บทที่ 7 เรื่องดีเทอร์วมิแนนท์
Download
Report
Transcript บทที่ 7 เรื่องดีเทอร์วมิแนนท์
เมตริ กซ์ คือตาราง ที่ประกอบด้วยตัวเลข ที่มีความหมาย
สามารถนามาคานวณทางคณิ ตศาสตร์ ได้ง่ายขึ้น เมตริ กซ์นิยมนามาใช้
แก้สมการเชิงเส้น และมีการประยุกต์การใช้เมตริ กซ์ในทาง
คณิ ตศาสตร์อย่างกว้างขวาง
เมตริ กซ์โดยทัว่ ไปจะมี m แถว และมี n คอลัมม์
เราเรี ยกว่าเมตริ กซ์มีขนาดเป็ น m-by-n หรื อ m×n สมาชิกของ
เมตริ กซ์ในแถวที่ i กับคอลัมม์ที่ j นิยมเขียนเป็ น Ai,j หรื อ
A[i,j] โดยที่ aij , 1 ≤ i ≤ m และ 1 ≤ j ≤ n
เมตริ กซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียวเรี ยกว่า เมตริ กซ์แถว ส่ วน
เมตริ กซ์ที่มีสมาชิกเพียงคอลัมม์เดียวเรี ยกว่า เมตริ กซ์คอลัมม์
เมตริ กซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนคอลัมม์เรี ยกว่า เมตริ กซ์
จตุรัส (Square matrix)
ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์
ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ det(A)หรื อ A มีความสาคัญในการ
คานวณทางคณิ ตศาสตร์ วิธีคานวณหาดีเทอร์มิแนนท์มีหลายวิธีดงั นี้
1. การหาโดยตรง (ในกรณี ของเมตริ กซ์ขนาดเล็ก) เช่น
เมตริ กซ์ขนาด 2x2 (หาดีเทอร์มิแนนท์ได้ในกรณี ของเมตริ กซ์จตุรัสเท่านั้น)
-
a b
A
det A ad cb
c d
+
เมตริ กซ์ขนาด 3x3
a1
A a 2
a3
-
b1
b2
b3
c1 a1
c2 a2
c3 a3
+
-
b1
b2
b3
+
-
+
det A a1b2 c3 b1c2 a3 c1a2 b3
a3b2 c1 b3c2 a1 c3 a2 b1
เมตริ กซ์ที่มีขนาดมากกว่านี้จะทาแบบนี้ไม่ได้ ต้องใช้วิธีกระจาย cofactor เท่านั้น
Cofactor Aij หาได้จาก Matrix A ถูกตัดแถวที่ i และ Column ที่ j
ออกไปแล้วหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ที่เหลือ (จะมีขนาดเล็กลง
เสมอ) แล้วนา cofactor มาหาค่าดีเทอร์มิแนนท์
จงหาค่าของ A12 และ A23
2 1 0
A 9 4 6
5 3 8
หาค่า A12 ต้องตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
9 6
5 8
คูณข้างหน้าด้วย (-1)(1+2) จะได้
A12 1
(1 2)
9 6
42
5 8
(ต่ อ)
หาค่า A23 ต้องตัดแถวที่ 2 และ Column ที่ 3 ออก จะได้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
2 1
5 3
คูณข้างหน้าด้วย (-1)(2+3) จะได้
A23 1
(23)
2 1
1
5 3
การกระจาย Cofactor เราสามารถเลือกว่าจะใช้แถวหรื อ Column ใดเป็ นหลักก็ได้
แต่การคานวณจะง่ายขึ้นถ้าเราเลือกแถวหรื อ Column ที่มีสมาชิกเป็ น 0 อยูม่ าก
จงหา Determinant ของ Matrix
4
1
A
0
0
3 1 0
2 3 5
1 1 2
2 3 5
ขั้นที่ 1 เลือกแถวหรื อ Column ที่จะเป็ นหลัก ในข้อนี้จะเห็นว่า Column ที่ 1
มีสมาชิกเป็ นเลข 0 ถึง 2 ตัว ดังนั้นเราควรจะเลือก Column ที่ 1 เป็ น
หลักในการกระจาย Cofactor
ขั้นที่ 2 เขียนสูตรกระจาย Cofactor ในที่น้ ีเราใช้การกระจายแบบ Column
เราจะต้องทาดังนี้
1. เลือกสมาชิกทุกตัวใน Column ที่ 1 มา เราจะได้
a11
a
21
a31
a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14
a24
a34
a44
a11 a21 a31 a41
จากนั้นจึงเขียนสูตร
det( A) a11 A11 a21 A21 a31 A31 a41 A41
(ในกรณี ทีเลือกแถวที่ 1 เป็ นหลัก จะได้วา่
det(A) a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14 )
คานวณ Cofactor ตามสูตรโดยไม่จาเป็ นต้องคานวณ ถ้าค่า a ij เป็ น 0
ดังนั้นไม่ตอ้ งคานวณ
A31 และ A41 จะเหลือเพียง A11
A21 และ
2 3 5
A11 1
11
1 1 2
2 3 5
จะเห็นว่าในสูตรของ
A11 มีแถวที่ซ้ ากัน 2 แถวดังนั้น
A11 0
(ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ที่มีแถวซ้ ากันมีค่าเป็ น 0)
3
A21 1
2 1
1
0
1 1 2 (3)(1)(5) (1)(2)(2) (0)(1)( 3) (2)( 1)(0) (2)(3)(3) (1)(1)(5)
2 3 5
(15 4 0 0 18 5) 2
det( A) (4)(0) (1)(2) (0)( A31) (0)( A41) 2
ท
คุณสมบัตขิ อง ดีเทอร์ มแิ นนท์
1. ถ้าสลับแถวหรื อสลับคอลัมม์จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เปลี่ยนเครื่ องหมาย
2. ถ้ามีแถวเหมือนกัน 2 แถว หรื อคอลัมม์เหมือนกัน 2 คอลัมม์จะทาให้
เมตริ กซ์น้ นั มีดีเทอร์มิแนนท์เป็ น 0
3. det(At)=det (A)
4. ถ้า A เป็ น triangular matrix ดีเทอร์มิแนนท์คือ A11A22…Ann
5. det (AB)=det(A)det(B)
6. det(kA)=det(kInA)=kndet(A)
7. det(A-1)=1/det(A)
คุณสมบัตขิ อง ดีเทอร์ มแิ นนท์
8. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอลัมม์หนึ่ง
ถูกคูณด้วย k จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็ น k เท่าด้วย
9. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่งเป็ น0
จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็ น 0
10. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่ งถูก
คูณด้วย k แล้วนาไปบวกหรื อลบกับแถวหรื อคอลัมม์ที่สอดคล้องกัน
จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์ไม่เปลี่ยนแปลง
วิธีทา 1. เขียนโจทย์ให้อยูใ่ นรู ป Matrix
1 1 3 x 0
0 1 4 y 0
1 1 1 z 5
เมตริ กซ์ของ
สัมประสิ ทธิ์
เว็คเตอร์ไม่
ทราบค่า
เว็คเตอร์ทราบ
ค่า
2. หา Determinant ของ A
1
1
3
det( A) 0 1 4 6
1 1 1
เว็คเตอร์ทราบค่า
แทน สปส ของ x
3. หาค่า x โดย
x
0 1 3
0 1 4
5 1 1
det( A)
5
6
4. หาค่า y โดย
1 0 3
0 0 4
1 5 1
10
y
det( A)
3
5. หาค่า z โดย
1
1
0
เว็คเตอร์ทราบค่า
แทน สปส ของ y
เว็คเตอร์ทราบค่า
แทน สปส ของ z
0 1 0
1 1 5
5
z
det( A)
6
จะเห็นวิธีของ Crammer rule ต้องหาดีเทอร์มิแนนท์หลายครั้ง จงไม่เหมาะกับ
ระบบสมการเชิงเส้นที่มีหลายตัวแปร (มากกว่า 3)
จงแก้ระบบสมการ
x 2y z
2
x 4y z
4
x 3y z 2
วิธีทำ ระบบสมการที่กาหนดให้เขียนในรู ปสมการเมตริ กซ์ได้เป็ น
ให้
1 2 1 x
2
1 4 1 y 4
1 3 1 z
2
1 2 1
x
2
A 1 4 1 , X y , B 4
1 3 1
z
2
เนื่องจาก A 2 0 ดังนั้นจะได้
2
x
1
4 4 1
2 3 1
2
y
2
1 4 4
1 3 2
2
2
1
2
2
1
z
2 1
6
2
3
#
2 1
1 4 1
1 2 1
2
4
2
2
โรงเรียนฐำนเทคโนโลยี
โดย แผนกอิเล็กทรอนิกส์