Transcript อนุกรมกำลัง (Power Series)

2301520 Fundamentals of AMCS

อนุกรมกำลังเป็ นอนุกรมอนันต์ที่อยูใ่ นรูปของ
f (x ) 

n
2
a
(
x

c
)

a

a
(
x

c
)

a
(
x

c
)
 ...
n
0
1
2
n 0
โดยที่
a n เป็ นสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่ n
c เป็ นค่ำคงที่
x เป็ นตัวแปร
 เรำเรี ยกอนุกรมนี ้ว่ำเป็ นอนุ กรมกำลังมีศูนย์ กลำงที่ c (power series
centered at c )
2

อนุกรมดังกล่ำวอำจลูเ่ ข้ ำสำหรับค่ำ x บำงค่ำและลูอ่ อกสำหรับค่ำ x ค่ำอื่นๆ
ยกตัวอย่ำงเช่นอนุกรม
(x  3)

n
n 1

n
หำกใช้ Ratio Test จะพบว่ำอนุกรมดังกล่ำวจะลูเ่ ข้ ำเมื่อ 2
และลูอ่ อกเมื่อ x  2 หรื อ x  4
x 4
(example 1)
3
ทฤษฎีบทที่ 1

กำหนดให้  an (x  c )n เป็ นอนุกรมกำลัง จะได้ วำ่ หนึง่ ในสำมข้ อต่อไปนี ้เป็ น
n 0
จริ ง
1. อนุกรมดังกล่ำวลูเ่ ข้ ำเมื่อ x=c เท่ำนัน้ (R=0)
2.
อนุกรมดังกล่ำวลูเ่ ข้ ำสำหรับ x ทุกๆค่ำ (R=∞)
3. มีจำนวนเต็มบวก R ที่ทำให้ อนุกรมดังกล่ำวลูเ่ ข้ ำเมื่อ |x-c|<R และ ลูอ
่ อก
เมื่อ |x-c|>R


เรำเรี ยกค่ำ R ว่ำเป็ นรั ศมีของกำรลู่เข้ ำ (radius of
convergence)
4


นอกจำกนี ้ยังมีช่วงของกำรลู่เข้ ำ (interval of convergence)
ของอนุกรมกำลั
ง ซึง่ เป็ นช่วงของค่ำ x ที่ทำให้ อนุกรมลูเ่ ข้ ำ

ถ้ ำอนุกรม  an (x  c )n มีรัศมีของกำรลูเ่ ข้ ำ R
n 0
ช่วงของกำรลูเ่ ข้ ำเป็ นไปได้ สี่แบบคือ
(c-R,c+R)
(c-R,c+R]
[c-R,c+R)
[c-R, c+R]
5
บำงฟั งก์ชนั สำมำรถเขียนให้ อยูใ่ นรูปอนุกรมกำลังได้ โดยอำศัยอนุกรมเรขำคณิต
ทบทวน อนุกรมเรขำคณิต (Geometric Series)


n
2
x

1

x

x
 ...

n 0
1 เมื่อ |x|<1
1x 3
x
 ยกตัวอย่ำงเช่น
สำมำรถเขียนในรูปของอนุกรมกำลังได้ เป็ น
x 2

( 1)n 1 n
x

n 2
n 3 2
ซึง่ ลูเ่ ข้ ำในช่วง (-2,2)
(example 2)
ซึง่ จะลูเ่ ข้ ำสู่
6

ผลบวกในอนุกรมกำลังดังกล่ำวเป็ นผลบวกอนันต์ ลองมำดูวำ่ จะเกิดอะไรขึ ้นถ้ ำเรำ
เอำมำเฉพำะผลบวกของพจน์แรกๆ กล่ำวคือ สมมุติให้
S k (x ) 
k
n
a
(
x

c
)
n
n 0

n
S k (x ) )
(ซึง่ หมำยควำมว่ำ  an (x  c )  lim
k 
n 0
1

โดยใช้ ตวั อย่ำง
1x

x
n 0
n
3
x
และ

x 2
( 1)n 1 n
x

n 2
n 3 2

(example 3)
7
ทฤษฎีบทที่ 2
ถ้ ำฟั งก์ชนั f(x) สำมำรถเขียนอยูใ่ นรูปอนุกรมกำลังที่มีศนู ย์กลำงที่ c ได้ หรื อ ถ้ ำ

f (x ) 

n
a
(
x

c
)
,
n
x c  R
n 0
จะได้ วำ่ ค่ำสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์จะเป็ น
f (n ) (c )
an 
n!
8

เมื่อแทนค่ำ an ลงไปในสมกำรจะได้

f (n ) (c )
f (x )  
(x  c )n
n!
n 0
f (c )
f (c )
f (c )
2
 f (c ) 
(x  c ) 
(x  c ) 
(x  c ) 3  ...
1!
2!
3!


อนุกรมกำลังดังกล่ำวเรี ยกว่ำอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series)
ถ้ ำค่ำ c=0 อนุกรมดังกล่ำวยังมีชื่อพิเศษขึ ้นมำอีกว่ำ
เป็ น Maclaurin Series
(example 4)
9