
(- 1)
å
¥
2
n- 1
(- 1) n
n
ลู่เข้ ำสั มบูรณ์






n- 1
n
n
ลู่เข้ ำ
กำรลู่เข้ ำมีเงือ่ นไข (conditionally convergence)
¥
พิจำรณำอนุกรม å
a n = a1 + a 2 + a 3 + L
n= 1
¥
ดังนั้น
å
a n = a1 + a 2 + a 3 + L
n= 1
¥
ถ้ำ å
¥
an
ไม่ ล่ ูเข้ ำ แต่ å
n= 1
an
ลู่เข้ ำ
n= 1
¥
เรำจะกล่ำวว่ำอนุกรม å
n= 1
an
มีสมบัติลู่เข้ ำมีเงือ่ นไข
ตัวอย่ ำง
อนุกรม
¥
(- 1)
å
n= 1
¥
n= 1
å
n= 1
n
(- 1)
å
¥
2
n- 1
(- 1) n
n
ลู่เข้ ำสั มบูรณ์
ลู่เข้ ำมีเงือ่ นไข









n- 1
n
n
ลู่เข้ ำ
¥
ทฤษฎีบท ถ้ำอนุกรม å
an
เป็ นอุนกรมลู่เข้ำสมบูรณ์ แล้วจะเป็ น
n= 1
อนุกรมลู่เข้ ำด้วย
¥
ตัวอย่ ำง จงแสดงว่ำอนุกรม å
n= 1
cos n
n
2
เป็ นอนุกรมลู่เข้ำ
กำรทดสอบด้ วยอัตรำส่ วน
(The Ratio Test)
กำรทดสอบด้วยอัตรำส่ วน เป็ นหนึ่ งในวิธีกำรทดสอบ
อนุ ก รมว่ ำ อนุ ก รมที่ พิ จ ำรณำจะลู่ เ ข้ำ หรื อไม่ โดย
พิจำรณำจำกลิ มิตของอัตรำส่ วนของค่ำของพจน์ที่อยู่
ติดกันในอนุกรมนั้น
กำรทดสอบด้ วยอัตรำส่ วน
1) ถ้ำ
2) ถ้ำ
3) ถ้ำ
lim
n® ¥
lim
n® ¥
lim
n® ¥
an+ 1
¥
= r< 1
an
an+ 1
an
an
n= 1
¥
= r> 1
an
an+ 1
แล้ว อนุกรม å
แล้ว อนุกรม å
an
ลู่เข้ ำสมบูรณ์
(และลู่เข้ ำด้วย)
ลู่ออก
n= 1
= 1
แล้ว ด้วยวิธีกำรนี้ไม่ สำมำรถสรุปได้วำ่ อนุกรม
å a ลู่เข้ำหรื อไม่
¥
n
n= 1
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
(- 1)
n
n
3
3
n
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
¥
ตัวอย่ ำง พิจำรณำว่ำอนุกรม å
n= 1
n
n
n!
ลู่เข้ำหรื อลู่ออก
แบบฝึ กหัด
จงแสดงว่ำอนุกรมต่อไปนี้ล่เู ข้ำหรื อลู่ออก