Transcript ความสัมพันธ์บนเซต

MAT 231: คณิตศาสตร์ ไม่ ต่อเนื่อง
(4)
ความสั มพันธ์ (Relations)
ดร.ธนา สุ ขวารี
ดร.สุ รศักดิ์ มังสิ งห์
SPU, Computer Science Dept.
1
วัตถุประสงค์
• เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ และสมบัติความสัมพันธ์
• ประยุกต์ความสัมพันธ์กบั ข้อมูล และปฏบัตกิ ารกับ
ข้อมูลในกระบวนการทางคอมพิวเตอร์
2
ความสั มพันธ์ (relation)
ั ันธ์ทวิภาค
R ว่าเป็ น ความสมพ
(Binary Relation ) จาก A ไป B ถ ้า R เป็ นเซตย่อยของ A B
• นิยาม : ให ้ A และ B เป็ นเซต จะเรียก
• R เป็ นเซตของคูอ
่ น
ั ดับ(ordered pair)
คูอ
่ น
ั ดับตัวทีส
่ องมาจาก B
• a สมั พันธ์กบั b
• Example :
โดย
R
เมือ
่
โดยทีค
่ อ
ู่ น
ั ดับตัวแรกมาจาก
A และ
a, b   R
ึ ษา, รห ัสวิชา)
ลงทะเบียนเรียน (รห ัสน ักศก
R
A
B
3
ความสั มพันธ์ บนเซต
• EX: ให ้ A = {0,1,2,} และ B = { a, b} แล ้วจะได ้ว่า
R1 = { (0,a) , (0,b) , (1,a) , (2,b) }
ั พันธ์จาก A ไป B
เป็ นความสม
A
0
1
2
a
B
b
R = { (0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) }
ั เซตของ R)
R1 ⊂ R (อ่านว่าR1 เป็ น สบ
4
ความสั มพันธ์ บนเซต
• EX: ให้ Aและ B เป็ นเซต {1, 2, 3, 4} จงเขียนคู่ลาดับของความสัมพันธ์
R = {(a,b)| a หาร b ลงตัว}
table
1
1
2
2
3
3
4
4
A
1
2
3
4
1
2
3
X
X
X X
X
4
X
X
X
B
5
R1   a, b a  b 
EX:
R 2   a, b a  b 
R 3   a, b  a  b หรืหรื
อ อ
a   b
R 4   a, b a  b 
R 5   a, b a  b  1 
R1
R2
R3
R4
เมื่อ a, b ϵ จำนวนเต็ม
R5
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(1,-1)
(2,2)
6
ปฏิบัติการบนความสั มพันธ์
EX. กาหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3, 4} และ
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)},
R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4)} จงหา
R1 U R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4), (2, 2), (3, 3) }
R1 ∩ R2 = {(1, 1)}
R1 - R2 = {(2, 2), (3, 3)}
R2 - R1 = {(1, 2),(1, 3),(1, 4)}
7
ความรู้ ทางตรรก
ตารางค่ าความเป็ นจริง
IF…THEN
AND
A
B
A^B
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
F
A
B
A --> B
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
NOT
A
~A
T
F
F
T
A
B
A xor B
xor
OR
A
B
AVB
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
8
สมบัติของความสั มพันธ์
ควำมสัมพันธ์สมมูล
• นิยาม ให้ R เป็ นความสัมพันธ์บนเซต A และ a, b, c เป็ นสมาชิกใด ๆ
ของ A จะเรี ยก R ว่า มี
1. สมบัติสะท้ อน ( Reflexive ) ถ้า a, a   R ทุก a ϵ A
2. สมบัติสมมาตร ( Symmetric )
ถ้ า a, b   R แล้ว b, a   R
3. สมบัติถ่ายทอด ( Transitive )
ถ้ า a, b   R และ b, c  R แล้ว a, c  R
4.
สมบัติปฏิสมมาตร (Antisymmetric)
ถ้ า
a, b R
และ b, a   R แล้ว a = b
9
สมบัติของความสั มพันธ์
EX: พิจารณาความสัมพันธ์ บนเซต A={1,2,3} ต่อไปนี้
R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}
10
Reflexive
R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}
เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มีสมาชิกอยูใ่ นเซทของ A และB
ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3}
คุณสมบัติสะท้ อน
R ไม่มี refexive เพราะ 2 ϵ A แต่ (2,2) ϵ R
T ไม่มี refexive เพราะ 3 ϵ A แต่ (3,3) ϵ T
S มี refexive
11
Symmetric
R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}
เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มีสมาชิกอยูใ่ นเซทของ A และB
ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3}
สมบัติสมมาตร
R ไม่ม ี symmetric เพราะ (1,2) ϵ R แต่ (2,1) ϵ R
ในทานองเดียวกัน T ไม่ม ี symmetric
S มี symmetric
12
Transitive
R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}
เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มีสมาชิกอยูใ่ นเซทของ
A={1,2,3}
สมบัติถ่ายทอด
-T ไม่ม ี transitive เพราะ (1,2)และ(2,3)อยูใ่ น T
แต่ (1,3) ไม่อยูใ่ น T
- R และ S มี transitive
13
Antisymmetric
R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}
เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มีสมาชิกอยูใ่ นเซทของ A={1,2,3}
สมบัติปฏิสมมาตร
- S ไม่เป็ น Antisym เพราะ (1,2) และ (2,1) อยูใ่ น S แต่ 1 ไม่เท่ากับ 2
- R และ T เป็ น Antisym
14
โจทย์ คาถาม
EX:จงพิจารณาความสัมพันธ์ R1,R2, ..,R6 บน A={1, 2, 3, 4} เมื่อ
R1 = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
R2 = { (1,1),(1,2),(2,1)}
R3 = { (1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
R4 = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
R5 = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}
R6 = { (3,4)}
ความสัมพันธ์ใดมี สมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร สมบัติปฏิสมมาตร และสมบัติ
ถ่ายทอด
15
โจทย์ คาถาม
EX: ให้ Ri เป็ นความสัมพันธ์บนเซตของจานวนเต็ม
R1   a, b a  b 
R 2   a, b a  b 
R 3   a, b  a  b หรืหรื
อ อ
a   b
R 4   a, b a  b 
R 5   a, b a  b  1 
จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดมี สมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด
หรื อสมบัติปฏิสมมาตร
16
Answer: R5
• ให้ R 5   a, b  a  b  1  เป็ นความสัมพันธ์บนเซตของจานวน
เต็ม
• สมบัติสะท้ อน : a Z, a, a  R 5
เนื่องจาก 3  3  1 ดังนั้น
3, 3  R5
นัน่ คือ R5 ไม่มีสมบัติสะท้อน
• สมบัติสมมาตร : a, b  Z a, b  R 5  b, a R 5 
เนื่องจาก 3  2  1 แต่
3, 2  R5 แต่
ดังนั้น
นัน่ คือ R 5 ไม่มีสมบัติสมมาตร
2 31
2, 3  R5
17
Answer: R5
สมบัติถ่ายทอด:
R 5   a, b a  b  1 
a, b, c Z  a, b  R 5  b, c R 5  a, c R 5 
เนื่องจาก 4  3  1 และ 3  2  1
แต่
4  21
ดังนั้น
แต่
4, 3  R5
4, 2  R5
และ
3, 2  R5
นัน่ คือ R5 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด
18
Answer: R5
R 5   a, b a  b  1 
19
Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรืหรื
อ อ
a   b
ให้
20
Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรืหรื
อ อ
a   b
21
Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรืหรื
อ อ
a   b
22
Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรืหรื
อ อ
a   b
23
การแทนความสั มพันธ์
(Representing Relations)
•
•
•
•
คู่ลาดับ (ordered pair)
ตาราง (table)
เมตริ กซ์ (matrix)
กราฟ (graph)
24
การแทนความสั มพันธ์
คู่ลาดับ
Ex: ให้ R เป็ นความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังเซต B
เมื่อ A = {นงนุช, ภัทร, ธนพรรธน์}
B = {CSE101, MAT231, CSE321}
R = { (นงนุช, CSE101),(นงนุช, MAT231),
(ภัทร, CSE101),(ภัทร, MAT231),(ภัทร, CSE321),
(ธนพรรธน์, MAT231) }
25
การแทนความสั มพันธ์
ตาราง
R = { (นงนุช, CSE101),(นงนุช, MAT231),
(ภัทร, CSE101),(ภัทร, MAT231),(ภัทร, CSE321),
(ธนพรรธน์, MAT231) }
ลงทะเบียนเรียน
นงนุช
ภัทร
ธนพรรธน์
MAT231
CSE101
X
X
X
X
X
CSE321
X
26
การแทนความสั มพันธ์
เมทริกซ์
การแทนค่าของความสัมพันธ์ในรู ปแบบ Matrix (0-1) กาหนดให้ R เป็ น
ความสัมพันธ์จากเซต A = {a1, a2, … , an} ไป เซต B = {b1, b2, … , bn}
สามารถแทนด้วย matrix MR = [ mij ] โดยที่


mij  


;
(ai , b j )  r
0 ;
(ai , b j )  r
1
27
การแทนความสั มพันธ์
เมทริกซ์
EX: ให้ A = { 1, 2, 3 } และ B = { 1, 2, 3, 4}
ให้ r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่ง
r   a, b A  B a  b 
1
2
3
4
2
0
0
1
0
1
1
1
1
3
0
0
0
1
1
28
โจทย์ คาถาม
EX ให้ A = { a1 , a2 , a3 } และ B = { b1 , b2 , b3 , b4 , b5 } จงหา
ความสัมพันธ์ r ในแบบคู่ลาดับ เมื่อ
b1 b2 b3 b4 b5
Mr
a1 0 1 0 0 0
= a2 1 0 1 1 0
a3 1 0 1 0 1
29
การกระทาบนความสั มพันธ์
เมทริกซ์ 0-1
EX: ให้ความสัมพันธ์ R1 และ R2 อยูบ่ น A
MR1 =
1 0 1
1 0 0
0 1 0
จงแสดงผลลัพธ์ MR1 U MR2
MR1 U MR2 =
1 0 1
1 1 1
1 1 0
MR2 =
1 0 1
0 1 1
1 0 0
และ MR1 ∩ MR2
MR1
∩
MR2 =
1 0 1
0 0 0
0 0 0
30
การแทนความสั มพันธ์
กราฟระบุทศิ ทาง
บทนิยาม กราฟระบุทิศทาง (Directed graph or digraph) ประกอบด้วย
เซต V เรี ยกว่า เซตของจุด (vertices or node) และ เซต E V x V
เรี ยกว่า เซตของเส้นเชื่อม (edges) จุด a เรี ยกว่า จุดเริ่ มต้น (initial
vertex) ของด้าน (a, b) และจุด b เรี ยกว่า จุดปลาย (terminal vertex)
ของด้าน (a, b)
ด้านที่อยูใ่ นรู ปแบบ (c, c) ซึ่งจุดเริ่ มต้นกับจุดปลายเป็ นจุด
เดียวกัน จะเรี ยกว่า วงวน (loop)
31
การแทนความสั มพันธ์
กราฟระบุทศิ ทาง
EX: กาหนดให้ R = {(1, 1), (3, 2), (3, 1), (1, 2),(2, 3)} เป็ น
ความสัมพันธ์บนเซต AxA เมื่อ
A = {1, 2, 3} จงแทน R ด้วย Digraph
1
2
3
32
โจทย์ คาถาม
• จงเขียนกราฟระบุทิศทางที่มีจุดยอดอยูท่ ี่ a, b, c และ d ซึ่งประกอบด้วย
ด้าน(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b) และ (d, b)
• จงเขียนคู่อนั ดับและเมทริกซ์ ทั้งหมดที่แทนกราฟระบุทิศทางที่กาหนด
B
C
A
E
D
33
ความสั มพันธ์ ประกอบ
(composite relation)
บทนิยาม ให้ R เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B และ S เป็ นความสัมพันธ์จาก B ไป
C ความสัมพันธ์ ประกอบของ R และ S (composite relation of R
and S) คือ ความสัมพันธ์ซ่ ึ งประกอบด้วยคู่อนั ดับ (a, c) โดยที่ (a, b) ∈R
และ (b, c) ∈ S เขียนแทนด้วย S o R นัน่ คือ
S o R = { (a, c)∈ A × C มี b ∈ B ซึ่ ง (a, b) ∈R และ (b, c)
∈S}
34
ตัวอย่ าง
EX. ให้ A = { 1,2,3} , B = {1,2,3,4}, C = { 0, 1, 2}
R เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B และ S เป็ นความสัมพันธ์จาก B ไป C กาหนดโดย
R = { (1,1) , (1,4), (2,3), (3,1) , (3,4) }, S = { (1,0), (2,0) ,(3,1) ,(3,2), (4,1) }
จงหา S o R
0
1
1
1
2
2
2
3
3
4
SoR = {(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1) }
35
โจทย์ คาถาม
เมื่อกาหนดให้
R = { (1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4) } และ
S = { (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1) }
จงหา SoR
36
โจทย์ ท้ายบท
ให้ Aเป็ นเซตประกอบด้วย { 0, 1, 2, 3, 4} โดย R,S เป็ นความสัมพันธ์
บน A
R = { (1,1) , (2,2), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4) }
S = { (1,0), (2,0) ,(3,1) ,(3,2), (4,1) }
1. จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ R และ S มีสมบัติ สะท้อน สมมาตร
ถ่ายทอด และปฏิสมมาตร หรื อไม่
2. จงแทนความสัมพันธ์ R ในรู ปแบบ เมตริ กซ์ (0-1) Mr และ
digraph
3. จงหา S o R
37
Quiz -IV
ให้เลือกโจทย์ปัญหาท้ายบทเรื่ องความสัมพันธ์มาทดสอบอย่างน้อย 1 ข้อ
(15 นาที)
38