Transcript B - Choopan Rattanapoka

COMBINATORICS
Credit: Benchaporn Jantarakongkul
Burapha University
030513122 - Discrete Mathematics
Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka
Combinatorics


เป็ นการศึกษาเกี่ยวกับจานวนวิธีที่แตกต่างกันในการเรียงของ หรือเลือกของ
หลายสิ่ง
ตัวอย่าง:
 ในการประกวดเรียงความมีผเู ้ ข้าร่วม
100 คน ผูช้ นะ 10 อันดับแรก จะมีได้กี่
แบบ?
 ถ้ากาหนดรหัสผ่านความยาว 6-8 ตัวประกอบด้วย ตัวอักษรภาษาอังกฤษและ/
หรือ ตัวเลขจะมีรหัสผ่านที่แตกต่างกันได้กี่แบบ?
Sum and Product Rules

กฎการบวก(Sum Rule) : งานอย่างที่ 1 มีวิธีทาได้ n1 วิธี งานอย่างที่ 2
มีวิธีทาได้ n2 วิธี … งานอย่างที่ k มีวิธีทาได้ nk วิธี ถ้าต้องการเลือกทางาน
อย่างใดอย่างหนึ่ งเพียง 1 งานเท่านั้น จานวนวิธีที่จะเลือกทางานชิ้ นนั้นเท่ากับ
n1 + n2 + … + nk วิธี

กฎการคูณ(Product Rule): ถ้างานอย่างหนึ่ งมีวิธีเลือกทาได้ n1 วิธี ใน 1
วิธีที่เลือกทางานอย่างแรก มีวิธีเลือกทางานอย่างที่ 2 ได้ n2 วิธี และในแต่ละ
วิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและอย่างที่ 2 มีวิธีเลือกทางานอย่างที่ 3 ได้ n3 วิธี
… จานวนวิธีท้งั หมดที่จะเลือกทางาน k อย่างเท่ากับ
n1  n2  n3  …  nk วิธี
ตัวอย่าง: Sum and Product Rules
ตัวอย่าง: Sum Rule
 ภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์จะแจกคอมพิวเตอร์ 1 เครื่องฟรีแก่นิสิตหรืออาจารย์
ภาควิชามีวธิ ีแจกทั้งหมดได้กี่แบบ, ถ้ามีนิสิต 530 คน และ อาจารย์ 15 คน?
วิธีทา: จานวนวิธีท้งั หมดเท่ากับ 530 + 15 = 545 วิธี
ตัวอย่าง: Product Rule
 เลขทะเบียนรถที่มีแต่ตว
ั อักษรภาษาอังกฤษสามตัว มีท้งั หมดกี่เลขทะเบียน?
วิธีทา: ตัวอักษรตาแหน่ งแรกเป็ นได้ 26 แบบ ตัวอักษรตาแหน่ งที่สองเป็ นได้ 26 แบบ และ
ตัวอักษรตาแหน่ งที่สามเป็ นได้ 26 แบบ
 ดังนั้ น มีเลขทะเบียนที่แตกต่างกันได้ท้งั หมด 262626 = 17,576 เลขทะเบียน
ตัวอย่าง: Product Rule

กาหนดตัวเลข 0,1,2,3,4,5 ต้องการสร้างชุดตัวเลขจากตัวเลขที่กาหนด 3
ตัว โดยชุดตัวเลขที่สร้างจะต้องไม่ขนต้
ึ้ นด้วยเลข 1 และตัวเลขที่ปรากฏในแต่
ละชุดจะต้องไม่ซ้ากัน จงหาจานวนเลขชุดที่เป็ นไปได้ท้งั หมด
 วิธีที่จะเลือกตัวเลขสาหรับตาแหน่ งแรก(ซ้ายสุด)คือ 5
ตัว (เลข 0,2,3,4,5)
 วิธีที่จะเลือกตัวเลขสาหรับตาแหน่ งที่สองคือ 5 ตัว เนื่ องจากเราใช้ตวั เลขไปแล้ว 1
ตัว
 วิธีที่จะเลือกตัวเลขสาหรับตาแหน่ งที่สามคือ 4 ตัว
 ดังนั้ นจานวนเลขชุดที่เป็ นไปได้ท้งั หมด คือ 5  5  4 = 100
Set Theoretic Version

ถ้า A เป็ นเซตของวิธีที่จะทางาน 1, และ B เป็ นเซตของวิธีที่จะทางาน 2
และถ้า A และ B ไม่มีสมาชิกร่วม(disjoint) ดังนั้น:
 วิธีที่จะทางาน
1 หรือ งาน 2 คือ AB, และ |AB|=|A|+|B|
(จานวนวิธีที่จะเลือกสมาชิกใดๆจากเซตใดเซตหนึ่ ง)
 วิธีที่จะทางาน
1 และ 2 แทนด้วย AB, และ |AB|=|A|·|B|
(จานวนวิธีที่จะเลือกสมาชิกหนึ่ งๆจากทั้งสองเซต)
ตัวอย่าง

ถ้าเราสามารถเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B ได้ท้งั ทางบกหรือทางอากาศ
โดยทางบกมี 2 เส้นทาง ทางอากาศมีเส้นทางเดียว จงหาจานวนเส้นทาง
ทั้งหมดในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง B
 จานวนเส้นทางในการเดินทางจากเมือง

A ไปยังเมือง B เท่ากับ 2+1=3
จากตัวอย่างข้างบน หากต้องการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ซึ่งจะต้อง
ผ่านเมือง B ถ้าทราบว่ามี 4 เส้นทางจากเมือง B ไปเมือง C จงหาจานวน
เส้นทางทั้งหมดในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C
 จานวนเส้นทางในการเดินทางจากเมือง
A ไปยังเมือง C เท่ากับ 3∙4=12
ตัวอย่าง: IP Address (1)

Internet Protocol version 4
32 bits เรียงกันในรูปแบบที่เรียกว่า dotted decimal โดยแบ่ง
ของเป็ น 4 ชุด ชุดละ 8 bits
 มีขนาด
 aaaaaaaa
. bbbbbbbb . cccccccc . dddddddd
 เพื่อใช้จดจาง่ายจึงใช้เลขฐาน 10 เช่น 202.44.32.14
 มีการแบ่งประเภทของหมายเลข
 Class
IP ออกเป็ น class
A ตัวเลขชุดแรกของหมายเลขไอพีจะอยูใ่ นช่วง 1 - 127
 Class B ตัวเลขชุดแรกของหมายเลขไอพีจะอยูใ่ นช่วง 1 - 191
 Class C ตัวเลขชุดแรกของหมายเลขไอพีจะอยูใ่ นช่วง 192 - 223
 Class D ตัวเลขชุดแรกของหมายเลขไอพีจะอยูใ่ นช่วง 224- 239 (Multicast)
 Class E ตัวเลขชุดแรกของหมายเลขไอพีจะอยูใ่ นช่วง 240 – 255 (Experiment)
ตัวอย่าง: IP Address (2)

ข้อมูลเพิ่มเติม :

หมายเลขไอพีแรกของแต่ละกลุ่ม network จะถูกจองไว้เป็ นหมายเลข network id ของกลุ่ม และ
หมายเลขไอพีสุดท้ายของแต่ละกลุ่มจะถูกจองไว้สาหรับเป็ น broadcast IP

จงหาจานวนหมายเลขไอพีที่สามารถใช้งานได้ท้งั หมด ใน class A, B และ C รวมกัน

IP: Class A

บิตแรกจะเป็ น 0


จะมี network id จานวน 8 bits
จะมี host id จานวน 24 bits
รูปแบบคือ 0NNNNNNN . HHHHHHHH . HHHHHHHH . HHHHHHHH
ขั้นตอนที่ 1 หาจานวน network ของ Class A: 27 - 1 = 127 (มี 7 บิต , 0 ไม่ได้ใช้)
ขั้นตอนที่ 2 หาจานวน host ของแต่ละ network : 224 – 2 = 16777214 (มี 24 บิต ใช้ไม่ได้ 2 เลข)

เพราะฉะนั้น Class A มีหมายเลขไอพีที่ใช้ได้ท้งั หมด = 127 x 16777214 = 2,130,706,178



ตัวอย่าง: IP Address (2)

IP: Class B

2 บิตแรกจะเป็ น 10
จะมี network id จานวน 16 bits
จะมี host id จานวน 24 bits
รูปแบบคือ 10NNNNNN . NNNNNNNN . HHHHHHHH . HHHHHHHH
ขั้นตอนที่ 1 หาจานวน network ของ Class B: 214 = 16,384 (มี 14 บิต)
ขั้นตอนที่ 2 หาจานวน host ของแต่ละ network : 216 – 2 = 65,534 (มี 16 บิต ใช้ไม่ได้ 2 เลข)

เพราะฉะนั้น Class B มีหมายเลขไอพีที่ใช้ได้ท้งั หมด = 16,384 x 65,534 = 1,073,709,056





ตัวอย่าง: IP Address (3)

IP: Class C

3 บิตแรกจะเป็ น 110
จะมี network id จานวน 24 bits
จะมี host id จานวน 8 bits
รูปแบบคือ 110NNNNN . NNNNNNNN . NNNNNNNN . HHHHHHHH
ขั้นตอนที่ 1 หาจานวน network ของ Class C: 221 = 2,097,152 (มี 21 บิต)
ขั้นตอนที่ 2 หาจานวน host ของแต่ละ network : 28 – 2 = 256 (มี 8 บิต ใช้ไม่ได้ 2 เลข)

เพราะฉะนั้น Class B มีหมายเลขไอพีที่ใช้ได้ท้งั หมด = 2,097,152 x 256 = 532,676,608






เพราะฉะนั้นจานวนหมายเลข IP ของ class A, B และ C รวมกัน คือ

2,130,706,178 + 1,073,709,056 + 532,676,608

= 3,737,091,842
Inclusion-Exclusion Principle

สมมติวา่
1 อยู่ m วิธี
 มีจานวนวิธีที่จะทางานที่ 2 อยู่ n วิธี
 และมีจานวนวิธีที่ทางานที่ 1 ซ้ากับจานวนวิธีที่ทางานที่ 2 อยู่ k วิธี โดย km
 มีจานวนวิธีที่จะทางานที่


ดังนั้นจานวนวิธีที่จะทางานที่ 1 หรืองานที่ 2 เท่ากับ m  n  k
จากทฤษฎีเซต: ถ้าเซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกัน ดังนั้น
|AB|=|A||B||AB|
 ถ้าเซต
A และเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน, |AB|=|A|+|B|
Inclusion-Exclusion Example



จงหาจานวน bit string (0, 1) ที่ยาว 8 ตาแหน่ ง ที่เริ่มต้นด้วยเลย 1 หรือ ลงท้ายด้วยเลข 00 ว่ามีกี่ตวั
คิดกรณีที่ 1: จานวน bit string ที่ขนต้
ึ้ นด้วย 1
 1x x x xx x x
 1 x 27 = 128 ตัว
คิดกรณีที่ 2 : จานวน bit string ที่ลงท้ายด้วย 00



xxxxxx00
26 x 1 x 1 = 64 ตัว
รวมทั้งหมดคือมี 128 + 64 = 192 ตัว (แต่ผิด !! เพราะในกรณีที่ 1 ก็มี bit string ที่ลงท้ายด้วย 00
รวมไปด้วย และในกรณีที่ 2 ก็มี bit string ที่ขนต้
ึ้ นด้วย 1 รวมไปด้วย) จึงต้องหาจานวน bit string ที่
ร่วมกันระหว่างกรณีที่ 1 และ 2

กรณีรว่ ม : 1 x x x x x 0 0 = 1 x 25 x 1 x 1 = 32

ดังนั้นคาตอบคือ 192 – 32 = 160
Pigeonhole Principle


ถ้า มีวตั ถุ ≥k+1 ชิ้ น นาไปเก็บในกล่อง k กล่อง ดังนั้น จะต้องมีกล่องอย่าง
น้อยหนึ่ งกล่องที่มีวตั ถุเก็บอยู่ ≥2 ชิ้ น
หากเขียนในรูปของฟั งก์ชนั ่ :
f:A→B และ |A|≥|B|+1, ดังนั้นสมาชิกบางตัวของ B มี preimages ≥2 ภายใต้ฟังก์ชนั ่ f หรือกล่าวได้วา่ ฟั งก์ชนั่ f ไม่เป็ น
ฟั งก์ชนั ่ 1-1
 ถ้า


Example : ถ้ามีผเู้ ล่นซ็อคเกอร์ 11 คนในทีมที่ชนะทีมคูต่ ่อสูด้ ว้ ยแต้ม
12-0, ดังนั้น จะต้องมีผเู้ ล่นอย่างน้อยหนึ่ งคนที่ทาแต้มได้อย่างน้อยสองแต้ม
Example : ถ้านิ สิตมีวิชาเรียน 6 วิชา ตั้งแต่วนั จันทร์ถึงวันศุกร์ ดังนั้น
จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่ งวันที่นิสิตมีเรียนอย่างน้อยสองวิชา
Generalized Pigeonhole Principle


ถ้ามีวตั ถุ N ชิ้ นถูกกาหนดให้นาไปเก็บในที่เก็บ k ตาแหน่ ง ดังนั้นจะต้องมี
อย่างน้อยหนึ่ งตาแหน่ งที่มีวตั ถุเก็บอยูอ่ ย่างน้อย N/k ชิ้ น
ตัวอย่าง 1: N=280 แทนจานวนนิ สิตในห้องเรียน หนึ่ งปี มีจานวน
สัปดาห์ k=52 สัปดาห์
ต้องมีนิสิตในห้องอย่างน้อย 280/52= 5.38=6 คน ที่เกิดใน
สัปดาห์เดียวกัน
 ดังนั้ น

ตัวอย่าง 2: กาหนดให้มีนิสิต 280 คนในห้องเรียน โดยที่เราไม่ทราบวัน
เกิดของนิ สิตแต่ละคน อยากทราบว่าจะมี นิ สิตอย่างน้อยกี่คนที่เกิดเดือน
เดียวกัน?

ดังนั้น ต้องมีนิสิตในห้องอย่างน้อย 280/12= 23.3= 24 คน ที่เกิด
ในสัปดาห์เดียวกัน
การจัดลาดับ (Permutation)

การจัดลาดับหรือเรียงลาดับของบางสิ่งหรือทุกสิ่งจากจานวนสิ่งของ
ทั้งหมด โดยคานึ งถึงลาดับที่
 ทฤษฎีบท จานวนวิธีจด
ั ลาดับของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นามา
จัดทีละ n สิ่ง คือ n! โดย
n! = n  (n - 1)  (n - 2) … 3  2  1
 ตัวอย่าง มีตว
ั อักษร 3 ตัว a, b, c จัดคราวละ 3 ตัว จงหาว่าจะมี
วิธีจดั ลาดับอักษรเหล่านี้ ได้กี่วิธี
3! = 3  2  1 = 6 วิธี
Permutation

ทฤษฎีบท จานวนวิธีจดั ลาดับของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกัน โดยจัดทีละ
r สิ่ง เมื่อ r < n แทนด้วยสัญลักษณ์ nPr หรือ P(n , r)
P(n, r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)!

ตัวอย่าง :
 P(8,
3) = 8! / (8 – 3)!
= 8!/5!
= (87654321)/(54321)
= 336
แบบฝึ กหัด


ผูก้ อ่ การร้ายคนหนึ่ งวางระเบิดไว้กลางเมือง และผูก้ รู ้ ะเบิดได้รบั มอบหมายได้ตดั
สายไฟเพื่อตัดวงจรการทางานของระเบิดนี้ โดยมีสายไฟทั้งหมด 10 เส้น ผูก้ รู ้ ะเบิด
จะต้องตัดสายไฟ 3 เส้น ถ้าผูก้ รู ้ ะเบิดตัดสายไฟได้ถกู ต้องตามลาดับทั้ง 3 เส้น
ระเบิดจะหยุดทางาน หากตัดผิดเส้นหรือผิดลาดับ ระเบิดจะทางานทันที ผูก้ ู ้
ระเบิดมีโอกาสที่จะรอดตายเท่าไร?
ถ้ามีคาว่า BYTES
 จงหาจานวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคานี้
 จงหาจานวนวิธีที่จะจัดอักษร 3 ตัว จากคานี้ โดยกาหนดว่าต้องขึ้ นต้นด้วย B
Permutation (ต่อ)
ทฤษฎีบท จานวนวิธีในการจัดลาดับของ r สิ่ง จากทั้งหมด n สิ่งโดย
อนุ ญาตให้ของซ้ากันได้ คือ n r
 ทฤษฎีบท จานวนวิธีจด
ั ของn สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเป็ นวงกลม คือ
(n - 1)!


ตัวอย่าง
ก) จงหาจานวนวิธีที่จะจัดหญิง 4 คน และชาย 4 คน ให้นัง่ รอบโต๊ะกลม
ข) จากข้อ ก) มีกี่วธิ ีที่ชายและหญิงจะนัง่ สลับที่กนั
การจัดลาดับสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
ทฤษฎีบท การจัดลาดับของ n สิ่ง ซึ่งมี n1 สิ่งที่เหมือนกัน, n2 สิ่งที่
เหมือนกัน, …. ,nk สิ่งที่เหมือนกัน จะได้จานวนวิธีจดั เท่ากับ
n!/n1!n2!n3!...nk!
ตัวอย่าง จากคาว่า INTELLIGENCE
 สามารถจัดคาๆนี้ ได้เป็ นคาต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี
 สามารถจัดคาๆนี้ ได้เป็ นคาต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้เริ่มต้น
ด้วยตัว T และลงท้ายด้วยตัว G
 สามารถจัดคาๆนี้ ได้เป็ นคาต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วิธี โดยให้มี INT
อยูต่ ิดกันตามลาดับ และ IG อยูต่ ิดกันตามลาดับ

การจัดหมู่ (Combination)


การจัดหมูข่ อง ทีละ r สิ่ง (r-combination) ของสมาชิกของเซต คือการ
เลือกสมาชิก r ตัวแบบไม่คานึ งถึงลาดับจากเซตนั้น
ดังนั้น การจัดหมูข่ อง r สิ่ง เป็ นเซตย่อยที่มีสมาชิก r ตัวของเซตนั้น
ตัวอย่าง: กาหนดให้ S = {1, 2, 3, 4}
 ดังนั้ น {1, 3, 4} เป็ นการจัดหมูข
่ อง 3 สิ่ง จากเซต S
 จานวนวิธีการจัดหมูข
่ อง r สิ่ง ของเซตที่มีสมาชิกต่างกัน n ตัว แทนด้วย
สัญลักษณ์ C(n, r)
 เช่น : C(4, 2) = 6 เพราะ การจัดหมูข
่ อง 2 สิ่ง ของเซต {1, 2, 3, 4}
คือ {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
สูตรการหาจานวนวิธีการจัดหมู่

การเลือกสิ่งของ r สิ่งจาก n สิ่งมาจัดหมูจ่ ะสามารถคานวณได้ดงั นี้
n
n!
C (n, r )    
 r  r!(n  r )!

ตัวอย่าง 1: มีกี่วิธีที่จะเลือกคน 3 คนจากกลุ่มคน 6 คน?


C(6, 3) = 6!/(3!3!) = 720/(66) = 720/36 = 20 วิธี
ตัวอย่าง 2: การเลือกไพ่ 7 ใบ จากสารับไพ่ที่มีท้งั หมด 52 ใบ จะมีผลลัพธ์
ได้กี่แบบ(เมื่อไม่สนใจลาดับของไพ่ที่หยิบได้)

C(52, 7) = 52!/(7! 45!) = 133,784,560 วิธี
ตัวอย่าง: Combination

ชมรมซ็อคเกอร์มีสมาชิกผูห้ ญิง 8 คน และผูช้ าย 7 คน การแข่งขัน
วันนี้ โค้ชต้องการให้สมาชิกผูห้ ญิง 6 คนและผูช้ าย 5 คนลงเล่นใน
สนาม อยากทราบว่าโค้ชสามารถจัดทีมลงแข่งได้กี่แบบ?
C(8, 6)
= 8!/(6!  2!)
= 28
 จานวนวิธีในการเลือกสมาชิกผูช
้ าย C(7, 5)
= 7!/(5!  2!)
= 21
 ดังนั้ นสามารถมีวธ
ิ ีการจัดทีม
= 28 * 21 = 588 วิธี
 จานวนวิธีในการเลือกสมาชิกผูห
้ ญิง
คุณสมบัติของ Combination
C(n + 1, r) = C(n, r – 1) + C(n, r)
 พิสูจน์ :

+ 1, r) = (n+1)! / (r!  (n+1-r)!)
 C(n, r – 1) = n! / ((r – 1)!  (n-r+1)!)
 C(n, r) = n! / (r!  (n-r)!)
 C(n, r – 1) + C(n, r)
= [n! / ((r – 1)!  (n-r+1)!)] + [n! / (r!  (n-r)!)]
= [(r  n!) + (n-r  n!)] /(r!  (n+1-r)!)
= (n  n!) /(r!  (n+1-r)!) = (n+1)! / (r!  (n+1-r)!)
 C(n
Pascal’s Triangle (1)

เลขแต่ละตัวเกิดจากการบวกเลข 2 ตัวที่อยูเ่ หนื อขึ้ นไปหนึ่ งระดับและเยื้ องไป
ด้านซ้ายและด้านขวาของเลขนั้นๆ
แถวที่ 0
1
1
1
1
1
1
… …
2
3
4
5
1
แถวที่ 1
1
3
6
แถวที่ 2
1
4
แถวที่ 3
1
แถวที่ 4
10 10 5
1 แถวที่ 5
… … … … …
Pascal’s Triangle (2)

เนื่ องจาก C(n + 1, r) = C(n, r – 1) + C(n, r) และ
C(0, 0) = 1, จึงสามารถใช้สามเหลี่ยมของปาสคาล ช่วยในการ
คานวณหา C(n, r)
r
C(0, 0) = 1
n
C(1, 0) = 1 C(1, 1) = 1
C(2, 0) = 1 C(2, 1) = 2 C(2, 2) = 1
C(3, 0) = 1 C(3, 1) = 3 C(3, 2) = 3 C(3, 3) = 1
C(4, 0) = 1 C(4, 1) = 4 C(4, 2) = 6 C(4, 3) = 4 C(4, 4) = 1
สัมประสิทธิ์ทวินาม(Binomial Coefficients)
นิ พจน์ที่อยูใ่ นรูปแบบ C(n, r) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial
coefficients)
นิ พจน์ ทวินาม (binomial expression) คือผลรวมของเทอมสอง
เทอม เช่น (a + b)
ตัวอย่าง เช่น (a + b)2 = (a + b)(a + b)
เมื่อกระจายนิ พจน์ ดงั กล่าว , เราจะต้องทาการคูณแต่ละเทอมในตัวประกอบ
แรกเข้ากับแต่ละเทอมในตัวประกอบที่สอง ดังนี้ :
(a + b)2 = a·a + a·b + b·a + b·b
เมื่อรวมเทอมที่เหมือนกัน จะได้วา
่:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

สัมประสิทธิ์ทวินาม(Binomial Coefficients)

สาหรับ (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) จะได้วา่
(a + b)3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab +
bba + bbb
 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 มี a3 เพียงเทอมเดียว เพราะมีความเป็ นไปได้เพียงทางเดียวที่จะสร้างมัน
ขึ้ นมา : เลือก a (ไม่เลือก b) จากตัวประกอบสามตัวประกอบ: C(3, 0) = 1
 มี a2b สามชุด เพราะมีความเป็ นไปได้สามทางที่จะเลือก b หนึ่ งตัวจาก
ทั้งหมดสามตัวประกอบ: C(3, 1) = 3
 ในทานองเดียวกัน, มีเทอม ab2 สามชุด
(C(3, 2) = 3) และมี b3 ชุดเดียว (C(3, 3) = 1)

สัมประสิทธิ์ทวินาม(Binomial Coefficients)

สามารถสรุปเป็ นสูตร ตาม Binomial Theorem ได้ดงั นี้
n
(a  b) n   C (n, j )  a n j b j
j 0

ด้วยสามเหลี่ยมของปาสคาล สูตรนี้ ช่วยให้สามารถกระจายยกกาลัง
ของนิ พจน์ทวินามได้ง่ายขึ้ นฃ
 ตัวอย่าง: แถวที่ 4 ในสามเหลี่ยมของปาสคาลคือ
 (1 – 4 – 6 – 4 – 1) ช่วยให้เราคานวณ (a + b)4
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
แบบฝึ กหัด (ทาส่ง)
1.
มีขอ้ สอบอยู่ 10 ข้อ ต้องการแจกให้นักศึกษา 8 คน เพื่อทาคนละ1 ข้อ จะ
มีวิธีแจกอย่างไร เพื่อให้
 นักศึกษาแต่ละคนได้ขอ้ สอบไม่ซ้ากัน
 นักศึกษาแต่ละคนทาข้อสอบข้อเดียวกันได้
2.
จากคาว่า “helloworld”
 สามารถจัดคาๆนี้ ได้เป็ นคาต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วธ
ิี
 สามารถจัดคาๆนี้ ได้เป็ นคาต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วธ
ิ ี โดยให้เริ่มต้นด้วยตัว l
และลงท้ายด้วยตัว o
 สามารถจัดคาๆนี้ ได้เป็ นคาต่างๆที่แตกต่างกันได้กี่วธ
ิ ี โดยให้มี el อยูต่ ิดกัน
ตามลาดับ , rd อยูต่ ิดกันตามลาดับ และ heo อยูต่ ิดกันตามลาดับ
แบบฝึ กหัด (ทาส่ง)
3.
4.
ถ้านักศึกษาต้องการลงทะเบียนโดยต้องเลือกเรียนวิชาเลือกแขนง 4 วิชา
และ วิชาเลือกเสรี 2 วิชา ซึ่งในภาคการศึกษานี้ มีวชิ าเลือกแขนงทั้งหมด
ที่สามารถเลือกได้ 10 วิชา และ วิชาเลือกเสรีที่สามารถเลือกได้ 8 วิชา
จงหาจานวนวิธีที่นักศึกษาสามารถเลือกลงทะเบียนวิชาต่างๆ ได้
จงกระจายนิ พจน์ (a + b)6