Transcript ครั้งที่ 11

บทที่ 7
การนับ (Counting)
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
ภาพรวมของเนื้อหา
• ทฤษฎีการนับ
– กฎการบวก
– กฎการคูณ
• หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole Principle)
• วิธเี รียงสั บเปลีย
่ น (Permutation)
• วิธจ
ี ด
ั หมู่ (Combination)
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
2
การนับ (Counting)
• จงบอกจานวนนับของรายการตอไปนี
้
่
– มีกจ
ี่ านวนจากจานวนเต็ม 5 ถึง 12
5
6
7
8
9
10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
ดังนั้น จานวนเต็ม 5 ถึง 12 มีทง้ั สิ้ น 8
จานวน
– ถา้ m เป็ นจานวนเต็ม มีทง้ั สิ้ นกีจ
่ านวนจาก m
ถึง m + 5
m
m+1 m+2 m+3 m+4 m+5
1
2
3คณะวิทยาการสารสนเทศ
4
5
6
มหาวิทยาลัยบูรพา
3
ทฤษฎีบท
• ถา้ m และ n เป็ นจานวนเต็ม และ m <= n
แลว
้
– จะมีจานวนสมาชิกระหวางเลข
2 จานวนนี้ (m ถึง
่
n) เทากั
่ บ n – m + 1 จานวน
• เช่น จงหาวาเลขจ
านวนเต็ม 3 หลักจาก
่
100 ถึง 999 มีทง้ั หมดกีจ
่ านวน
m = 100
n = 999
ดังนั้น จานวนสมาชิ
ก
=
999
–
100
+
1
=
900
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
4
ตัวอยาง
่
จงหาวาจ
่ านวนเต็ม 3 หลักจาก 100 ถึง
999 มีกจ
ี่ านวนทีห
่ ารดวย
5 ลงตัว
้
วิธท
ี า เขียนเลขจานวนเต็ม 100 – 999 ทีห
่ าร
ดวย
5 ลงตัว ไดดั
้
้ งนี้
100 105 110 ... 985 990 995
1
2
3
5 * 20
5*21 5*22
5*199
เสมือนวา่ เรากาลังหาวาเลข
20 – 199 มีก ี่
่
จานวน
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
5
ตัวอยาง
่
ถาจ
้ านวนเต็มชุดนึงมี 32 จานวน โดยคาตั
่ ว
เลขทีส
่ ูงสุดคือ 185 จงหาวาจ
่ านวนน้อยทีสุดคือ
เลขใด
วิธท
ี า จากทฤษฎีบท จานวนขอมู
้ ล =n–m+
1
แทนคา่
32 =
185 – m + 1
32 =
186 – m
m =
186 – 32
=
154
ทยาการสารสนเทศ
ดังนั้น 154 คือ คณะวิ
ตัวเลขที
น
่ ้ อยทีส
่ ุดของข้อมูลชุด 6
มหาวิทยาลัยบูรพา
กิจกรรม
จากตัวอยางในหน
่ ลว
่
้ าทีแ
้ ตัวเลขลาดับที่ 20 ของ
ขอมู
อเลขอะไร
้ ลชุดดังกลาวคื
่
วิธท
ี า เนื่องจากจานวนแรกของขอมู
้ ลคือ 154 (m)
จะหาขอมู
n
้ ลตัวที่ 20 เปรียบเหมือนหาคาของ
่
แทนคาตามทฤษฎี
บทจะได้
n – 154 + 1
่
= 20
n – 153
= 20
n
= 20 + 153
= 173
คณะวิทยาการสารสนเทศ
ทยาลัยบูรล
พา
ดังนั้น จานวนที่ 20มหาวิ
ในขอมู
ตัวเลขชุดนี้คอ
ื 1737
ทฤษฎีการนับ
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
8
ทฤษฎีการนับ
1. กฎการบวก
ทฤษฎีบท
งานอยางที
่ 1 มีวธิ ท
ี าได้ n1 วิธ ี
่
งานอยางที
่ 2 มีวธิ ท
ี าได้ n2 วิธ ี
่
...
งานอยางที
่ k มีวธิ ท
ี าได้ nk วิธ ี
่
ถาต
อกทางานเพียง 1 งานจากงาน
้ องการเลื
้
ทัง้ หมดทีม
่ ี
จานวนวิธท
ี จ
ี่ ะเลือกไดเท
ากั
บ n1 + n2 + ... +
้
่
คณะวิทยาการสารสนเทศ
nk วิธ ี
9
มหาวิทยาลัยบูรพา
ตัวอยาง
่
โจทย ์ นิสิตคณะวิทยาการสารสนเทศ มีจานวน
นิสิตใน
– สาขาวิชา CS จานวน 137 คน
– สาขาวิชา IT จานวน 140 คน
– สาขาวิชา SE จานวน 63 คน
ถาต
อกตัวแทนนิสิต 1 คนจากคณะนี้
้ องการเลื
้
จะมีวธิ เี ลือกไดกี
้ ว่ ธิ ี
วิธท
ี า จานวนวิธใี นการเลือกตัวแทนนิสิตเทากั
่ บ
137 + 140 + 63
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
10
ทฤษฎีการนับ 2
2. กฎการคูณ
ทฤษฎีบท
ถางานอย
างหนึ
่งมีวธิ เี ลือกทาได้ n1 วิธี
้
่
ในวิธท
ี เี่ ลือกทางานอยางแรก
มีวธิ เี ลือกทางานอยาง
่
่
ที่ 2 ได้ n2 วิธี
ในวิธท
ี เี่ ลือกทางานอยางแรก
และอยางที
่ 2 มีวธิ ี
่
่
เลือกทางานอยางที
่ 3 ได้ n3 วิธี
่
...
จานวนวิธท
ี ง้ั หมดที
เ่ ลือกทางาน k อยางเท
ากั
่
่ บ n1
คณะวิทยาการสารสนเทศ
11
x n x n x … n มหาวิทยาลัยบูรพา
ตัวอยาง
่
โจทย ์ ตองการสร
างสตริ
งทีม
่ ค
ี วามยาว 7 บิตโดย
้
้
แตละบิ
ตมีคาที
่
่ เ่ ป็ นไปไดคื
้ อ 0 และ 1 จงหาวาจะ
่
มีวธิ ส
ี รางสตริ
งไดกี
้
้ ว่ ธิ ี
วิธท
ี า
จานวนวิธใี นการสรางบิ
ตที่ 1 = 2
้
จานวนวิธใี นการสรางบิ
ตที่ 2 = 2
้
จานวนวิธใี นการสรางบิ
ตที่ 3 = 2
้
…
จานวนวิธใี นการสรางบิ
ตที่ 7 = 2
้
ดังนั้นจานวนวิธใี นการสรางสตริ
งนี้คอ
ื 2x2x2x
้
2x2x2x2
คณะวิทยาการสารสนเทศ
12
2ย7บูรพา
มหาวิ=
ทยาลั
กิจกรรมที่ 1
1. โรงอาหารแหงหนึ
่งมีอาหาร 4 ชนิด และ
่
เครือ
่ งดืม
่ 3 ชนิด จงหาวิธท
ี น
ี่ ิสิตจะซือ
้
อาหารพรอมเครื
อ
่ งดืม
่ อยางละชนิ
ด
้
่
2. การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มี
เส้นทาง 4 เส้น จากเมือง B ไปเมือง C มี
3 เส้นทาง และ จากเมือง A ไปเมือง C
ทัง้ หมด 2 เส้นทาง
จงหาวา่
1. มีกวี่ ธิ ท
ี จ
ี่ ะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C โดยผาน
่
เมือง B ดวย
้
2. มีกวี่ ธิ ท
ี จ
ี่ ะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
13
วิธท
ี า
• โรงอาหารแหงหนึ
่งมีอาหาร 4 ชนิด และ
่
เครือ
่ งดืม
่ 3 ชนิด จงหาวิธท
ี น
ี่ ิสิตจะซือ
้
อาหารพรอมเครื
อ
่ งดืม
่ อยางละชนิ
ด
้
่
มีวธิ ใี นการเลือกซือ
้ อาหาร 4 วิธ ี
แตละวิ
ธท
ี ซ
ี่ อ
ื้ อาหารมีวธิ ใี นการเลือกซือ
้ เครือ
่ งดืม
่
่
3 วิธ ี
ดังนั้น จานวนวิธท
ี จ
ี่ ะซือ
้ อาหารพรอมเครื
อ
่ งดืม
่
้
= 4 x 3 = 12 วิธ ี
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
14
วิธท
ี า
การเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มีเส้นทาง 4 เส้น
จากเมือง B ไปเมือง C มี 3 เส้นทาง และ จากเมือง
A ไปเมือง C ทัง้ หมด 2 เส้นทาง
จงหาวา่
– มีกวี่ ธิ ท
ี จ
ี่ ะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C โดย
ผานเมื
อง B ดวย
่
้
วิธเี ดินทางจากเมือง A ไปเมือง B มี
4 วิธ ี
แตละวิ
ธด
ี งั กลาวสามารถเดิ
นทางจาก B ไป C ไดอี
่
่
้ ก
3 วิธ ี
ดังนั้น จานวนวิธเี ดินทางจาก A ไป C = 4 x 3 = 12 วิธ ี
– มีกวี่ ธิ ท
ี จ
ี่ ะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง C
วิธเี ดินทางจากเมือคณะวิ
ง ทAยาการสารสนเทศ
ไป C โดยผานเมื
อง B มี
่
12 วิธ ี
มหาวิทยาลัยบูรพา
15
หลักรังนกพิราบ
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
16
หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole
Principle)
ทฤษฎีบท ถาต
ดนกพิราบ n ตัว ไปยัง
้ องการจั
้
รังนก m รัง โดยที่ n > m (จานวนนกมากกวา่
จานวนรังนก) อยางน
1 รังทีม
่ น
ี กอยู่ 2
่
้ อยตองมี
้
ตัว
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
17
ตัวอยาง
่
• มีคนอยู่ 6 คน จาเป็ นหรือไมที
่ ะตองมี
อยาง
่ จ
้
่
น้อย 2 คนเกิดในเดือนเดียวกัน
ตอบ ไมจ
่ าเป็ น เพราะจานวนคน (6) น้อย
กวาจ
่ านวนเดือน (12)
• ถามี
่ ะต้องมี
้ คนอยู่ 13 คน จาเป็ นหรือไมที
่ จ
อยางน
่
้ อย 2 คน เกิดในเดือนเดียวกัน
ตอบ จาเป็ น เพราะ จานวนคน (13)
มากกวาจ
่ านวนเดือน (12)
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
18
กิจกรรมที่ 2
1. จะตองมี
เด็กนักเรียนกีค
่ น จึงจะทาให้มีเด็ก
้
อยางน
ากั
่
้ อย 2 คน ทีไ่ ดคะแนนเท
้
่ น สมมุต ิ
คะแนนสอบทีเ่ ป็ นไปไดอยู
้ ในช
่
่ วง 0 – 100
คะแนน
2. จะตองมี
นิสิตทีเ่ รียนวิชานี้อยางน
่ น จึง
้
่
้ อยกีค
จะทาให้มีนิสิตอยางน
่
้ อย 6 คนทีไ่ ดเกรด
้
เดียวกัน ถาก
้ าหนดเกรดทีเ่ ป็ นไปไดคื
้ อ A,
B, C, D และ F
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
19
วิธท
ี า
จะตองมี
เด็กนักเรียนกีค
่ น จึงจะทาให้มีเด็กอยาง
้
่
น้อย 2 คน ทีไ่ ดคะแนนเท
ากั
ิ ะแนน
้
่ น สมมุตค
สอบทีเ่ ป็ นไปไดอยู
้ ในช
่
่ วง 0 – 100 คะแนน
คาของคะแนนที
เ่ ป็ นไปไดมี
่
้ 101 คา่
ดังนั้น จานวนเด็กทีจ
่ ะไดคะแนนซ
า้ กันสองคน
้
คือ 102 คน
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
20
วิธท
ี า
จะตองมี
นิสิตทีเ่ รียนวิชานี้อยางน
่ น จึงจะ
้
่
้ อยกีค
ทาให้มีนิสิตอยางน
ยวกัน
่
้ อย 6 คนทีไ่ ดเกรดเดี
้
ถาก
้ าหนดเกรดทีเ่ ป็ นไปไดคื
้ อ A, B, C, D และ
F
จานวนเกรดทีเ่ ป็ นไปไดมี
้ 5 คา่
กรณีทท
ี่ ก
ุ เกรดมีเด็กไดเกรดนั
้น 5 คน = 5
้
x 5 = 25
ดังนั้น จะตองมี
เด็ก 26 คน
้
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
21
บทขยายของหลักรังนกพิราบ
• ถามี
้ ของอยู่ n สิ่ ง จะใส่ลงไปใน m กลอง
่
โดยทีจ
่ านวนสิ่ งของมีมากกวาจ
จะ
่ านวนกลอง
่
ไดว
บ
่ รรจุของอยูอย
้ ามี
่ บางกลองที
่
่ างน
่
้อย
n/m
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
22
ตัวอยาง
่
• ให้พิจารณาตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวแรกที่
นาหน้าชือ
่ ของคน 86 คน มีบางตัวอักษร
หรือไมที
่ ก
ู ใช้ซา้ กันอยางน
่ ถ
่
้ อย 4 คน
วิธท
ี า ตัวอักษรภาษาอังกฤษมีทง้ั หมด
26
ตัว
จานวนคนทีพ
่ จ
ิ ารณามี
86 คน
จานวนคน มากกวา่ จานวนตัวอักษร ดังนั้น
จะมีตวั อักษรบางตัวทีถ
่ ก
ู ใช้อยางน
่
้ อย
86/26
=
3.31
คณะวิทยาการสารสนเทศ
23
มหาวิทยาลัยบูรพา
กิจกรรมที่ 3
1. ในลิน
้ ชักใบหนึ่งบรรจุถงุ เทาสี
้ ดา 10 ข้าง
และ สี ขาว 10 ขาง
ให้นาย ก. หลับตา
้
เพือ
่ สุ่มหยิบถุงเทาออกมา
จงหาจานวนถุงเทา้
้
ทีน
่ ้ อยทีส
่ ุดทีห
่ ยิบออกมาแลวได
ถุ
ที
่ ี
้
้ งเทาครบคู
้
่ ม
สี เดียวกัน
2. ให้ A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
– ถาเลื
้ อกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จาเป็ น
หรือไมว่ าจะต
องมี
อยางน
่ ผ
ี ลรวมเป็ น
่
้
่
้ อย 1 คูที
่ ม
9
– ถาเลื
4 ตัวจากเซต A จาเป็ น
คณะวิทยาการสารสนเทศ
้ อกตัวเลขออกมา
มหาวิทยาลัยบูรพา
24
วิธท
ี า
ในลิน
้ ชักใบหนึ่งบรรจุถงุ เทาสี
และ
้ ดา 10 ขาง
้
สี ขาว 10 ขาง
ให้นาย ก. หลับตาเพือ
่ สุ่ม
้
หยิบถุงเทาออกมา
จงหาจานวนถุงเทาที
่ ้ อย
้
้ น
ทีส
่ ุดทีห
่ ยิบออกมาแลวได
ถุ
ที
่ ส
ี ี เดียวกัน
้
้ งเทาครบคู
้
่ ม
ตอบ 3 ครัง้
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
25
วิธท
ี า
ให้ A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
– ถาเลื
้ อกตัวเลขออกมา 5 ตัวจากเซต A จาเป็ น
หรือไมว่ าจะต
องมี
อยางน
่ ผ
ี ลรวมเป็ น
่
้
่
้ อย 1 คูที
่ ม
9
ตอบ จาเป็ น เพราะจากชุดตัวเลขทีใ่ ห้มา สามารถ
จับคูตั
่ วเลขทีร่ วมกันได้ 9 ดังนี้
1 + 8 , 2 + 7, 3 + 6, 4 + 5 ได้ 4 คูพอดี
ดังนั้น
่
ตัวเลขที่ 5 จะตรงกับคูใดคู
หนึ
่
่ ่ง
– ถาเลื
้ อกตัวเลขออกมา 4 ตัวจากเซต A จาเป็ น
หรือไมว่ าจะต
องมี
อยางน
อย 1 คูที
ม
่ ผ
ี ลรวมเป็ น
่
้ คณะวิ
่
้
่
ทยาการสารสนเทศ
26
9
มหาวิทยาลัยบูรพา
วิธเี รียงสั บเปลีย
่ น
(PERMUTATION)
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
27
วิธเี รียงสั บเปลีย
่ น (Permutation)
คือ การจัดลาดับหรือเรียงลาดับของบางสิ่ งหรือทุก
สิ่ งจากจานวนสิ่ งของทัง้ หมด โดยคานึงถึงลาดับ
ดวย
้
ทฤษฎีบท1 จานวนวิธจ
ี ด
ั ลาดับของ n สิ่ งทีแ
่ ตกตาง
่
กัน โดยจัดครัง้ ละ n คือ n!
โดยที่ n! คือ ผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกตัง้ แต่
n ถึง 1
นั้นคือ n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 1
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
28
ตัวอยาง
่
• มีตวั อักษร 3 ตัว คือ a, b, c ตองการน
า
้
ตัวอักษร 3 ตัวนี้มาเรียงตอกั
่ นเป็ นขอความ
้
จะทาไดกี
้ ว่ ธิ ี
วิธท
ี า ตัวอักษร 3 ตัวจะมีวธิ เี รียงได้ 3! วิธ ี
นั้นคือ มีจานวนเทากั
3x2x1
่ บ
=
6 วิธ ี
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
29
กิจกรรมที่ 4
• จากตัวอักษรคาวา่ COMPUTER
– สามารถนามาจัดเรียงใหมได
่ บบ
่ กี
้ แ
– ถาก
ติ
้ าหนดวาตั
่ วอักษร CO ตองอยู
้
่ ดกันเสมอ จะ
จัดเรียงไดกี
่ บบ
้ แ
– จงหาจานวนวิธจ
ี ด
ั เรียงทีต
่ วั อักษร CO ไมอยู
่ ่
ติดกันเสมอ
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
30
วิธท
ี า
• จากตัวอักษรคาวา่ COMPUTER
– สามารถนามาจัดเรียงใหมได
่ บบ
่ กี
้ แ
ตอบ 8!
– ถาก
ติ
้ าหนดวาตั
่ วอักษร CO ตองอยู
้
่ ดกันเสมอ จะ
จัดเรียงไดกี
่ บบ
้ แ
ตอบ 7!
– จงหาจานวนวิธจ
ี ด
ั เรียงทีต
่ วั อักษร CO ไมอยู
่ ่
ติดกันเสมอ
จานวนวิธก
ี ารจัดเรียงทัง้ หมด = 8!
จานวนวิธท
ี เี่ รียงโดย CO ติดกัน = 7!
คณะวิ
ดังนั้น จานวนวิ
ธทท
ี ยาการสารสนเทศ
ี่ CO ไมอยู
่ ติ
่ ดกัน = 8! – 7!31
มหาวิทยาลัยบูรพา
วิธเี รียงสั บเปลีย
่ น (Permutation)
2
ทฤษฎีบท 2 จานวนวิธจ
ี ด
ั เรียงของ n สิ่ งที่
n!
แตกตางกั
น โดยน(nามาจั
ดครัง้ ละ r สิ่ ง เมือ
่ r
่
 r )!
< n จะมีวธิ จ
ี ด
ั ได้
แทนดวยสั
ญลักษณ ์
้
nP หรือ P(n,r)
r
n!
(n  n)!
ข้อสั งเกต เราสามารถใช
้สูตรนี้ในการจัดของ
n!
ครัง้ ละ n สิ่ งไดเช
0! ยวกัน
้ ่ นเดี
นั้นคือ P(n,n) =
=คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
32
ตัวอยาง
่
• มีตวั อักษร 4 ตัวคือ a,b,c,d นามาจัดคราวละ
2 ตัว ไดทั
้ ง้ หมดกีว่ ธิ ี
วิธท
ี า มีของ 4!4 อยาง
นามาจัดคราวละ 2
่
(4  2)!
อยาง
จะได้4! P(4,2)
่
P(4,2) 4 x32x!2=
x1
= 2 x1
=
=4x3
= 12 คณะวิทยาการสารสนเทศ
33
มหาวิทยาลัยบูรพา
กิจกรรมที่ 5
1. จากคาวา่ BYTES
– จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคา
นี้
– จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคานี้
โดยกาหนดวาต
น
้ ตนด
B
่ องขึ
้
้ วย
้
2. มีขอสอบ
10 ขอต
้
้ องการแจกให
้
้นิสิต 8
คน คนละ 1 ขอ
อ
่ ให้
้ จะแจกอยางไรเพื
่
– นิสิตแตละคนได
ข
ซ
่
้ อสอบไม
้
่ า้ กัน
– นิสิตแตละคนท
าขอสอบข
อเดี
่
้
้ ยวกันได้
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
34
วิธท
ี า
จากคาวา่ BYTES
– จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคา
นี้
ตอบ P(5,3) = 5! / 2!
– จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดเรียงตัวอักษร 3 ตัวจากคานี้
โดยกาหนดวาต
น
้ ตนด
B
่ องขึ
้
้ วย
้
ตอบ P(4,2) = 4! / 2!
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
35
วิธท
ี า
มีขอสอบ
10 ขอต
้
้ องการแจกให
้
้นิสิต 8 คน
คนละ 1 ขอ
อ
่ ให้
้ จะแจกอยางไรเพื
่
– นิสิตแตละคนได
ข
ซ
่
้ อสอบไม
้
่ า้ กัน
ตอบ P(10,8) = 10! / 2!
– นิสิตแตละคนท
าขอสอบข
อเดี
่
้
้ ยวกันได้
ตอบ 108
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
36
วิธเี รียงสั บเปลีย
่ น (Permutation)
3
ทฤษฎีบท 3 จานวนวิธใี นการจัดลาดับของครัง้ ละ
r สิ่ ง จากของทัง้ หมด n สิ่ ง โดยอนุ ญาติให้ซา้ กัน
ได้ จะมีวธิ จ
ี ด
ั เรียงทัง้ หมด nr
ตัวอยาง
มีขอสอบ
10 ขอต
่
้
้ องการแจกให
้
้นิสิต 8 คน
คนละ 1 ขอ
ถานิ
าขอสอบ
้ จะแจกอยางไร
่
้ สิตแตละคนท
่
้
ขอเดี
้ ยวกันได้
วิธท
ี า
ขอสอบมี
10 ขอ
้
้ แจกให้เด็ก 8 คน
ดังนั้น
8
จะมีวธิ ใี นการแจกข
อสอบ
=
10
คณะวิทยาการสารสนเทศ
้
มหาวิทยาลัยบูรพา
37
วิธเี รียงสั บเปลีย
่ นเป็ นวงกลม
ทฤษฎีบท จานวนวิธใี นการจัดของ n สิ่ งที่
แตกตางกั
น เป็ นวงกลม คือ (n-1)!
่
ตัวอยาง
จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดคน 4 คนนั่ง
่
รอบโต๊ะกลม
วิธท
ี า จานวนวิธท
ี จ
ี่ ด
ั ของเป็ นวงกลมคือ (n-1)!
ในทีน
่ ี้มเี ด็ก 4 คน ดังนั้น จะไดจ
้ านวนวิธ ี
= (4-1)!
= 3!
คณะวิทยาการสารสนเทศ = 3 x 2 x 1
38
มหาวิทยาลัยบูรพา
กิจกรรมที่ 6
1. จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดหญิง 4 คน และ
ชาย 4 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม
2. จากขอ
ี ช
ี่ ายและหญิงจะนั่งสลับทีก
่ น
ั
้ 1 มีกวี่ ธิ ท
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
39
วิธท
ี า
1. จงหาจานวนวิธท
ี จ
ี่ ะจัดหญิง 4 คน และ
ชาย 4 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม
ตอบ
7!
2. จากขอ
ิ ท
ี ช
ี่ ายและหญิงจะนั่งสลับที่
้ 1 มีกวี่ ธ
กัน
ตอบ 3! 4!
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
40
วิธเี รียงสั บเปลีย
่ นของ
n สิ่ งทีไ่ ม่
แตกตางกั
นทัง้ หมด
่
ทฤษฎีบท การจัดลาดับของ n สิ่ ง ซึง่ มี
n1 สิ่ งทีเ่ หมือนกัน
n2 สิ่ งทีเ่ หมือนกัน
...
nk สิ่ งทีเ่ หมือนกัน
n!
จะไดจ
ี ด
ั nเท!nากั
้ านวนวิธจ
่ !nบ!...n !
1
2
3
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
k
41
ตัวอยาง
่
การจัดลาดับตัวอักษร 3 ตัว x , y , z โดยจัดทีละ 3
ตัวจะไดจ
้ านวน 6 วิธ ี คือ
xyz
yxz
zxy
xzy
yzx
zyx
ถาในกลุ
มของสิ
่ งเหลานี
้
่
่ ้ มีบางสิ่ งเหมือนกันเช่น y และ
z เหมือนกัน การจัดรูปแบบจะเหลือแค่ 3 แบบ (แทน
y และ z ดวย
w)
้
xww
wxw
wxw
xww
wwx
wwx
สาเหตุเพราะ การสลั
บทีข
่ องของทีซ
่ า้ กัน ไมถื
่ อเป็ นวิธ ี
คณะวิทยาการสารสนเทศ
42
มหาวิทยาลัยบูรพา
ใหม่
กิจกรรมที่ 7
• จากคาวา่ INTELLIGENCE
– สามารถจัดคาๆนี้ไดเป็
างๆ
ไดกี
ิ ี
้ นขอความต
้
่
้ ว่ ธ
– สามารถจัดคาๆนี้ไดเป็
างๆ
ไดกี
ิ ี ถา้
้ นขอความต
้
่
้ ว่ ธ
คาเหลานั
ม
่ ตนด
ว T และลงทายด
วยตั
ว
่ ้นตองเริ
้
้ วยตั
้
้
้
G
– สามารถจัดคาๆนี้ไดเป็
างๆ
ไดกี
ิ ี ถา้
้ นขอความต
้
่
้ ว่ ธ
กาหนดวา่ INT ตองอยู
ติ
้
่ ดกัน และ IG ตองอยู
้
่
ติดกัน
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
43
วิธท
ี า
• จากคาวา่ INTELLIGENCE
– สามารถจัดคาๆนี้ไดเป็
างๆ
ไดกี
ิ ี
้ นขอความต
้
่
้ ว่ ธ
ตอบ 12! / 2! 2! 3! 2!
– สามารถจัดคาๆนี้ไดเป็
างๆ
ไดกี
ิ ี ถา้
้ นขอความต
้
่
้ ว่ ธ
คาเหลานั
ม
่ ตนด
ว T และลงทายด
วยตั
ว
่ ้นตองเริ
้
้ วยตั
้
้
้
G
ตอบ 10! / 2! 2! 3! 2!
– สามารถจัดคาๆนี้ไดเป็
างๆ
ไดกี
ิ ี ถา้
้ นขอความต
้
่
้ ว่ ธ
กาหนดวา่ INT ตองอยู
ติ
้
่ ดกัน และ IG ตองอยู
้
่
ติดกัน
คณะวิทยาการสารสนเทศ
44
มหาวิ
ท
ยาลั
ย
บู
ร
พา
ตอบ 9! / 3! 2!
วิธจ
ี ด
ั หมู่ (COMBINATION)
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
45
วิธจ
ี ด
ั หมู่ (Combination)
คือ การจัดกลุมสิ
่ ่ งของในเซต หรือการหาสั บ
เซตใดๆของเซตทีก
่ าหนด โดยไมค
่ านึงถึงลาดับ
ภายในสั บเซตนั้น
ตัวอยาง
มีตวั อักษร 3 ตัว คือ a,b,c ตองการ
่
้
จัดกลุมตั
2 ตัวไดกี
่ วอักษร กลุมละ
่
้ ว่ ธิ ี
วิธท
ี า จัดได้ 3 วิธค
ี อ
ื {a,b} , {a,c} , {b,c}
ข้อสั งเกต เมือ
่ ไมค
่ านึงถึงลาดับ {a,b} กับ
{b,a} ถือเป็ นกลุมเดี
ยวกั
น
่ คณะวิ
ทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
46
วิธจ
ี ด
ั หมู่ (Combination)
ทฤษฎีบท จานวนวิธจ
ี ด
ั หมูของของ
n สิ่ งที่
่
n!
แตกตางกั
่r!(n  rน)! โดยนามาจัดทีละ r สิ่ ง คือ
nC หรือ C(n,r)
แทนดวยสั
ญ
ลั
ก
ษณ
้
์
r
บทขยาย จานวนวิธจ
ี ด
ั หมูของ
n สิ่ งทีต
่ างกั
น
่
่
n!
โดยจัดทีละ n-r สิ่ ง rก็
!(nจะเท
r )! ากั
่ บการจัดทีละ r
สิ่ ง
นั้นคือ
C(n, n-r) = C(n,r) =
เช่น C(9 , 5) = C(9
, 4)
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
47
ตัวอยาง
่
• มีกวี่ ธิ ท
ี จ
ี่ ะเลือกกรรมการ 3 คน จากสามี
ภรรยา 4 คู่
– ถาทุ
กัน
้ กคนมีโอกาสไดรั
้ บเลือกเทาๆ
่
C(8,3) = 8! / 3!5! = 8 x 7 = 56
– ถากรรมการต
องประกอบด
วย
หญิง 2 คน ชาย
้
้
้
1 คน
กรรมการหญิง 2 คน
C(4,2) = 4! / 2!2! = 6
กรรมการชาย 1 คน
C(4,1) = 4! / 3! = 4
ดังนั้น มีวธิ เี ลือกไดทั
้ ง้ หมด 6 . 4 = 24
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
48
วิธจ
ี ด
ั หมู่ (Combination) 2
ตัวอยาง
มีตวั อักษร a และ b จงหาจานวนวิธจ
ี ด
ั
่
หมูให
ม
่ ี 3 ตัวอักษร โดย
่ ้เกิดเป็ นขอความที
้
อนุ ญาติให้ใช้ตัวอักษรซา้ กันได้ ถาใช
้
้การนับปกติ
จะได้ 4 แบบ
a a a(a หมด)
b b b(b หมด)
a a b(a 2 b 1)
b b a (a 1 b 2)
หากจานวนสิ่ งของมากกวานี
่ ้ การนับเองอาจ
ยุงยาก
จึงมีการสรางสู
ตรขึน
้ มาโดยใช้การพิจารณา
่
้
จาก จานวนประเภทของสิ่ งของ และ จานวน
สิ่ งของทีต
่ องการจั
ดหมู่
้
คณะวิทยาการสารสนเทศ
มหาวิทยาลัยบูรพา
49
ทฤษฎีบท 2 การจัดหมูของสิ่ งของ r สิ่ ง โดยเลือก
ตัวอยางที
่ 1
่
จากกลุมตั
ี ด
ั หมูให
่ วอักษร a, b ,c จงหาจานวนวิธจ
่ ้
ไดตั
้ วอักษร 2 ตัว โดยสามารถใช้ตัวอักษรซา้ ได้
วิธท
ี า แทนคาตามสู
ตรในทฤษฎีบทที่ 2 นั่นคือ
่
C(r+n-1 , r)
โดยที่ r หรือ จานวนสิ่ งของทีต
่ องการจั
ดหมูคื
้
่ อ
2
n หรือ จานวนประเภทของสิ่ งของคือ
3
ดังนั้น แทนคาจะได
เป็
่
้ น C(2+3-1,2) =
C(4,2)
= 4!/2!2!
คณะวิทยาการสารสนเทศ
=2x3
50
มหาวิทยาลัยบูรพา
ตัวอยาง
2
่
ในห้องสมุดแหงหนึ
่ง มีหนังสื อทีน
่ าย ก. สนใจอยู่ 3
่
ประเภท คือ คอมพิวเตอร ์ ฟิ สิกส์ และ
ประวัตศ
ิ าสตร ์ ถานาย
ก. อยากยืมหนังสื อเหลานี
้
่ ้
ทัง้ หมด 6 เลมจะท
าไดกี
่
้ ว่ ธิ ี
วิธท
ี า นาย ก. ตองการหนั
งสื อ 6 เลม
้
่ (r)
จากหนังสื อทัง้ หมด 3 ประเภท
(n)
จากทฤษฎีบท 2 นาย ก. จะมีวธิ เี ลือกหนังสื อได้
C(3+6-1,6)
=
C(8,6)
=
8!/6!2!
คณะวิทยาการสารสนเทศ
=
8 x 7 x 6!51/
มหาวิทยาลัยบูรพา
สรุปสูตร
ประเภท
วิธเี รียง
สั บเปลีย
่ น
วิธเี รียง
สั บเปลีย
่ น
วิธจ
ี ด
ั หมู่
ยอมให้ซา้
สูตร
กันได้ ?
ไมได
P(n,r) = n!/(n-r)!
่ ้
ได้
ไมได
่ ้
nr
C(n,r) = n!/r!(nคณะวิทยาการสารสนเทศ
52
r)!
มหาวิทยาลัยบูรพา