Transcript ม.6 คาบที่ 9-10 - KIDs

ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง
แก้ โจทย์ ปัญหาโดยใช้ กฎเกณฑ์ เบือ้ งต้ นเกีย่ วกับการนับ วิธีเรียงสั บเปลีย่ นและวิธีจัดหมู่ได้
ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวังรายคาบ
1.สามารถใช้ หลักการคานวณวิธีเขียนแผนภาพต้ นไม้ แก้ปัญหาได้
2. สามารถใช้ กฎเกณฑ์ การนับเบือ้ งต้ นในการหาจานวนเหตุการณ์ อย่ างง่ ายได้
ทฤษฎีบทเกีย่ วกับการนับเบือ้ งต้ น
ถ้ าในการดาเนินงานอย่ างใดอย่ างหนึ่งให้ สาเร็จ ต้ องประกอบด้ วยการกระทา
ย่อยๆ ถึง k ขั้นตอน
โดยขั้นตอนที่ 1 เลือกทาได้ n1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกทาได้ n2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกทาได้ n3 วิธี
เป็ นเช่ นนีเ้ รื่อย ๆ ไป จนถึงทาขั้นตอนที่ k ซึ่งทาได้ nk วิธี
ดังนั้น ในการดาเนินงานครั้งนี้ให้สาเร็ จ สามารถเลือกกระทาได้
= n1 x n2 x n3 x … x nk วิธี
มาทาความเข้ าใจกันก่ อนนะคะ
ถ้ ามีเสื้อ 3 ตัว คือเสื้อสี แดง สี เขียวและสี เหลือง และกางเกง 2 ตัว คือ
กางเกงขาสั้ นและกางเกงขายาว จะมีวธิ ีใส่ เสื้อ และกางเกงได้ กวี่ ิธีคะ
ขั้นตอนที่ 1
ขั้นตอนที่ 2
ขาสั้ น
ขายาว
วิธีท1ี่
ขาสั้ น
สี เขียว
แล้วค่อยใส่ กางเกงต่อ ขายาว
วิธีท3ี่
ขาสั้ น
ขายาว
วิธีท5ี่
สี แดง
เลือกใส่
เสื้ อก่อนนะ
สี เหลือง
วิธีท2ี่
วิธีท4ี่
วิธีท6ี่
เขียนออกมาในรู ปความสั มพันธ์
โดยให้ A แทนเซตของเสื้ อ และ B แทนเซตของกางเกง จะได้
ผลคูณคาร์ ทเี ซียน AxB =
{(แดง,ขาสั้ น),(แดง,ขายาว),(เขียว,ขาสั้ น),
(เขียว,ขายาว),(เหลือง,ขาสั้ น),(เหลือง,ขายาว)}
จานวนสมาชิกของความสั มพันธ์ เท่ ากับ 6
เกิดจากจานวนสมาชิกในเซตของเสื้อ และเซตของกางเกงคูณกัน
ดังนั้นจะมีวธิ ีใส่ เสื้อ และกางเกง ทั้งหมด = 3 x 2 = 6 วิธี
ตัวอย่ าง มีเสื้อเชิ้ตสี ต่างกัน 4 ตัวกางเกงต่ างกัน 3 ตัว และรองเท้ า
ต่ างกัน 2 คู่ นักเรียนจะมีวธิ ีใส่ เสื้อ กางเกงและรองเท้ าได้ กวี่ ธิ ี
ขั้นตอนที่ 1
ขั้นตอนที่ 2
กางเกง (1)
เสื้อ (1)
กางเกง (2)
กางเกง (3)
ขั้นตอนที่ 3
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 1
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 2
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 4
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 6
วิธีที่ 3
วิธีที่ 5
ขั้นตอนที่ 1
ขั้นตอนที่ 2
กางเกง (1)
เสื้อ (2)
กางเกง (2)
กางเกง (3)
ขั้นตอนที่ 3
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 7
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 8
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 10
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 12
วิธีที่ 9
วิธีที่ 11
ขั้นตอนที่ 1
ขั้นตอนที่ 2
กางเกง (1)
เสื้อ (3)
กางเกง (2)
กางเกง (3)
ขั้นตอนที่ 3
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 13
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 14
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 16
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 18
วิธีที่ 15
วิธีที่ 17
ขั้นตอนที่ 1
ขั้นตอนที่ 2
กางเกง (1)
เสื้อ (4)
กางเกง (2)
กางเกง (3)
ขั้นตอนที่ 3
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 19
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 20
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 22
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 24
วิธีที่ 21
วิธีที่ 23
กางเกง (1)
เสื้อ (1)
กางเกง
(2)
กางเกง
(3)
กางเกง (1)
เสื้อ (3)
กางเกง
(2)
กางเกง
(3)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 1
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 2
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 4
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 5
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 6
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 13
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 14
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 16
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 17
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 18
วิธีที่ 3
วิธีที่ 15
กางเกง (1)
เสื้อ (2)
กางเกง
(2)
กางเกง
(3)
กางเกง (1)
เสื้อ (4)
กางเกง
(2)
กางเกง
(3)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 7
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 8
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 10
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 11
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 12
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 19
รองเท้ า (2)
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 20
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 22
รองเท้ า (1)
วิธีที่ 23
รองเท้ า (2)
วิธีที่ 24
วิธีที่ 9
วิธีที่ 21
ดังนั้นจะมีวิธีใส่ เสื้อ กางเกงและรองเท้ า ทั้งหมด = 4 x 3 x 2 = 24 วิธี
ตัวอย่ าง มีถนนจากกรุงเทพฯ ถึงลพบุรี 3 สาย และมีถนนจากลพบุรีถึง
นครราชสี มาอยู่ 4 สาย ถ้ าจะขับรถยนต์ จากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสี มาโดยขับ
ผ่ านลพบุรี จะใช้ เส้ นทางทีต่ ่ างกันได้ หมดกีเ่ ส้ นทาง
ลพบุรี (1)
กรุงเทพ ฯ
ลพบุรี (2)
ลพบุรี (3)
ดังนั้นจะใช้ เส้ นทางทีต่ ่ างกันได้ ท้งั หมด = 3 x 4 = 12 เส้ นทาง
นครราชสี มา (1)
นครราชสี มา (2)
นครราชสี มา (3)
นครราชสี มา (4)
นครราชสี มา (1)
นครราชสี มา (2)
นครราชสี มา (3)
นครราชสี มา (4)
นครราชสี มา (1)
นครราชสี มา (2)
นครราชสี มา (3)
นครราชสี มา (4)
ตัวอย่ าง ถ้ าโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 3 ครั้ง จะได้ ผลต่ างๆ กัน
ทั้งหมดกีว่ ธิ ี อะไรบ้ าง
เหรียญที่ 1
หัว
ก้ อย
เหรียญที่ 2
หัว
ก้อย
หัว
ก้อย
ดังนั้น จะได้ วธิ ีที่ต่างกันทั้งหมด = 2 x 2 x 2 = 8 วิธี
เหรียญที่ 3
หัว
ก้อย
หัว
ก้อย
หัว
ก้อย
หัว
ก้อย
แบบฝึ กทักษะที่ 4 (ก)
วิธีเรียงสั บเปลีย่ นและวิธีจดั หมู่
1. โรงเรียนแห่ งหนึ่งจัดอาหารกลางวันโดย ให้ นักเรียนเลือกอาหารคาวได้
หนึ่งอย่ างและขนมได้ หนึ่งอย่ าง ถ้ าโรงเรียนจัดอาหารคาว 4 อย่ าง และขนม
5 อย่ างนักเรียนจะมีวิธีเลือกอาหารกลางวันได้ ท้งั หมดกีว่ ธิ ีได้
ขนม (1)
ขนม (2)
อาหารคาว (1)
ขนม (3)
ขนม (4)
ขนม (5)
ขนม (1)
ขนม (2)
อาหารคาว (2)
ขนม (3)
ขนม (4)
ขนม (5)
ขนม (1)
ขนม (2)
อาหารคาว (3)
ขนม (3)
ขนม (4)
ขนม (5)
ขนม (1)
ขนม (2)
อาหารคาว (4)
ขนม (3)
ขนม (4)
ขนม (5)
อาหารคาว (1)
อาหารคาว (3)
ขนม (1)
ขนม (1)
ขนม (2)
ขนม (2)
ขนม (3)
อาหารคาว (2)
ขนม (3)
ขนม (4)
ขนม (4)
ขนม (5)
ขนม (5)
ขนม (1)
ขนม (1)
ขนม (2)
ขนม (2)
ขนม (3)
อาหารคาว (4)
ขนม (3)
ขนม (4)
ขนม (4)
ขนม (5)
ขนม (5)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 4 x 5 = 20 วิธี
2. ในการทอดลูกเต๋ าหนึ่งลูกจะปรากฏผลได้ กวี่ ธิ ี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 6 วิธี
3. ในการทอดลูกเต๋ าสองลูกพร้ อมกัน 1 ครั้ง
จะปรากฏผลได้ กวี่ ธิ ี
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
ให้ (a,b) แทนด้ วย
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
แต้ มของลูกเต๋ าลูกที่ 1 คือ a
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
และแต้
มของลูกเต๋ าลูกที่ 2 คือ b
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 6 x 6 = 36 วิธี
4. ในการทอดลูกเต๋ า n ลูกพร้ อมกัน 1 ครั้ง
จะปรากฏผลได้ กวี่ ธิ ี
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)


















(n,1),(n,2),(n,3),(n,4),(n,5),(n,6)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 6n วิธี , เมื่อ
n คือจานวนลูกเต๋า
5. เมื่อโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ
จะปรากฏผลได้ กวี่ ธิ ี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
=2
วิธี
6. เมื่อโยนเหรียญบาทสองเหรียญ
พร้ อมกัน 1 ครั้ง จะปรากฏผลได้ กวี่ ธิ ี
เหรียญที่ 1
หัว
ก้อย
เหรียญที่ 2
หัว
ก้อย
หัว
ก้อย
จะได้ (หัว,หัว) , (หัว,ก้ อย) , (ก้ อย,หัว) , (ก้ อย,ก้ อย)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 2 x 2 = 4 วิธี
7. เมื่อโยนเหรียญบาท n เหรียญ พร้ อมกัน 1 ครั้ง
จะปรากฏผลได้ กวี่ ธิ ี
 2  2  2  ...  2  2 วิธี
n
n เหรียญ
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 2n วิธี
เมื่อ n คือ จานวนเหรียญ
8. นักเรียนคนหนึ่งมีเสื้อและกางเกงสาหรับสวมไปเทีย่ วอยู่
7 ตัว และ 4 ตัว ตามลาดับ เขาจะสวมเสื้อและกางเกงไปเทีย่ ว
เป็ นชุดต่ างๆกันได้ กชี่ ุด
เสื้อ (1)
เสื้อ (2)
เสื้อ (3)
กางเกง (1)
เสื้อ (4)
เสื้อ (5)
เสื้อ (6)
เสื้อ (7)
เสื้อ (1)
เสื้อ (2)
เสื้อ (3)
กางเกง (2)
เสื้อ (4)
เสื้อ (5)
เสื้อ (6)
เสื้อ (7)
เสื้อ (1)
เสื้อ (2)
เสื้อ (3)
กางเกง (3)
เสื้อ (4)
เสื้อ (5)
เสื้อ (6)
เสื้อ (7)
เสื้อ (1)
เสื้อ (2)
เสื้อ (3)
กางเกง (4)
เสื้อ (4)
เสื้อ (5)
เสื้อ (6)
เสื้อ (7)
กางเกง (1)
กางเกง (3)
เสื้อ
(1)
เสื้อ (2)
เสื้อ
(1)
เสื้อ (2)
เสื้อ (3)
เสื้อ (3)
เสื้อ (4)
กางเกง (2)
เสื้อ (4)
เสื้อ (5)
เสื้อ (5)
เสื้อ (6)
เสื้อ (6)
เสื้อ (7)
เสื้อ (7)
เสื้อ
(1)
เสื้อ (2)
เสื้อ
(1)
เสื้อ (2)
เสื้อ (3)
เสื้อ (3)
เสื้อ (4)
กางเกง (4)
เสื้อ (4)
เสื้อ (5)
เสื้อ (5)
เสื้อ (6)
เสื้อ (6)
เสื้อ (7)
เสื้อ (7)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 4 x 7 = 28 วิธี
9. สนามกีฬาแห่ งหนึ่งมีประตูเข้ าออก10 ประตู ถ้ าคนๆ
หนึ่ง จะเดินเข้ าและออกจากสนามกีฬาแห่ งนั้นทาได้
กีว่ ธิ ี เมือ่ กาหนดให้
1) เข้ าประตูใดและออกประตูใดก็ได้
2) เข้ าและออกจากสนามกีฬา โดยไม่ ซ้าประตูเดิม
3) เข้ าประตูใดต้ องออกประตูน้ัน
ออก ออก ออก ออก ออก ออก
ออก ออก ออก ออก
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
เข้ า
9. สนามกีฬาแห่ งหนึ่งมีประตูเข้ าออก10 ประตู ถ้ าคนๆ
หนึ่ง จะเดินเข้ าและออกจากสนามกีฬาแห่ งนั้นทาได้
กีว่ ธิ ี เมือ่ กาหนดให้
1) เข้ าประตูใดและออกประตูใดก็ได้
ดังนั้นจานวนวิธี
เข้ า
= 10 x 10
ออก
=
100 วิธี
9. สนามกีฬาแห่ งหนึ่งมีประตูเข้ าออก10 ประตู ถ้ าคนๆ
หนึ่ง จะเดินเข้ าและออกจากสนามกีฬาแห่ งนั้นทาได้
กีว่ ธิ ี เมือ่ กาหนดให้
2) เข้ าและออกจากสนามกีฬา โดยไม่ ซ้าประตูเดิม
ดังนั้นจานวนวิธี
เข้ า
= 10 x 9
ออก
=
90 วิธี
9. สนามกีฬาแห่ งหนึ่งมีประตูเข้ าออก10 ประตู ถ้ าคนๆ
หนึ่ง จะเดินเข้ าและออกจากสนามกีฬาแห่ งนั้นทาได้
กีว่ ธิ ี เมือ่ กาหนดให้
3) เข้ าประตูใดต้ องออกประตูน้ัน
ดังนั้นจานวนวิธี
เข้ า
= 10 x 1
ออก
=
10 วิธี
10. มีลูกบอลทีแ่ ตกต่ างกัน 4 ลูก ต้ องการนาลูกบอล
เหล่ านีไ้ ปใส่ ในกล่ อง 5 กล่ อง ทีแ่ ตกต่ างกัน อยากทราบ
ว่ าจะมีวธิ ีการใส่ ลูกบอลทั้ง 4 ลูกกีว่ ธิ ี เมือ่
1 2
3 4
ลูกบอล
1
3
2
4
กล่ อง
5
1) ลูกบอลแต่ ละลูกจะใส่ ในกล่ องใดก็ได้
ดังนั้นจานวนวิธี
ลูกที่ 1
ลูกที่ 2
ลูกที่ 3
ลูกที่ 4
= 5 • 5 • 5 • 5 = 625
วิธี
2) กล่ องแต่ ละใบจะรับลูกบอลได้ ไม่ เกิน 1 ลูก
ดังนั้นจานวนวิธี
ลูกที่ 1
ลูกที่ 2
ลูกที่ 3
ลูกที่ 4
= 5 • 4 • 3 • 2 = 120
วิธี
3) ลูกบอลทั้ง 4 ลูกอยู่ในกล่ องใบเดียวกัน
ลูกที่ 1
ลูกที่ 2
ลูกที่ 3
ลูกที่ 4
กล่ อง(1) กล่ อง(2) กล่ อง(3) กล่ อง(4)
ดังนั้น จานวนวิธี = 5 วิธี
กล่ อง(5)
4) ลูกบอลแต่ ละลูกอาจจะอยู่ในกล่องเดียวกันได้
แต่ จะอยู่กล่องเดียวกัน ทั้ง 4 ลูกไม่ ได้
ดังนั้นจานวนวิธี
จานวนวิธีท้ังหมด
จานวนวิธีทลี่ ูกบอลทั้ง 4 ลูก
อยู่ในกล่ องใบเดียวกัน
= 625 - 5 วิธี
11. ต้ องการเลือกหนังสื อ 3 เล่ ม ชนิดละ 1 เล่ ม จากภาษาไทย 3 เล่ ม
ภาษาอังกฤษ 4 เล่ ม และภาษาฝรั่งเศส 2 เล่ ม ทุกเล่ มแตกต่ างกันได้
ทั้งหมดกีว่ ธิ ี
อังกฤษ (1)
ไทย (1)
อังกฤษ (2)
อังกฤษ (3)
อังกฤษ (4)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
อังกฤษ (1)
ไทย (2)
อังกฤษ (2)
อังกฤษ (3)
อังกฤษ (4)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
อังกฤษ (1)
ไทย (3)
อังกฤษ (2)
อังกฤษ (3)
อังกฤษ (4)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
อังกฤษ (1)
ไทย (1)
อังกฤษ (2)
อังกฤษ (3)
อังกฤษ (4)
อังกฤษ (1)
ไทย (2)
อังกฤษ (2)
อังกฤษ (3)
อังกฤษ (4)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
อังกฤษ (1)
ไทย (3)
อังกฤษ (2)
อังกฤษ (3)
อังกฤษ (4)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 3 x 4 x 2 = 24 วิธี
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
ฝรั่งเศส (1)
ฝรั่งเศส (2)
12. ประตูเข้ าโรงภาพยนต์ แห่ งหนึ่งมี 5 ประตู
ประตูออกมี 3 ประตู ชายคนหนึ่งจะเข้ าและออก
โรงภาพยนต์ นีจ้ ะได้ ท้งั หมดกีว่ ธิ ี
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (1)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (2)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (3)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (4)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (5)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (3)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (2)
ประตูเข้ า (1)
ประตูออก (2)
ประตูออก (1)
ประตูเข้ า (4)
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
ประตูออก (3)
ประตูออก (1)
ประตูออก (1)
ประตูออก (2)
ประตูเข้ า (5)
ประตูออก (3)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 5 x 3 = 15 วิธี
ประตูออก (2)
ประตูออก (3)
13. ต้ องการเลือกกรรมการผสม ชาย 1 คน หญิง 1 คน จากชาย 5 คน
หญิง 7 คน ได้ กวี่ ธิ ี
(1)
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
(6)
(7)
(2)
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(3)
(4)
(5)
(5)
(6)
(6)
(7)
(7)
(4)
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(5)
(4)
(5)
(5)
(6)
(6)
(7)
(7)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(3)
(3)
(3)
(4)
(2)
(1)
(1)
(3)
(4)
(4)
(4)
(5)
(5)
(5)
(6)
(6)
(6)
(7)
(7)
(7)
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(5)
(4)
(5)
(5)
(6)
(6)
(7)
(7)
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 5 x 7 = 35 วิธี
14. ชายคนหนึ่งมีกางเกง 3 ตัว เสื้อ 4 ตัว และ
รองเท้ า 5 คู่เขาจะมีวธิ ีการแต่ งตัวกีว่ ธิ ี
เลือกกางเกงได้
= 3
วิธี
ในแต่ ละวิธีที่เลือกกางเกงจะเลือกเสื้อได้
= 4
วิธี
ในแต่ ละวิธีที่เลือกกางเกงและเสื้อจะเลือกรองเท้ าได้ = 5
วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
=3×4 ×5 = 60
วิธี
15. ต้ องการซื้อกระเป๋ าเดินทาง 1 ใบ แต่ มีให้ เลือกดังนี้
มีท้งั หมด 5 แบบ แต่ ละแบบมี 3 สี แต่ ละสี มี 3 ขนาด
จะเลือกได้ ท้งั หมดกีว่ ธิ ี
เลือกแบบได้
=
5
วิธี
ในแต่ ละวิธีที่เลือกแบบจะเลือกสี ได้
=
3
วิธี
ในแต่ ละวิธีที่เลือกแบบและสี จะเลือกขนาดได้ =
4
วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 5  4  3 = 60
วิธี
16. นก 3 ตัว จะมีวธิ ีเกาะกิง่ ไม้ 5 กิง่ ได้ กวี่ ธิ ี
นกตันกต้
วที่ 1 อเกาะกิ
ง
่
ไม้
ก
ง
่
ิ
ใดก็
ได้
=
5
วิ
ธ
ี
งบินไปเลือกกิงไม้นะครับ...
่
งไม้
ด้หได้รอก= 5 วิธี
ในแต่กิล่ะวิ
ธีนเลืกตัอวกนกมาเกาะไม่
ที่ 2 เกาะกิง่ ไม้ กงิ่ ไใดก็
ในแต่ ละวิธีนกตัวที่ 3 เกาะกิง่ ไม้ กงิ่ ใดก็ ได้ = 5 วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 5 ×5 ×5 = 125
วิธี
17.มีจดหมาย 5 ฉบับ จะนาไปทิง้ ในตู้ไปรษณีย์ 3 ตู้ได้ กวี่ ธิ ี
จดหมายฉบับที่ 1 ทิง้ ตู้ใดก็ ได้
= 3 วิธี
ในแต่ ละวิธีจดหมายฉบับทีต้ ่อ2งน
ทิง้ าจดหมายไปทิ
ตู้ใดก็ ได้ = ง้ ในตู
3 วิ้ ธี
ไปรษณีย์นะครับ...
ในแต่ ละวิธีจดหมายฉบับทีจะเอาตู
่ 3 ทิง้ ตู้ใ้ มดก็
ได้
=
3
วิ
ธ
ี
าเลือกจดหมาย
ในแต่ ละวิธีจดหมายฉบับที่ 4 ทิง้ ตู้ใดก็ไม่ได้
ได้ = 3 วิธี
ในแต่ ละวิธีจดหมายฉบับที่ 5 ทิง้ ตู้ใดก็ ได้ = 3 วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 วิธี
18. โยนเหรียญ 10 อัน 1 ครั้ง
จะเกิดหน้ าต่ างๆกันได้ กแี่ บบ
แต่ ละเหรียญมีโอกาสเกิดได้ 2 กรณี ทั้งหมด 10 ครั้ง
ดังนั้น จะเกิดหน้ าต่ าง ๆ กันทั้งหมด
2
10
= 1024
วิธี
19. โยนลูกเต๋ า 1 ลูก 3 ครั้ง จะเกิดหน้ าต่ างๆกันได้ กี่แบบ
ลูกเต๋ าแต่ ละลูกมีโอกาสเกิดได้ 6 กรณี ทั้งหมด 3 ครั้ง
ดังนั้น จะเกิดหน้ าต่ างๆ กันทั้งหมด
63 = 216 วิธี
20. จะสร้ างคาโดยใช้ ตัวอักษร 5 ตัว จากคาว่ า ALGEBRO
ได้ กคี่ า โดยทีอ่ กั ษรทั้ง 5 ตัวไม่ ซ้ากันและคาทีส่ ร้ างจะมี
ความหมายหรือไม่ กไ็ ด้
1
2
3
4
5
ใช้ ตัวอักษรได้ 4 ตัว
เนื่องจากตัวที1่ ,2,3
ใช้ ตัวอักษรใช้ ตัวอักษรได้ 6 ตัว
และ4
ใช้ ไปอย่างละ
ใช้
ต
ว
ั
อั
ก
ษรได้
4
ตั
ว
ตัวจากค
ตัวอั5กษรได้
5 ตัวาว่ า ALGEBRO โดยที่อกั ษร
ได้ ดั7 งตันัว้ นเนื่อจะสร้
งจากตัางค
วทีาโดยใช้
1่ ใช้ ไป อใช้กั ษร
1 ตัวจึงเหลือ
เนื
่
อ
งจากตั
ว
ที
่
1
,2
และ3
เนืส่องจากตั
วทีค1่ และ2
ทั้ง 5 ตัแล้ววไม่1ซตั้าวกัจึนงเหลื
และค
ร้ างจะมี
วามหมายหรือไม่ กไ็ ด้7-4ทั้ง=หมด
อ าที
3 ตัว
ใช้
ไ
ปอย่
า
งละ1
ตั
ว
ใช้ ไปอย่างละ1 ตัว
7-1 = 6 ตัว
จึงเหลือ 7-3 = 4 ตัว
จึ
ง
เหลื
อ
7-2
=
5
ตั
ว
= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520
วิธี
21. มีหมวกแบบต่ างๆ 7 ใบ มีคนอยู่ 3 คน จะมีวธิ ีให้ คนทั้ง 3 คน
คนละ 1 ใบนีเ้ ลือกหมวกมาสวมได้ ท้งั หมดกีว่ ธิ ี
คนที่ 1 จะเลือกสวมหมวกได้
= 7 วิธี
ในแต่ ละวิธีคนที่ 2 เลือกสวมหมวกได้ = 7 - 1 = 6 วิธี
ในแต่ ละวิธีคนที่ 3 เลือกสวมหมวกได้ = 6 - 1 = 5 วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 7 x 6 x 5 = 210
วิธี
22. ข้ อสอบชุดหนึ่งมีข้อสอบแบบถูกผิด 5 ข้ อ แบบเลือกตอบชนิด
มีตวั เลือก 5 ตัวเลือก 10 ข้ อ นักเรียนจะมีวธิ ีแสดงคาตอบได้ กวี่ ธิ ี
ข้ อสอบแบบถูกผิด
1
2
3
4
5
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 32
วิธี
แบบเลือกตอบ
มีตัวเลือก 5 ตัวเลือก 10 ข้ อ แต่ ละข้ อจะเลือกได้ = 5 วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
=
10
5
= 9765625
วิธี
ดังนั้น นักเรียนจะมีวธิ ีแสดงคาตอบได้
=
5
10
2 +5
= 9765657 วิธี
23. ข้ อสอบคณิตศาสตร์ ฉบับหนึ่งมี 2 ตอน ตอนแรกเป็ นข้ อสอบถูกผิดซึ่งมี
ทั้งหมด 5 ข้ อ ตอนทีส่ องเป็ นข้ อสอบทีม่ ีคาตอบให้ เลือก 5 ตัวเลือก ซึ่งมีอยู่ 7
ข้ อ ถ้ านักเรียนทาข้ อสอบฉบับนีโ้ ดยวิธีการเดา นักเรียนสามารถเลือกเดาได้ กวี่ ธิ ี
ข้ อสอบแบบถูกผิด
1
2
3
4
5
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ถูก ผิด
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 2 ×2 ×2 ×2 ×2
=2 = 32
5
วิธี
แบบเลือกตอบ
มีตัวเลือก 5 ตัวเลือก 7 ข้ อ แต่ ละข้ อจะเลือกได้ = 5 วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด = 57
= 78125
วิธี
ดังนั้น นักเรียนจะมีวธิ ีแสดงคาตอบได้
5
=2 +5
7
= 32 + 78125
= 78157
วิธี
24. ในการประกวดคาขวัญ กรรมการเลือกสานวนไว้ รอบสุ ดท้ าย
6 สานวน เพือ่ รับรางวัลที่ 1 ที่ 2 และที่ 3 ถ้ าทุกรางวัลต้ องแจก
จะมีวธิ ีแจกรางวัลได้ กวี่ ธิ ี
รางวัลที่ 1 จะเลือกแจกได้
=
6
วิธี
ในแต่ ละวิธีรางวัลที่ 2 จะเลือกแจกได้
= 6-1 =
5
วิธี
ในแต่ ละวิธีรางวัลที่ 3 จะเลือกแจกได้
= 5-1 =
4
วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
=6  5  4
=120
วิธี
25. มีคาวบอย 5 คน มีม้า 7 ตัว คาวบอยจะมีวธิ ีเลือกขี่ม้าได้ กวี่ ธิ ี
(คาวบอย 1 คนต่ อม้ า 1 ตัว)
คาวบอยคนที่ 1 จะเลือกขี่ม้าได้
= 7 วิธี
ในแต่ ละวิธีคาวบอยคนที่ 2 จะเลือกขี่ม้าได้ = 7-1 = 6 วิธี
ในแต่ ละวิธีคาวบอยคนที่ 3 จะเลือกขี่ม้าได้ = 6-1 = 5 วิธี
ในแต่ ละวิธีคาวบอยคนที่ 4 จะเลือกขี่ม้าได้ = 5-1 = 4 วิธี
ในแต่ ละวิธีคาวบอยคนที่ 5 จะเลือกขี่ม้าได้ = 4-1 = 3 วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
= 7  65  4 3
= 2520
วิธี
26. มีรางวัล 10 รางวัล แจกให้ แก่ คน 3 คน
(จะได้ รับคนละกีร่ างวัลก็ได้ ) ได้ กวี่ ธิ ี
คนที่ 1 จะได้ รับรางวัลได้
= 10
วิธี
ในแต่ ละวิธคนที่ 2 จะรับรางวัลได้ = 10
วิธี
ในแต่ ละวิธีคนที่ 3 จะรับรางวัลได้ = 10
วิธี
ดังนั้น จะได้ จานวนวิธีท้งั หมด
=10 ×10 ×10
3
=10 =1000
วิธี