Transcript บทที่ 7 เรื่องดีเทอร์วมิแนนท์

เมตริ กซ์ คือตาราง ที่ประกอบด้วยตัวเลข ที่มีความหมาย
สามารถนามาคานวณทางคณิ ตศาสตร์ ได้ง่ายขึ้น เมตริ กซ์นิยมนามาใช้
แก้สมการเชิงเส้น และมีการประยุกต์การใช้เมตริ กซ์ในทาง
คณิ ตศาสตร์อย่างกว้างขวาง
เมตริ กซ์โดยทัว่ ไปจะมี m แถว และมี n คอลัมม์
เราเรี ยกว่าเมตริ กซ์มีขนาดเป็ น m-by-n หรื อ m×n สมาชิกของ
เมตริ กซ์ในแถวที่ i กับคอลัมม์ที่ j นิยมเขียนเป็ น Ai,j หรื อ
A[i,j] โดยที่ aij , 1 ≤ i ≤ m และ 1 ≤ j ≤ n
เมตริ กซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียวเรี ยกว่า เมตริ กซ์แถว ส่ วน
เมตริ กซ์ที่มีสมาชิกเพียงคอลัมม์เดียวเรี ยกว่า เมตริ กซ์คอลัมม์
เมตริ กซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนคอลัมม์เรี ยกว่า เมตริ กซ์
จตุรัส (Square matrix)
ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์
ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ det(A)หรื อ A มีความสาคัญในการ
คานวณทางคณิ ตศาสตร์ วิธีคานวณหาดีเทอร์มิแนนท์มีหลายวิธีดงั นี้
1. การหาโดยตรง (ในกรณี ของเมตริ กซ์ขนาดเล็ก) เช่น
เมตริ กซ์ขนาด 2x2 (หาดีเทอร์มิแนนท์ได้ในกรณี ของเมตริ กซ์จตุรัสเท่านั้น)
-
a b 
A
det A  ad  cb

c d 
+
เมตริ กซ์ขนาด 3x3
 a1

A  a 2
 a3
-
b1
b2
b3
c1  a1

c2  a2
c3  a3
+
-
b1
b2
b3
+
-
+
det A  a1b2 c3  b1c2 a3  c1a2 b3
 a3b2 c1  b3c2 a1  c3 a2 b1
เมตริ กซ์ที่มีขนาดมากกว่านี้จะทาแบบนี้ไม่ได้ ต้องใช้วิธีกระจาย cofactor เท่านั้น
Cofactor Aij หาได้จาก Matrix A ถูกตัดแถวที่ i และ Column ที่ j
ออกไปแล้วหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ที่เหลือ (จะมีขนาดเล็กลง
เสมอ) แล้วนา cofactor มาหาค่าดีเทอร์มิแนนท์
จงหาค่าของ A12 และ A23
2 1 0


A  9 4 6 
 5 3 8 
หาค่า A12 ต้องตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6 


 5 3 8 
9 6
5 8
คูณข้างหน้าด้วย (-1)(1+2) จะได้
A12   1
(1 2)
9 6
 42
5 8
(ต่ อ)
หาค่า A23 ต้องตัดแถวที่ 2 และ Column ที่ 3 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6 


 5 3 8 
2 1
5 3
คูณข้างหน้าด้วย (-1)(2+3) จะได้
A23   1
(23)
2 1
 1
5 3
การกระจาย Cofactor เราสามารถเลือกว่าจะใช้แถวหรื อ Column ใดเป็ นหลักก็ได้
แต่การคานวณจะง่ายขึ้นถ้าเราเลือกแถวหรื อ Column ที่มีสมาชิกเป็ น 0 อยูม่ าก
จงหา Determinant ของ Matrix
4
 1
A
0

0
3 1 0
2 3 5 
1 1 2 

2 3 5 
ขั้นที่ 1 เลือกแถวหรื อ Column ที่จะเป็ นหลัก ในข้อนี้จะเห็นว่า Column ที่ 1
มีสมาชิกเป็ นเลข 0 ถึง 2 ตัว ดังนั้นเราควรจะเลือก Column ที่ 1 เป็ น
หลักในการกระจาย Cofactor
ขั้นที่ 2 เขียนสูตรกระจาย Cofactor ในที่น้ ีเราใช้การกระจายแบบ Column
เราจะต้องทาดังนี้
1. เลือกสมาชิกทุกตัวใน Column ที่ 1 มา เราจะได้
 a11
a
 21
 a31

 a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14 
a24 
a34 

a44 
a11 a21 a31 a41
จากนั้นจึงเขียนสูตร
det( A)  a11 A11  a21 A21  a31 A31  a41 A41
(ในกรณี ทีเลือกแถวที่ 1 เป็ นหลัก จะได้วา่
det(A)  a11 A11  a12 A12  a13 A13  a14 A14 )
คานวณ Cofactor ตามสูตรโดยไม่จาเป็ นต้องคานวณ ถ้าค่า a ij เป็ น 0
ดังนั้นไม่ตอ้ งคานวณ
A31 และ A41 จะเหลือเพียง A11
A21 และ
2 3 5
A11   1
11
1 1 2
2 3 5
จะเห็นว่าในสูตรของ
A11 มีแถวที่ซ้ ากัน 2 แถวดังนั้น
A11  0
(ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ที่มีแถวซ้ ากันมีค่าเป็ น 0)
3
A21   1
2 1
1
0
1 1 2    (3)(1)(5)  (1)(2)(2)  (0)(1)( 3)  (2)( 1)(0)  (2)(3)(3)  (1)(1)(5) 
2 3 5
 (15  4  0  0  18  5)  2
 det( A)  (4)(0)  (1)(2)  (0)( A31)  (0)( A41)  2
ท
คุณสมบัตขิ อง ดีเทอร์ มแิ นนท์
1. ถ้าสลับแถวหรื อสลับคอลัมม์จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เปลี่ยนเครื่ องหมาย
2. ถ้ามีแถวเหมือนกัน 2 แถว หรื อคอลัมม์เหมือนกัน 2 คอลัมม์จะทาให้
เมตริ กซ์น้ นั มีดีเทอร์มิแนนท์เป็ น 0
3. det(At)=det (A)
4. ถ้า A เป็ น triangular matrix ดีเทอร์มิแนนท์คือ A11A22…Ann
5. det (AB)=det(A)det(B)
6. det(kA)=det(kInA)=kndet(A)
7. det(A-1)=1/det(A)
คุณสมบัตขิ อง ดีเทอร์ มแิ นนท์
8. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอลัมม์หนึ่ง
ถูกคูณด้วย k จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็ น k เท่าด้วย
9. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่งเป็ น0
จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็ น 0
10. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่ งถูก
คูณด้วย k แล้วนาไปบวกหรื อลบกับแถวหรื อคอลัมม์ที่สอดคล้องกัน
จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์ไม่เปลี่ยนแปลง
วิธีทา 1. เขียนโจทย์ให้อยูใ่ นรู ป Matrix
1 1 3  x  0 
0 1 4   y    0

   
1 1 1  z   5
เมตริ กซ์ของ
สัมประสิ ทธิ์
เว็คเตอร์ไม่
ทราบค่า
เว็คเตอร์ทราบ
ค่า
2. หา Determinant ของ A
1
1
3
det( A)  0 1 4  6
1 1 1
เว็คเตอร์ทราบค่า
แทน สปส ของ x
3. หาค่า x โดย
x
0 1 3
0 1 4
5 1 1
det( A)
5

6
4. หาค่า y โดย
1 0 3
0 0 4
1 5 1
10
y

det( A)
3
5. หาค่า z โดย
1
1
0
เว็คเตอร์ทราบค่า
แทน สปส ของ y
เว็คเตอร์ทราบค่า
แทน สปส ของ z
0 1 0
1 1 5
5
z

det( A)
6
จะเห็นวิธีของ Crammer rule ต้องหาดีเทอร์มิแนนท์หลายครั้ง จงไม่เหมาะกับ
ระบบสมการเชิงเส้นที่มีหลายตัวแปร (มากกว่า 3)
จงแก้ระบบสมการ
x  2y  z 
2
 x  4y  z 
4
x  3y  z  2
วิธีทำ ระบบสมการที่กาหนดให้เขียนในรู ปสมการเมตริ กซ์ได้เป็ น
ให้
 1 2 1  x 
2
 1 4 1  y    4 

 
 
 1 3 1  z 
 2 
 1 2 1
x 
2
A   1 4 1 , X   y  , B   4 
 1 3 1
 z 
 2 
เนื่องจาก A  2  0 ดังนั้นจะได้
2
x 
1
4 4 1
2 3 1
2
y 
2
1 4 4
1 3 2
2
2
 1
2

2
1
z 
2 1

6
2
 3
#
2 1
1 4 1
1 2 1
2

4
2
 2
โรงเรียนฐำนเทคโนโลยี
โดย แผนกอิเล็กทรอนิกส์