Transcript ครั้งที่ 12

887110
Introduction to discrete
structure
้ ง
บทที่ 7 เทคนิ คการนับขันสู
1
้
ภาพรวมของเนื อหา
่
• หลักการการเพิมเข้
า – ตัดออก (InclusionExclusion principle)
• ฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด (Generating function)
2
่
หลักการการเพิมเข้
า – ตัดออก
(INCLUSION-EXCLUSION
PRINCIPLE)
3
่
หลักการการเพิมเข้
า – ต ัดออก
(Inclusion-Exclusion principle)
้
• สมมุตวิ า่ งานเลียงแห่
งหนึ่ง เจ้าภาพอยากทราบว่า
่ นผู ห
มีแขกทีเป็
้ ญิง หรือ ชาวต่างชาติกคน
ี่
่ นผูห้ ญิง
• ถ ้าเราหาคาตอบโดยการนับจานวนแขกทีเป็
่ นชาวต่างชาติและนามารวมกัน
และ จานวนแขกทีเป็
่ กต้อง เพราะ ผูห้ ญิงบาง
เลย นั่นไม่ใช่คาตอบทีถู
่
คนอาจเป็ นชาวต่างชาติด ้วย ทาให ้จานวนทีเรานั
บได ้
เกินความเป็ นจริง
่ นชาวต่างชาติ
• ดังนั้น เราจะต ้องนาจานวนผูห้ ญิงทีเป็
่
มาลบจากผลรวมดังกล่าวก่อน จึงเป็ นคาตอบทีเรา
่
่
ต ้องการ นี่คือทีมาของหลั
กการเพิมเข้
าตัดออก
4
่
หลักการการเพิมเข้
า – ต ัดออก
(Inclusion-Exclusion principle)
้
่
• จานวนเต็มตังแต่
1 ถึง 20 ทีหารด
้วย 2 หรือ 3 ลง
ตัวมีกจี่ านวน
้
• การแก ้ปัญหานี เราอาจคิ
ดแยกเป็ น 2 กรณี คือ
่
– ตัวเลขทีหารด
้วย 2 ลงตัว มี 10 จานวน
(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20)
่
– ตัวเลขทีหารด
้วย 3 ลงตัว มี 6 จานวน (3,6,9,12,15,18)
• สังเกตเห็นว่ามี 3 จานวน คือ 6, 12 และ 18 ถูกนับ
ในทัง้ 2 กรณี
่ กรณีวเยข ้าด
• านวนต
ดังนั้นถ ้าเราจะนั
ง้ หารด้
2
้วยกัอน3เราต
จ
ัวเลข 1บ–รวมทั
20 ที
2 หรื
ลงตั้องว
้
5
นับ 6, 12 และ=18
ว หรือ หักทังสาม
10เพี+ยงกรณี
6 – 3เดี
=ย13
่
หลักการการเพิมเข้
า – ต ัดออก
(Inclusion-Exclusion principle)
• จากปัญหาดังกล่าว สามารถแสดงเป็ นแผนภาพ
เวนน์ได ้ดังนี ้ โดย
่
– A เป็ นเซตของจานวนทีหารด
้วย 2 ลงตัว
่
– B เป็ นเซตของจานวนทีหารด
้วย 3 ลงตัว
A
B
1, 5, 7, 2, 4, 8,6, 12,3, 9,
11, 13, 10, 14,18 15
17, 19 16, 20
U
• จากแผนภาพจะได ้ว่า |AB| = |A| + |B| - |AB| 6
ตัวอย่าง
้ั ยนวิชาแคลคูลสั นิ สต
• ในชนเรี
ิ ทุกคนอยู่สาขาวิชา
คอมพิวเตอร ์ หรือ สาขาวิชาคณิ ตศาสตร ์ หรือ ทัง้
สองสาขาวิชา
่ ส
– ถ ้าจานวนนิ สต
ิ ทีอยู
่ าขาวิชาคอมพิวเตอร ์มี 25 คน
่ ส
– จานวนนิ สต
ิ ทีอยู
่ าขาวิชาคณิ ตศาสตร ์มี 13
่ ยนอยูท
– จานวนนิ สต
ิ ทีเรี
่ ง้ั 2 สาขาวิชามี 8 คน
้ั ยนนี มี
้ กคน
• จงหาว่าจานวนนิ สต
ิ ในชนเรี
ี่
7
วิธท
ี า
่ ยนสาขา
กาหนดให ้ A แทนเซตของนิ สต
ิ ทีเรี
คอมพิวเตอร ์
่ ยนสาขาคณิ ตศาสตร ์
B แทนเซตของนิ สต
ิ ทีเรี
แทนค่าในสูตร |AB| = |A| + |B| - |AB|
จะได ้ |AB| = 25 + 13 – 8
= 30
้ั ยนวิชาแคลคูลสั มีนิสต
้
ดังนั้น ในชนเรี
ิ ทังหมด
30 คน
8
กิจกรรมที่ 1
้ั
• สมมุตวิ า่ นิ สต
ิ ปี 1 มีทงหมด
1807 คน ในจานวนนี ้
453 คนลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาไทย 567 คน
ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิ ตศาสตร ์ และ 299 คน
่
่
ลงทะเบียนเรียนทัง้ 2 วิชา จงหาว่า มีนิสต
ิ กีคนที
ไม่ได ้ลงทะเบียนเรียนทัง้ 2 วิชานี ้
9
่
หลักการการเพิมเข้
า – ต ัดออก
(Inclusion-Exclusion principle)
• สาหร ับกรณี จานวนสมาชิกของการยู เนี ยน
ของเซต 3 เซต จะเท่ากับ
|ABC) = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| |BC| + |ABC|
10
ตัวอย่าง
• จากข ้อมูลต่อไปนี ้
– 1232 คน เรียนวิชาภาษาสเปน
่ั
– 879 คน เรียนภาษาฝรงเศส
– 114 คน เรียนภาษาร ัสเซีย
้
่ั
– 103 คน เรียนทังภาษาสเปนและภาษาฝร
งเศส
้
– 23 คน เรียนทังภาษาสเปนและภาษาร
ัสเซีย
้
่ั
– 14 คน เรียนทังภาษาฝร
งเศษและร
ัสเซีย
• ถ ้านักเรียน 2092 คนเรียนอย่างน้อย 1 ภาษา จะมี
่
่ ยน ทัง้ 3 ภาษา
นักเรียนกีคนที
เรี
11
วิธท
ี า
่ ยนภาษาสเปน
กาหนดให ้ S แทนเซตของนักเรียนทีเรี
่ ยนภาษาฝรงเศส
่ั
F แทนเซตของนักเรียนทีเรี
่ ยนภาษาร ัสเซีย
R แทนเซตของนักเรียนทีเรี
จากโจทย ์ ได ้ข ้อมูลมาดังนี ้
|S| = 1232
,
|F| = 879 ,
|R| = 114
|SF| = 103 , |SR| = 23 , |FR| = 14 , |S F
R| = 2092
่
เมือแทนค่
าในสูตร ได ้ดังนี ้
2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 – 14 +
12
|SFR|
่
การประยุกต ์ใช้งานหลักการเพิม
เข้าตัดออก
• สามารถนามาประยุกต ์ใช ้งานได ้หลากหลายประเภท
่ ข ้อจากัดของตัว
– การนับจานวนคาตอบของสมการซึงมี
แปร
่ ง(onto function) จากเซต
– การนับจานวนฟังก ์ชันทัวถึ
หนึ่ งไปยังอีกเซตหนึ่ ง
่ คา่ น้อยกว่าค่าทีก
่ าหนดให ้
– การนับจานวนเฉพาะซึงมี
– การเรียงย ้ายตาแหน่ ง (derangement)
13
ตัวอย่าง
จงหาจานวนคาตอบของสมการ x1 + x2 + x3 =
10 โดยที่ x1, x2 และ x3 เป็ นเลขจานวนเต็ม และ
0x13 , 0x24 และ 0x36
้ นสมการทีมี
่ ข ้อจากัดของค่าตัวแปร เราจะ
วิธท
ี า สมการนี เป็
่ าหนดเซตของคาตอบทีฝ่่ าฝื นข ้อจากัดแต่ละข ้อทีก
่ าหนด
เริมก
่
จากนั้นใช ้หลักการเพิมเข
้าตัดออก
14
ตัวอย่าง
กาหนดให้ A1, A2 และ A3 แทนเซตคาตอบซึง่ x1  4, x2  5, x3  7
ตามลาด ับ จะได้
N = จานวนคาตอบกรณี ท ี่ xi  0, i = 1,2,3 = C(3+101,10) = 66
N(A1) = จานวนคาตอบที่ x1  4 = C(3+6-1,6) = 28
N(A2) = จานวนคาตอบที่ x2  5 = C(3+5-1,5) = 21
N(A3) = จานวนคาตอบที่ x3  7 = C(3+3-1,3) = 10
N(A1A2) = จานวนคาตอบที่ x1  4 และ x2  5 = C(3+11,1) = 3
N(A1A3) = จานวนคาตอบที่ x1  4 และ x3  7 = 0
N(A2A3) = จานวนคาตอบที่ x2  5 และ x3  7 = 0
N(A1A2A3) = จานวนคาตอบที่ x1  4, x2  5 และ x3  7 =
0
้ N(A1A2A3) = N – N(A1) – N(A2) – N(A3) + N(A1A2) +
ดังนัน
15
N(A1A3) + N(A2A3) - N(A1A2A3)
กิจกรรมที่ 2
้
่ ัวทีมี
่ คา
• จงหาว่ามีจานวนเฉพาะทังหมดกี
่ ไม่
ต
เกิน 40
16
ฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด (GENERATING
FUNCTION)
17
ฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด (Generating
function)
• กาหนดให้ gn แทนลาดับของตัวเลข {g0, g1, g2, … }
• ถ้าต้องการบรรยายลาดบ
ั ของตัวเลข gn =
{0,1,3,6,10,…} ทาได้หลายวิธ ี
– เขียนแบบแจกแจงไปเลยว่ามีอะไรบ้าง ปั ญหา จะต้องแจก
่ ัวดีผูเ้ ห็นจึงร ับรู ้ธรรมชาติของลาดบ
แจงกีต
ั ตวั เลขนี ้
– เขียน gn ในรู ปแบบปิ ด จากตัวอย่าง จะได้ gn = n(n+1)/2
่ าไหร่ ก็แทนค่าลงในสู ตร
นั่นคือ อยากรู ้ตวั ทีเท่
้ าดบ
– วิธส
ี ุดท้าย คือ การแทนทังล
ั gn ด้วยอนุ กรมกาลังที่
เรียกว่า ฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด (generating function)
18
ฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด (Generating
function)

g=

• เราเรียกฟังก ์ชัน G(x)
ว่าเป็ นฟังก ์ชันก่อกาเนิ ดของ
nx
n 0
่ ตวั เลขเหล่านี ้
gn โดยแทนลาดับของตัวเลขด ้วยอนุ กรมกาลังทีมี
เป็ นสัมประสิทธิต่์ างๆ
• เราอาจจะสงสัยว่า เราจะวุน
่ วายแทนลาดับตัวเลขด ้วยอนุ กรม
กาลังทาไม ??
n
– สมมุตวิ า่ gn คือจานวนวิธก
ี ารทอนเงิน n บาท ถ ้ามีเหรียญ 1, 5, 10
จานวนมากมาย
– ถ ้าเราอยากรู ้ว่าจะทอนเงิน 138 บาท (g138 ) อย่างไร หรืออยากรู ้
่
รูปแบบทัวไปของการทอนเงิ
น n บาท (gn ) จะทาอย่างไร
• เราคงไม่น่ ังลุยเขียนวิธก
ี ารทอนเงิน 138 บาทแล ้วนับจานวนเอาว่าทาได ้กีวิ่ ธ ี
้
– ปัญหาการนับแบบนี สามารถเขี
ยนบรรยายได ้ด ้วยฟังก ์ชันก่อกาเนิ ด
้ ้อยู่ในรูปของอนุ กรมกาลัง
19
– จากนั้นแปลงฟังก ์ชันนี ให
การเขียนฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด
่ ้องการ
การเขียนตัวฟังก ์ชันก่อกาเนิ ดจากปัญหาการนับทีต
แก ้ไข
้
้ ่
ตัวอย่าง จานวนวิคธำตอบคื
ข
ี องการเลื
อ
กของ
2
ชิ
นจากของ
3
ชิ
นที
อ C(3,2) = 3
แตกต่างกัน
วิธท
ี า ถ ้าใช ้วิธจี ด
ั หมู่
เราสามารถแก ้ปัญหานี ้ ได ้อีกวิธห
ี นึ่ ง ดังนี ้
้
สมมุตวิ า่ ของ 3 ชินของเรา
คือ 
่ นก็
้ ได้จาก 3 ชินนี
้ ้ คือ
วิธก
ี ารเลือกของกีชิ
1 +  +  +  +  + +  +  =
8 วิธ ี
20
่
้
เมือ 1 แทนการไม่เลือกของชินใดเลย
การเขียนฟั งก ์ช ันก่อกาเนิ ด
1 +  +  +  +  + +  +

่
ถ ้าเราแทนสัญลักษณ์ของสิงของต่
าง ๆ ด ้วย x จะได ้
เป็ น
1 + x + x + x + xx
+ xx + xx
+ xxx
1 + x + x + x + x2
+ x2 + x2
+ x3
1 + 3x + 3x2 + x3
้
จากโจทย ์ เราต ้องการเลือกของทังหมด
2 ชิน้ คาตอบคือ
21
ตัวอย่าง
้
จงหาจานวนวิธก
ี ารเลือกของ 5 ชินจากของ
4 ประเภท
()
่  อยู่ 6,2,3 และ 3 ชิน้ ตามลาดับ มีข ้อบังคับ
โดยทีมี
ในการเลือกว่าจะต ้องเลือก  และ  ประเภทละหนึ่ งชิน้ แต่
ห ้ามเลือก  เกิน 2 ชิน้
วิธท
ี า เราสามารถแก ้ปัญหานี ้ โดยการแทนรูปแบบการเลือกได ้
ดังนี ้
รูปแบบการเลือกปากกา (1 + +2) //ไม่เลือกเลย, เลือก 1
แท่ง, เลือก 2 แท่ง
รูปแบบการเลือกกรรไกร (1 +  + 2)
2) ( + 2 + 3) ( + 2 +3)
(1รูป+แบบการเลื
+2) (1
+

+

22
อกโทรศัพท ์ ( + 2 + 3)
ตัวอย่าง
(1 + +2) (1 +  + 2) ( + 2 + 3) ( +
2 +3)
่
แทนสัญลักษณ์ของสิงของด
้วย x จะได ้
(1 + x + x2 ) (1 + x + x2) (x + x2 + x3 ) ( x +
x2 + x3)
(1 + x + x2)2 (x + x2 + x3 )2
์
โดยสัมประสิทธิของ
x5 คือคาตอบ
23
กิจกรรมที่ 3
จงหาจานวนวิธใี นการทอนเงินมูลค่า k บาทด ้วยเหรียญ 1, 5
และ 10 บาท
24