Transcript ตอนที่ 11.1 การแจกแจงความน่ าจะ เป็ นของตัวแปรสุ่ ม ตอนที่ 11.2 การแจกแจงความน่ าจะ เป็ นของตัวแปรสุ่ มแบบ ไม่ ต่อเนื่อง ตอนที่ 11.3 การแจกแจงความน่ าจะ เป็ นของตัวแปรสุ่ ม แบบต่ อเนื่อง.

ตอนที่ 11.1
การแจกแจงความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรสุ่ ม
ตอนที่ 11.2
การแจกแจงความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรสุ่ มแบบ
ไม่ ต่อเนื่อง
ตอนที่ 11.3
การแจกแจงความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรสุ่ ม
แบบต่ อเนื่อง
ตอนที่ 11.1
การแจกแจงความน่ าจะเป็ น
ของตัวแปรส่ ุ ม
ความหมายของตัวแปรส่ ุ ม
ในการทดลองเชิงสุ่ ม เราสนใจเหตุการณ์
ทีเ่ กิดขึน้ บนปริภูมตัวอย่ าง ซึ่งเหตุการณ์
นั้นๆ มักเกีย่ วข้ องกับจานวนต่ างๆที่
สามารถใช้ เลขจานวนจริงแทนเหตุการณ์
ที่สนใจได้
ตัวอย่ าง
ในการโยนเหรียญสองอันหนึ่งครั้ง
เหตุการณ์ ทสี่ นใจคือ เหรียญหงาย
ด้ านหัวกีเ่ หรียญ
ถ้ ากาหนดให้ H แทน หัว
T แทน ก้ อย
ดังนั้นเหตุการณ์ เป็ นไปได้ คอื
เหตุการณ์ ที่ 1 ไม่ มีเหรียญหงายด้ านหัว
แทนด้ วย TT หรือมี
จานวนหัวเท่ ากับ 0
เหตุการณ์ ที่ 2 มีหนึ่งเหรียญที่หงายด้ าน
หัว แทนด้ วย HT หรือ
TH หรือมีจานวนหัว
เท่ ากับ 1
ดังนั้นเหตุการณ์ เป็ นไปได้ คอื
เหตุการณ์ ที่ 3 เหรียญทั้งสองหงายด้ าน
หัว แทนด้ วย HH หรือมี
จานวนหัวเท่ ากับ 2
จะเห็นได้ ว่าสามารถใช้ จานวนจริงแทน
เหตุการณ์ ต่างๆ ทีเ่ กิดขึน้ ในการทดลอง
เชิงสุ่ มได้
ฟังก์ชันทีจ่ บั คู่เหตุการณ์ ในปริภูมิ
ตัวอย่ าง กับจานวนจริงเรียกว่ า
ตัวแปรสุ่ ม (Random Variable)
การทดลองเชิงสุ่ มโยนเหรียญสอง
อันหนึ่งครั้ง
x
HH
HT
TH
TT
0
1
2
การทดลองเชิงสุ่ มโยนเหรียญสอง
อันหนึ่งครั้ง
x คือตัวแปรสุ่ มทีแ่ ทนจานวนหัว
x คือฟังก์ ชันทีจ่ บั คู่เหตุการณ์ ทมี่ โี ดแมน
เป็ นปริภูมติ วั อย่ าง (sample space)
ของการทดลองเชิงสุ่ มหนึ่งและมีเรนจ์
เป็ นสั บเซตของจานวนจริง
ตัวอย่ างของตัวแปรสุ่ ม
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้ าให้ x
แทนจานวนบุตรชาย
ตัวแปรสุ่ ม
X มีค่าเป็ น 0 กรณีครอบครัวนีไ้ ม่
มีบุตรชาย
ตัวอย่ างของตัวแปรสุ่ ม
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้ าให้ x
แทนจานวนบุตรชาย
ตัวแปรสุ่ ม
X มีค่าเป็ น 1 กรณีครอบครัวนีม้ ี
บุตรชาย 1 คน
ตัวอย่ างของตัวแปรสุ่ ม
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้ าให้ x
แทนจานวนบุตรชาย
ตัวแปรสุ่ ม
x
มีค่าเป็ น 2 กรณีครอบครัวนีม้ ี
บุตรชาย 2 คน
ตัวอย่ างของตัวแปรสุ่ ม
1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้ าให้ x
แทนจานวนบุตรชาย
ตัวแปรสุ่ ม
x มีค่าเป็ น 3 กรณีครอบครัวนีม้ ี
บุตรชาย 3 คน
ตัวอย่ างของตัวแปรสุ่ ม (ต่ อ)
2 โรงงานแห่ งหนึ่งต้ องการตรวจสอบ
อายุการใช้ งานเครื่องใช้ ไฟฟ้าทีผ่ ลิต
ขึน้
ถ้ าให้
แทนอายุการใช้ งานของ
เครื่องใช้ ไฟฟ้าชนิดหนึ่ง
Z
ตัวอย่ างของตัวแปรสุ่ ม (ต่ อ)
2 โรงงานแห่ งหนึ่งต้ องการตรวจสอบ
อายุการใช้ งานเครื่องใช้ ไฟฟ้าทีผ่ ลิต
ขึน้
ตัวแปรสุ่ ม Z มีค่าเป็ นจานวนจริง
ทีไ่ ม่ น้อยกว่ าศูนย์
ชนิดของตัวแปรสุ่ ม มี 2 ชนิด
1 ตัวแปรสุ่ มแบบไม่ ต่อเนื่อง
คือฟังก์ชันทีจ่ บั คู่เหตุการณ์ ในปริภูมติ วั อย่ าง
ของการทดลองเชิงสุ่ มหนึ่งที่
มีเรนจ์ คือ เซตที่นับได้ ซึ่งอาจเป็ น
เซตจากัดหรือ เซตอนันต์ เช่ น จานวน ครั้ง
ของการโยนเหรียญหนึ่งอัน
ชนิดของตัวแปรสุ่ ม มี 2 ชนิด
1 ตัวแปรสุ่ มแบบไม่ ต่อเนื่อง
จนกว่ าเหรียญจะหงายด้ านหัว
(เรนจ์ คอื เซตอนันต์ ) จานวนเด็กชาย
ที่เกิดใหม่ ต่อวันในโรงพยาบาลแห่ ง หนึ่ง
(เรนจ์ คอื เซตที่นับได้ )
ชนิดของตัวแปรสุ่ ม
2 ตัวแปรสุ่ มแบบต่ อเนื่อง
คือฟังก์ชันทีจ่ บั คู่เหตุการณ์ ในปริภูมิ
ตัวอย่ างของการทดลองเชิงสุ่ มหนึ่งที่
มีเรนจ์ คือช่ วงซึ่งเป็ นสั บเซตจานวน
จริง เช่ น
ชนิดของตัวแปรสุ่ ม
2 ตัวแปรสุ่ มแบบต่ อเนื่อง
ปริมาณนา้ ฝนในพืน้ ที่แห่ งหนึ่งใน
เดือนพฤษภาคม
อายุการใช้ งานของหลอดไฟฟ้าใน
โรงงานแห่ งหนึ่ง
กิจกรรม
ในการซื้อตั๋วชิงรางวัลชนิดหนึ่งราคา
ตั๋วใบละ 100 บาทถ้ ารางวัลที่กาหนด
ไว้ คอื เงินสดจานวน 100,000 บาท
50,000 บาท 25,000 บาท 10,000 บาท
2,000 บาท และตั๋วชิงรางวัลฟรี 1 ใบ
กิจกรรม
สมมติว่าลงทุนซื้อตัว๋ ชิงรางวัลหนึ่งใบ
อย่ างสุ่ มเพือ่ เสี่ ยงโชคว่ าจะได้ กาไร
หรือไม่
จากโจทย์ ข้างต้ นให้
1. จงกาหนดตัวแปรสุ่ ม
กิจกรรม
สมมติว่าลงทุนซื้อตัว๋ ชิงรางวัลหนึ่งใบ
อย่ างสุ่ มเพือ่ เสี่ ยงโชคว่ าจะได้ กาไร
หรือไม่
จากโจทย์ ข้างต้ นให้
2. ค่ าทีเ่ ป็ นไปได้ ของตัวแปรสุ่ มใน
ข้ อ1 คือค่ าใดบ้ าง
เฉลยกิจกรรม
1 กาหนดให้
x
x
คือตัวแปรสุ่ ม
แทนกาไรทีไ่ ด้ ในการซื้อตั๋ว
ชิงรางวัลหนึ่งใบ
เฉลยกิจกรรม
2 ค่าทีเ่ ป็ นไปได้ ของ x มีดงั นี้
x
= 99,900 กรณีทถี่ ูกรางวัลเงิน
สดจานวน 100,000 บาท
x=
49,900 กรณีทถี่ ูกรางวัลเงินสด
จานวน 50,000 บาท
เฉลยกิจกรรม
2 ค่าทีเ่ ป็ นไปได้ ของ x มีดงั นี้
x
= 19,900 กรณีทถี่ ูกรางวัลเงินสด
จานวน 20,000 บาท
x
= 9,900 กรณีทถี่ ูกรางวัลเงินสด
จานวน 10,000 บาท
เฉลยกิจกรรม
2 ค่าทีเ่ ป็ นไปได้ ของ x มีดงั นี้
x
x
= 0 กรณีทถี่ ูกรางวัลได้ ตวั๋ ชิง
รางวัลฟรี 1 ใบ
= -100 กรณีทไี่ ม่ ถูกรางวัลใดๆ เลย
ฟังก์ ชันการแจกแจง
ของตัวแปรส่ ุ ม
ในการทดลองเชิงส่ ุ มหนึ่งๆ การหาค่ า
สถิติต่างๆ เช่ นค่ าเฉลีย่ ค่ าความ
แปรปรวน จาเป็ นต้ องทราบการแจก
แจงความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์
ต่ างๆ ซึ่งก็คอื การแจกแจงความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรส่ ุ มทีม่ คี ่ าต่ างๆ
ฟังก์ชันความน่ าจะเป็ นของตัวแปร
ส่ ุ มแบบไม่ ต่อเนื่อง
ถ้ า x เป็ นตัวแปรสุ่ มแบบไม่ ต่อเนื่อง
ความน่ าจะเป็ นทีต่ วั แปรสุ่ มมีค่าค่ า
หนึ่งกาหนดโดย
ฟังก์ชันความน่ าจะเป็ นของตัวแปร
ส่ ุ มแบบไม่ ต่อเนื่อง
P(X=xi) เมื่อ i = 1, 2, 3, ........ ค่ านี้
เรียกว่ า ฟังก์ ชันความน่ าจะเป็ น
ของตัวแปรส่ ุ ม X ซึ่งต่ อไปนีจ้ ะ
แทนด้ วย ()
ตัวอย่ าง
โยนเหรียญเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญสามครั้ง
ถ้ า H หมายถึง หัว และ T หมายถึง ก้อย
กาหนดให้ x แทนจานวนหัวที่ปรากฏใน
การโยนเหรียญทั้งสามครั้ง
จงแจกแจงความน่ าจะเป็ นของค่ าตัว
แปรสุ่ ม x
วิธีทา
ปริภูมติ วั อย่ าง คือ
HHH
HHT, HTH, THH
x=3
x=2
HTT, THT, TTH x = 1
TTT
x=0
0
1
2
3
x=0
x=1
คือเหตุการณ์ (TTT) ซึ่งมีความน่ า
จะเป็ น คือ
1
P (x=0) = P (TTT) =
8
คือเหตุการณ์ (HTT, THT, TTH)
ซึ่งมีค่าความน่ าจะเป็ น คือ
P(x=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH)
1
1
1
3
=8+8+8 = 8
x=2
คือเหตุการณ์ (HHT,HTH, THH)
ซึ่งมีความน่ าจะเป็ น คือ
P(x=2) = P(HHT) + P(HTH) +P(THH)
1
1
1
3
=8+8+8 = 8
x=3
คือเหตุการณ์ (HHH) ซึ่งมีความน่ า
จะเป็ น คือ
1
P(x=3) = P(HHH) =
8
x
P(x =  ) หรือ ()
0 1 2 3
1 3 3 1
8 8 8 8
บทนิยาม
ฟังก์ชันความน่ าจะเป็ น
ถ้ า x คือตัวแปรสุ่ มแบบไม่ ต่อเนื่องที่มี
ค่ า เป็ นไปได้ อยู่ในเซตทีน่ ับได้
x1, x2, x3…….
แล้ว
ฟังก์ชัน ซึ่งเป็ นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ
เซตจานวนจริงและเรนจ์ คือ ช่ วง
[ 0,1] เรียกว่ า เป็ นฟังก์ชันความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรสุ่ ม x เมื่อ
1. (i )  0 สาหรับ i = 1 , 2, 3,…
2. () = 0 สาหรับ    i ; i=1,2,3,….
ฟังก์ชัน  ซึ่งเป็ นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ
เซตจานวนจริงและเรนจ์ คือ ช่ วง
[ 0,1] เรียกว่ า เป็ นฟังก์ชันความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรสุ่ ม x เมื่อ
3. (i) = 1 สาหรับ i = 1, 2, 3,…
∑

(
)
4. P(A) = 
เมื่อ A คือเหตุการณ์
A
บนปริภูมติ วั อย่ างหนึ่ง
ฟังก์ชันความหนาแน่ นของความน่ าจะ
เป็ นของตัวแปรสุ่ มแบบต่ อเนื่อง
การแจกแจงความน่ าจะเป็ นของตัวแปรสุ่ ม
แบบต่ อเนื่อง (x) เขียนแทนได้ ด้วยเส้ น
โค้ งของฟังก์ชันที่เรียกว่ า ฟังก์ ชันความ
หนาแน่ นของความน่ าจะเป็ น หรือ (x)
โดย( ) ใช้ ในการคานวณค่ าความ
น่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ A
บทนิยาม ฟังก์ชันความหนาแน่ นของ
ความน่ าจะเป็ น
ฟังก์ชันใดๆ ที่มีโดเมนคือเซตจานวน
จริงและเรนจ์ คือ
[ 0, ) ฟังก์ชันนีจ้ ะเรียกว่ า ฟังก์ชัน
ความหนาแน่ นของความน่ าจะเป็ นหรือ
p.d. เมื่อ
1. (b )  0 สาหรับทุกๆ ค่ าของ 
2. a ( ) = d = 1
ตัวอย่ าง
กาหนดให้ x แทนอายุการใช้ งานของ
หลอดไฟฟ้ายีห่ ้ อหนึ่งซึ่งมี p.d..
กาหนดโดย
-
1
100

( ) = 100 e ; 0    
ถ้ า A คือเหตุการณ์ ทหี่ ลอดไฟฟ้ามีอายุ
การใช้ งานมากกว่ า 100 ชั่วโมง จงหา
ความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ A
วิธีทา

P(A) = P(   100) = 100 ()d 
=

-
1
100

e

d
100 100
การแจกแจงความน่ าจะเป็ นของตัวแปรสุ่ ม แบบ
ไม่ ต่อเนื่อง
การแจกแจงทวินาม
ถ้ าการทดลองเชิงสุ่ มหนึ่ง ผลลัพธ์ ทเี่ ป็ น
ไปได้ มีเพียงสองทางคือ “สาเร็จ” และ
“ไม่ สาเร็จ” หรือค่ าที่เป็ นไปได้ ของตัวแปร
สุ่ มมีเพียงสองค่ า เช่ น ในการโยนเหรียญ
หนึ่งเหรียญ 1 ครั้ง
การแจกแจงความน่ าจะเป็ นของตัวแปรสุ่ ม แบบ
ไม่ ต่อเนื่อง
กาหนด ผลลัพธ์ ที่เรียกว่ า “สาเร็จ”
คือ เหรียญหงายหัว (H)
และผลลัพธ์ ที่เรียก “ไม่ สาเร็จ” คือ
เหรียญหงายก้อย (T)
ถ้ าตัวแปรสุ่ ม x แทนจานวนหัว
ดังนั้น x มีค่าเป็ นไปได้ สองค่ า คือ 1
และ 0 และตัวแปรสุ่ ม x นีเ้ รียกว่ า ตัว
แปรสุ่ ม
ซึ่งมีฟังก์ชันความน่ าจะเป็ นดังนี้
P(X=1) = p
หรื อ(
=
)
P(X= 0) = 1 – p
p  (1-p)1- 
0
;  = 0,1
;  มีค่าอื่นๆ
ถ้ าในการทดลองเชิงสุ่ มหนึ่งเป็ นการ
ทดลองสุ่ มเบอร์ นูลลีซ้าๆ กัน n ครั้งแต่ ละ
ครั้งเป็ นอิสระกัน และมีความน่ าจะเป็ น
ของผลลัพธ์ ที่สาเร็จ p
ถ้ าให้ x แทนจานวนครั้งที่สาเร็จใน
การทดลอง n ครั้ง
ถ้ าในการทดลองเชิงสุ่ มหนึ่งเป็ นการ
ทดลองสุ่ มเบอร์ นูลลีซ้าๆ กัน n ครั้งแต่ ละ
ครั้งเป็ นอิสระกัน และมีความน่ าจะเป็ น
ของผลลัพธ์ ที่สาเร็จ p
x จะเรียกว่ า ตัวแปรสุ่ มทวินาม
(binomial random variable)
และการแจกแจงความน่ าจะเป็ นของ x
เรียกว่ า การแจกแจงทวินาม
การแจกแจงทวินาม เขียนแทนด้ วย
b (x;n,p) = P(x=  ) =  ()

n- 
=  p (1- p)
เมือ่  = 0, 1, 2,….n
การคานวณหาค่ า b(x;n,p) ถ้ าทราบค่ า n
และ p สามารถหาค่ าดังกล่าวได้ จากตาราง
1 ในภาคผนวก หน้ า 316
n
ตัวอย่ าง
ถ้ า 20% ของจานวนต้ นไม้ ทปี่ ลูกใหม่ ใน
พ.ท.แห่ งหนึ่งตายจงหาความน่ าจะเป็ น ที่
ต้ นไม้ ทปี่ ลูกใหม่ 10 ต้ น ตายไป 4 ต้ น
วิธีทา
กาหนดให้ x แทนจานวนต้ นไม้
ทีป่ ลูกใหม่ แล้วตาย
ตัวอย่ าง
เป็ นตัวแปรสุ่ มทวินาม
เพราะการปลูกต้ นไม้ แต่ ละ
ต้ น
เป็ นการสุ่ มเบอร์ นูลลี
ความน่ าจะเป็ นของต้ นไม้ ทปี่ ลูกใหม่
แล้วตาย คือ 0.20 (p) และ n = 10 ต้ น
ดังนั้น
x
() = b( ;10, 0.20)
(2) = b(4;10, 0.20) = 10
4
4
6
0.20 0.80
หรือ
4
3
 = b(k;10, 0.20)  b(k;10, 0.20)
k= 0
=
k= 0
0.9672 - 0.8791 = 0.0881
เปิ ดตาราง หน้ า 317
ตารางที่ 1(ต่ อ)
n 
10
0.05
0.10
0.15
0.20
........
0
1
2
3
4
5
0.8791
0.9672
การแจกแจงความน่ าจะเป็ นของตัวแปรสุ่ ม
แบบต่ อเนื่อง
การแจกแจงปกติ
การแจกแจงของตัวแปรสุ่ มแบบต่ อเนื่องที่
มีการนาไปใช้ อย่ างกว้ างขวางเพราะ
เหตุการณ์ ต่างๆ ทีเ่ กิดขึน้ ในเรื่องต่ างๆ มี
ทั้งการแจกแจงปกติและการแจกแจงที่
ประมาณได้ ว่าเป็ นการแจกแจงปกติ
การแจกแจงความน่ าจะเป็ นของตัวแปรสุ่ ม
แบบต่ อเนื่อง
ตัวอย่ าง
เช่ น ตัวแปรสุ่ มทีแ่ ทนความสู ง
นา้ หนัก คะแนนสอบ ปริมาณนา้ ฝน
เวลาในการผลิตสิ นค้ า อายุใช้ งานของ
เครื่องใช้ ไฟฟ้า ฯลฯ
เป็ นตัวแปรสุ่ มแบบต่ อเนื่อง ทีมีการ
แจกแจงความน่ าจะเป็ นแบบปกติดงั นั้น
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่ า2จะเป็ นปกติ
-1 -
คือ
2

1
e
;-     
() =
2¶
= 0
; ในที่อนื่
โดยมี  คือค่ าเฉลีย่
 คือส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
การแจกแจงปกติ
X
การแจกแจงมีลกั ษณะเป็ นกราฟที่เรียกว่ า
โค้ งปกติมีลกั ษณะเป็ นระฆังควา่ ดังภาพ
พืน้ ที่ใต้ โค้ งคิดเป็ น 1 หรือ 100%
เส้ นโค้ งปกติไม่
สั มผัสแกน x
ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 
เส้ นโค้ งปกติไม่
สั มผัสแกน x
ค่ าเฉลีย่ = 
การแจกแจงปกติมาตรฐาน
เป็ นการแจกแจงปกติที่มีลกั ษณะ
แบบหนึ่งคือ มีค่าเฉลีย่ () = 0 และมี
ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน () = 1 และมี
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่ าจะเป็ นคือ
 =
()
1
2¶
=0
e
-1 2
2
; เมื่อ -     
; ในที่อน
ื่ ๆ
ตัวแปรสุ่ มทีม่ กี ารแจกแจงปกติมาตรฐาน
นิยม แทนด้ วย z ซึ่งเรียกว่ าค่ ามาตรฐาน
หรือค่ า Z หรือคะแนนมาตรฐาน และ
เส้ นโค้ งของการแจกแจงปกติมาตรฐาน
เรียกว่ า โค้ งมาตรฐาน
=0
=1
-3
-2 -1
0
1
2
3
การหาค่ าความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ทมี่ ี
การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
ใช้ ตารางที่ 3 ในภาคผนวก หน้ า 321 เปิ ด
หาพืน้ ที่ใต้ โค้ งปกติมาตรฐาน
ตัวอย่ าง
จงหาค่ าความน่ าจะเป็ นที่ z มีค่าอยู่
ระหว่ าง 0 และ 1.96 เมื่อ Z เป็ นตัวแปร
สุ่ มทีม่ กี ารแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
การหาค่ าความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ทมี่ ี
การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน
วิธีทา
P(0  z  1.96) = P(z  1.96) P(z  0)
0
1.96
วิธีเปิ ดตารางที่ 3 หน้ า 321 ในภาคผนวก
P(z  1.96)
z
0.00
0.01
0.06
-3.4
.
.
.
0.0
0.1
.
.
.
1.9
0
1.96
พ.ท.สะสมจาก
-ถึง 1.96
0.9750
P(z  0)
z
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
-3.4
.
.
.
0.0
0.5000
พ.ท.สะสมจาก
-ถึง 0
0
ดังนั้น
P(0  z  1.96) = P(z  1.96) P(z  0)
= 0.9750 – 0.5000
= 0.4750
การแปลงตัวแปรสุ่ มปกติเป็ นตัวแปรสุ่ ม
ปกติมาตรฐาน
ถ้ า x เป็ นตัวแปรสุ่ มปกติทมี่ คี ่ าเฉลีย่ 
และค่ าความแปรปรวน 2
จะได้ ว่า z = x - 

เป็ นตัวแปรสุ่ มปกติมาตรฐาน
ตัวอย่ าถ้งา X เป็ นตัวแปรสุ่ มทีม่ คี ่ า
เฉลีย่ 25 และค่ าความแปรปรวน 16 จงหา
P(18 x  34)
วิธีทา
1. แปลงตัวแปรสุ่ มปกติ x ให้ เป็ นตัว
แปรสุ่ มปกติมาตรฐาน z
2. เปิ ดตารางที่ 3 หน้ า 321 ภาคผนวก
เพือ่ หาค่ า ความน่ าจะเป็ น
P(18 x 
34)
= P ( 18   X   34 )



= P ( 18 25  Z  34 25)
16
16
= P ( -1.75  Z  2.25 )
P (-1.75
z 2.25) ดังภาพ
พ.ท.แรเงาในภาพ
-1.75
0
= 0.9878 – 0.0401
= 0.9477
2.25
P(z  2.25)
z
0.01
0.05
-3.4
0.0
2.2
0
1.96
0.9878
พ.ท.สะสมจาก -ถึง 2.25
P(z  -1.75)
z
0.00
0.01
0.05
-3.4
.
.
.
-1.7
พ.ท.สะสมจาก -ถึง -1.75
0.0401
-1.75
0
การแจกแจงไคสแควร์
เป็ นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ ม
แบบต่ อเนื่องที่มีค่ามากกว่ า 0 กราฟของ
ฟังก์ชันการแจกแจงจะมีลกั ษณะแตกต่ าง
กันขึน้ กับค่ าพารามิเตอร์ ที่เรี ยกว่ า
จานวนองศาแห่ งความเป็ นอิสระ
โค้ งของการแจกแจงไคสแควร์ มีลกั ษณะ
เบ้ ขวา และจะเบ้ มากหรือน้ อยขึน้ กับ
จานวนองศาแห่ งความเป็ นอิสระ ดังภาพ
d..= 2 d..= 7
0 1 2 3
d..= 12
10 11 12 13 14 15 16 17
2

ตัวอย่ างการเปิ ดตารางไคสแควร์
กาหนดพืน้ ทีใ่ ต้ โค้ งไคสแควร์
ด้ านขวาเท่ ากับ 0.025 จงหาค่ าไคส
แควร์ ทสี่ อดคล้ องกันทีอ่ งศาแห่ ง
ความเป็ นอิสระ 20 จากตาราง
จากตารางที่ 5 หน้ า 323
2

พ.ท.ใต้ โค้ งทางขวาของ
องศาแห่ ง
เป็ นความ
อิสระ
0

2
0.995 0.99
1
2
3
.
.
19
20
……
0.025 0.01 0.005
2

ค่ า ที่ต้องการ
34.1708
การแจกแจง t หรือ student’s
t เป็ นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ มแบบ
ต่ อเนื่อง ที่มีโค้ งการแจกแจงคล้ายกับ การ
แจกแจงปกติโดยมี
1 ค่ าเฉลีย่ เป็ น 0
2 มีความโค้ งและความชันโค้ งน้ อย
กว่ าโค้ งปกติ
3 ส่ วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่ าการ
แจกแจงปกติ
โค้ งการแจกแจง t
=0
พ.ท. ใต้ โค้ งการแจกแจง t ทั้งหมดคิดเป็ น
1 หรือ 100%
ตัวอย่ างกาหนด พ.ท. ใต้ โค้ งการแจกแจง
t ทางด้ านขวาเท่ ากับ 0.025
จงหาค่ า t ที่สอดคล้องกันที่องศา
แห่ งความเป็ นอิสระ เท่ ากับ 7
จากตารางที่ 4 หน้ า 332
พ.ท.ใต้ โค้ งทางซ้ ายของ t
พ.ท.ใต้ โค้ งทางซ้ ายของ t
0
พ.ท. = 0.025
0

0.10
1
2
3
.
.
7
0.05
0.025
2.365
t = 2.365
กิจกรรม
จงหา พ.ท.ทางด้ านที่สอดคล้ อง
กับค่ า t = -1.717 และองศา
แห่ งความเป็ นอิสระ 22
0.05
วิธีทา
0

1
2
3
.
.
22
0.10
0.05
1.717
t = 1.717,df = 22
0
กาหนด t = -1.717
df = 22
จากภาพ พ.ท.ดังกล่าว คือ พ.ท. ทาง
ด้ านซ้ ายเท่ ากับ 0.05
0.05
วิธีทา
0

1
2
3
.
.
22
0.10
0.05
1.717
t = 1.717,df = 22
0
กาหนด t = -1.717
df = 22
เนื่องจากตารางแจกแจง t เป็ น
การแจกแจงที่สมมาตรกัน