Transcript ppt

การเรียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลม
ค32214 คณิตศาสตร์สาหรับ
คอมพิวเตอร์ 4
วิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลม
เป็ นการเรียงสับเปลี่ยนเป็ นวงกลมจะต่างจากวิธี
เรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้ น ทั้งนี้เพราะวิธเี รียง
สับเปลี่ยนเชิงวงกลมไม่มีหัวแถวหรือท้ ายแถว เช่น
สมมติว่าจัดอักษร 3 ตัวคือ A,B และ C เรียง
เป็ นเชิงเส้ นจะจัดได้ ท้งั หมด 3! = 6 วิธคี ือ
ABC BAC
CAB
ACB BAC
CBA
วิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลม (ต่อ)
แต่จัดอักษร 3 ตัวเรียงเป็ นวงกลมจะมีวิธจี ัดเพียง
2 วิธเี ท่านั้น ดังรูป
A
A
B
C
C
B
วิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลม (ต่อ)
จะเห็นว่าการจัดเรียง ABC, BCA และ CAB
ถือว่าเป็ นวิธเี ดียวกัน และการจัดเรียง ACB,
BAC และ CBA ก็ถอื เป็ นวิธเี ดียวกัน ดังนั้นถ้ า
กาหนดให้ A อยู่คงที่เหลืออักษรอีก 2 ตัวคือ B
กับ C ที่ต้องเรียงสับเปลี่ยนซึ่งมีวิธจี ัดได้ 2! หรือ
(3-1)! วิธี อาศัยแนวคิดนี้สามารถสรุปได้ ดังนี้
กฎวิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลม
ถ้ ามีของ n สิ่งแตกต่างกันทั้งหมดเมื่อนามา
จัดเรียงเป็ นวงกลมกาหนดให้ ส่งิ ของสิ่งหนึ่งอยู่คงที่
แล้ วจัดของที่เหลือ (n-1) สิ่ง เรียงสับเปลี่ยนจะได้
จานวนวิธเี ท่ากับ (n-1)! วิธี
ตัวอย่าง
มีผ้ ูชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนโดยที่มีชายและหญิงคู่
หนึ่งเป็ นสามีภรรยากัน จงหาจานวนวิธจี ัดคนทั้ง 6 คน
นั่งรอบโต๊ะเมื่อ
๑. สามีภรรยานั่งติดกันเสมอ
สามีภรรยานั่งติดกันเหลือคนอีก 4 คน ถูกจัดได้ 4! วิธี
ขณะเดียวกันสามีภรรยานั่งสลับกันได้ อกี 2!=2 วิธี
ดังนั้น จานวนวิธท
ี ้งั หมด 24  2 = 48 วิธี
ตัวอย่าง
มีผ้ ูชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนโดยที่มีชายและหญิงคู่
หนึ่งเป็ นสามีภรรยากัน จงหาจานวนวิธจี ัดคนทั้ง 6 คน
นั่งรอบโต๊ะเมื่อ
๒. สามีภรรยา อยู่ตรงข้ ามกัน
สามีภรรยานั่งอยู่ตรงข้ ามกันได้ 1 วิธี
เหลืออีก 4 คนจัดได้ 4! = 24 วิธี
ดังนั้น จานวนวิธท
ี ้งั หมด 1  24 = 24 วิธี
ตัวอย่าง
มีผ้ ูชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนโดยที่มีชายและหญิงคู่
หนึ่งเป็ นสามีภรรยากัน จงหาจานวนวิธจี ัดคนทั้ง 6 คน
นั่งรอบโต๊ะเมื่อ
๓. ผู้ชาย 3 คนนั่งไม่ติดกัน
จัดผู้หญิง 3 คนนั่งรอบโต๊ะได้ 2! = 2 วิธี
จัดผู้ชายนั่งแทรกระหว่างผู้หญิงได้ 3! = 6 วิธี
ดังนั้น จานวนวิธท
ี ้งั หมด 2  6 = 12 วิธี
วิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลมแบบพลิกได้
สังเกตได้ ว่าการจัดคนนั่งรอบโต๊ะ หรือการจัด
ตัวอักษรเป็ นวงกลมเป็ นการเรียงสับเปลี่ยนที่มอง
ได้ ด้านเดียว
แต่กม็ ีการจัดเรียงสับเปลี่ยนเป็ นวงกลมที่สามารถ
มองอีกด้ านหนึ่งได้ เช่น การร้ อยพวงมาลัย การ
ร้ อยลูกปัด เป็ นต้ น
วิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลมแบบพลิกได้
พิจารณาการเรียง ABC เป็ นวงกลม จะเห็นว่าเมื่อ
พลิก ABC จะตรงกับ ACB
A
A
B
C
C
B
กฎวิธเี รียงสับเปลีย่ นเชิงวงกลมแบบพลิกได้
ถ้ ามีของ n สิ่งแตกต่างกันทั้งหมดเมื่อนามา
จัดเรียงเป็ นวงกลมในลักษณะมีการพลิกกลับอีก
ด้ านหนึ่งได้
จะได้ จานวนวิธเี รียงสับเปลี่ยนเท่ากับ (n-1)!/2
วิธี
ตัวอย่าง
นากุหลาบ ดอกดาวเรือง และดอกไม้ อ่น
ื ๆ อีก 6 ชนิดมา
ร้ อยเป็ นพวงมาลัย โดยที่ดอกดาวเรืองและดอกกุหลาบ
อยู่ตรงข้ ามกันเสมอ จะได้ พวงมาลัยที่แตกต่างกัน
ทั้งหมดกี่แบบ
จานวนวิธจี ัดดอกกุหลาบและดอกดาวเรืองตรงข้ ามกันมี
1 วิธี ดอกไม้ อ่นื ๆจัดเรียงได้ 6! วิธี
ดังนั้นวิธกี ารเรียงสับเปลี่ยนเป็ นวงกลมแบบพลิกได้
เท่ากับ (n-1)!/2 = 6!/2 = 720/2 = 360 วิธี