Transcript ม.6 คาบที่ 17-18 - KIDs

ความน่ าจะเป็ น
ความน่ าจะเป็ น
ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวังรายคาบ
1. อธิบายความหมายของความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ได้
2. หาความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ทกี่ าหนดให้ โดยวิธีนับจานวนสมาชิกของ
เหตุการณ์ และจานวนสมาชิกของแซมเปิ ลสเปซโดยตรงได้
3. หาความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ทกี่ าหนดให้ โดยใช้ ความรู้ เรื่อง กฎการนับ
วิธีเรียงสั บเปลีย่ น และวิธีจัดหมู่ คานวณหาจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ และ
จานวนสมาชิกของแซมเปิ ลสเปซโดยตรงได้
แทนจานวน
สมาชิกของ
เหตุการณ์ ทสี่ นใจ
แทนความน่ าจะเป็ นของ
เหตุการณ์ E
n(E)  P(E)
n(S)
แทนจานวนสมาชิกของ
แซมเปิ ลสเปซ
ความน่ าจะเป็ น คือ อัตราส่ วนระหว่ างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ ทสี่ นใจ
กับจานวนสมาชิกของแซมเปิ ลสเปซทีม่ ีโอกาสเกิดขึน้ ได้ เท่ าๆ กัน
ตัวอย่ าง จงหาความน่ าจะเป็ นของการทอดลูกเต๋ า 1 ลูก
1 ครั้ง เพือ่ ให้ ได้ แต้ มมากกว่ า 3
ให้ S แทนแซมเปิ ลสเปซ จะได้
S = {1,2,3,4,5,6}
ลูกเต๋ ามี 6 หน้ า
เหตุการณ์ ทตี่ ้ องการคือ ให้ ขนึ้ แต้ มมากกว่ า 3 จะได้ E = { 4, 5, 6 }
ดังนั้น n(E)  3
ความน่ าจะเป็ นของการทอดลูกเต๋ า 1 ลูก 1 ครั้ง ให้ ได้ แต้ มมากกว่ า 3 คือ
n(E)
3
1
P(E) 


6
2
n(S)
ตัวอย่ าง จงหาความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ต่างๆ ดังต่ อไปนี้
1) ได้ หัวสองหัวจากการโยนเหรียญสองอันหนึ่งครั้ง
เหรียญที่ 1
วิธีคดิ จากโจทย์ จะได้
S = { HH , HT , TH , TT }
ดังนั้น n(S) = 4
E = { HH } ดังนั้น n(E) = 1
จะได้
P(E)

n(E)
n(S)

1
4
เหรียญที่ 2
2) ได้ ผลรวมของแต้ มบนหน้ าลูกเต๋ าทั้งสองเป็ น 2 หรือ 6 จาก
การโยนลูกเต๋ าสองลูกหนึ่งครั้ง
วิธีคดิ จากกฎการนับ จะได้ n(S) = 6 x 6 =36
S={
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
จะได้
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
}
E = { (1,1), (1,5),(2,4), (3,3), (4,2), (5,1) }
ดังนั้น n(E) = 6
P(E)

6
36

n(E)
n(S)
1

6
3) หยิบได้ สลากหมายเลข 5 หรือ 6 หรือ 7 หรือ 8 จากสลาก
10 ใบ ซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถึง10 กากับไว้
วิธีคดิ
จากโจทย์ จะได้
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
ดังนั้น n(S) = 10
E = { 5, 6, 7, 8 }
ดังนั้น n(E) = 4
จะได้
P(E)

n(E)
n(S)

4
10
2

5
4) ได้ คาตอบจากครอบครัว 3 ครอบครัวว่ ามีจักรเย็บผ้ า
ใช้ ท้งั สามครอบครั
ว
คนที่สองตอบมี
คนแรกตอบมี
วิธีคดิ
คนที่สามตอบมี
แซมเปิ ลสเปซ คือ
S = { ( มี,มี,มี ), ( มี, มี, ไม่ มี ) ,(มี,ไม่ ม,ี มี) ,(ไม่ ม,ี มี,มี) ,(ไม่ ม,ี มี,ไม่ ม)ี
(ไม่ ม,ี ไม่ ม,ี มี),(มี,ไม่ ม,ี ไม่ มี),(ไม่ ม,ี ไม่ ม,ี ไม่ ม)ี }
n(S) = 8
ให้ E คือเหตุการณ์ ทคี่ รอบครัว 3 ครอบครัวว่ ามีจักรเย็บผ้า
ใช้ ท้งั สามครอบครัว
E = { ( มี,มี,มี ) }
จะได้ P(E) 
ดังนั้น n(E) = 1
n(E)
n(S)

1
8
5) ได้แต้มที่เหมือนกันหรื อได้แต้ม 2 จากลูกเต๋ าลูกใดลูกหนึ่ง
ในการทอดลูกเต๋ า พร้อมกันสองลูก
ให้ ลสเปซ
E เป็ นคืเหตุ
การณ์ที่ได้แต้มที่เหมือนกันหรื อได้
แซมเปิ
อ
วิธีคดิ
แต้ม 2 จากลูกเต๋ าลูกใดลูกหนึ่งในการทอดลูกเต๋ า
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
พร้อมกันสองลูก
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),
(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(S) = 36
P(E) คือความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มที่
เหมือนกันหรื อได้แต้ม 2 จากลูกเต๋ าลูกใดลูกหนึ่ ง
E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(3,2),(4,2),
ในการทอดลูกเต๋ า พร้อมกันสองลูก
(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
ดังนั้น
จะได้
n(E) =
P(E)
16

n(E)
n(S)

16
36
4

9
6) ได้ หัวและแต้ มที่มากกว่ า 4 จากการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญและทอดลูกเต๋ า
หนึ่งลูกหนึ่งครั้ง พร้ อมกัน
วิธีคดิ
แซมเปิ ลสเปซ
ให้ E เป็คือนเหตุการณ์ที่ได้หวั และแต้มที่มากกว่า 4จาก
การโยนเหรี ยญหนึ,(H,3)
่ งเหรี ยญและทอดลู
เต๋ าหนึ่ง,(H,6)
ลูก
S={ (H,1),(H,2)
,(H,4) ก,(H,5)
หนึ่งครั้ง พร้อมกัน
(T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}
P(E) คือความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ได้หวั และ
แต้มทีn(S)
่มากกว่า=412
จากการโยนเหรีEยญหนึ
ยญและ }
= {่ งเหรี
(H,5),(H,6)
ทอดลูกเต๋ าหนึ่งลูกหนึ่ งครั้ง พร้อมกัน
ดังนั้น n(E) = 2
จะได้
P(E)

n(E)

n(S)
2
12
1

6
แบบฝึ กทักษะที่ 3
ทฤษฎีเบือ้ งต้ นของความน่ าจะเป็ น
1. จงหาความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ต่างๆ ดังต่ อไปนี้
1.1) จงหาความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ต่างๆ ดังต่ อไปนี้
1) ได้ หัวสองหัวจากการโยนเหรียญสองอันหนึ่งครั้ง
วิธีทา
จากโจทย์ จะได้
S = { HH , HT , TH , TT }
ดังนั้น n(S) = 4
E = { HH }
ดังนั้น n(E) = 1
จะได้
P(E)

n(E)
n(S)

1
4
1.2) ได้ ผลรวมของแต้ มบนหน้ าลูกเต๋ าทั้งสองเป็ น 2 หรือ 6
จาก
การโยนลูกเต๋ าสองลูกหนึ่งครั้ง
n(S) = 6 x 6 =36
วิธีคดิ
จากกฎการนับ จะได้
E = { (1,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) }
ดังนั้น n(E) = 6
จะได้
P(E)

n(E)
n(S)

6
36
1

6
1.3) หยิบได้ สลากหมายเลข 5 หรือ 6 หรือ 7 หรือ 8 จากสลาก
10 ใบ ซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถึง 10 กากับไว้
วิธีคดิ
5
4
3
1 2
10
9
8
6 7
จากโจทย์ จะได้
S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
ดังนั้น n(S) = 10
E = { 5,6,7,8 }
จะได้
P(E)

ดังนั้น n(E) = 4
n(E)
n(S)

4
10
2

5
1.4) จากสลากที่มีรางวัล 3 ใบ และไม่ มีรางวัล 7 ใบ จงหาความน่ าจะเป็ นที่
ได้ สลากทีม่ ีรางวัลจากการจับสลาก 1 ใบ
ท้งั หมดที
เหตุการณ์เหตุ
ทไี่ กด้ารณ์
สลากที
ม่ ีรางวัจ่ ลับสลาก
วิธีทา จากโจทย์ จะได้ ว่า
แทนด้ วแทนด้
ย E วย S
S = { มีรางวัล1, มีรางวัล2, มีรางวัล3 , ไม่ มีรางวัล1, ไม่ มีรางวัล2,
ไม่ มีรางวัล3, ไม่ มีรางวัล4, ไม่ มีรางวัล5, ไม่ มีรางวัล6, ไม่ มีรางวัล7 }
ดังนั้น n(S) = 10
E= {
}
ดังนั้น n(E) = 3
ความน่ าจะเป็ นที่ได้ สลากทีม่ ีรางวัล คือ
P(E) =
n(E)
n(S)
3
= 10
1.5) จงหาความน่ าจะเป็ นทีไ่ ด้ คาตอบจากครอบครัว 3 ครอบครัวว่ ามีจักรเย็บ
ผ้ าใช้ ท้งั สามครอบครัว
เหตุการณ์ทให้
ี่ครอบครั
S แทนวทั้งสาม
วิธีทา จากโจทย์ จะได้ ว่า
ตอบว่ามีจแซมเปิ
กั รเย็บผ้ลสเปซ
าแทนด้วย E
S = { (มี, มี, มี), (มี, มี, ไม่ มี), (มี, ไม่ มี, มี), (มี, ไม่ มี, ไม่ มี),
(ไม่ มี, มี, มี), (ไม่ ม,ี มี, ไม่ มี), (ไม่ ม,ี ไม่ มี, มี), (ไม่ มี, ไม่ มี, ไม่ มี) }
ดังนั้น n(S) = 8
E = { (มี, มี, มี) }
ดังนั้น n(E) = 1
จะได้
P(E) =
n(E)
n(S)
=
1
8
หรื ออีกวิธีหนึ่งในการแสดงวิธีทาข้อ 5)
1.5.1) จงหาความน่ าจะเป็ นที่ ได้ คาตอบจากครอบครัว 3 ครอบครัวว่ ามีจักร
เย็บผ้ าใช้ ท้งั สามครอบครัว
S แทน
วิธีทา จากกฎการนับ จะได้ ว่า เหตุการณ์ทให้
ี่ครอบครัวทั้งสาม
แซมเปิ ลสเปซ
ตอบว่ามีจกั รเย็บผ้าแทนด้วย E
ครอบครัวครอบครั
ที่ 1 วครอบครั
ที่ 2 วที่ 3
n(S) = 2  2  2
= 8
มี, ไม่มี มี, ไม่มี มี, ไม่มี
E = { ( มี, มี, มี ) }
ดังนั้น n(E) = 1
จะได้
P(E) =
n(E)
n(S)
=
1
8
1.6) ได้แต้มที่เหมือนกันหรื อได้แต้ม 2 จากลูกเต๋ า
ลูกใดลูกหนึ่งในการทอดลูกเต๋ า พร้อมกันสองลูก
ให้ ลสเปซ
E เป็ นคืเหตุ
การณ์ที่ได้แต้มที่เหมือนกันหรื อได้
แซมเปิ
อ
วิธีคดิ
แต้ม 2 จากลูกเต๋ าลูกใดลูกหนึ่งในการทอดลูกเต๋ า
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
พร้อมกันสองลูก
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),
(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(S) = 36
P(E) คือความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มที่
เหมือนกันหรื อได้แต้ม 2 จากลูกเต๋ าลูกใดลูกหนึ่ ง
E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(3,2),(4,2),
ในการทอดลูกเต๋ า พร้อมกันสองลูก
(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
ดังนั้น
จะได้
n(E) =
P(E)
16

n(E)
n(S)

16
36
4

9
1.7) ได้ หัวและแต้ มที่มากกว่ า 4 จากการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ
และทอดลูกเต๋ าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง พร้ อมกัน
วิธีคดิ
แซมเปิ ลสเปซ
ให้ E เป็คือนเหตุการณ์ที่ได้หวั และแต้มที่มากกว่า 4จาก
การโยนเหรี ยญหนึ,(H,3)
่ งเหรี ยญและทอดลู
เต๋ าหนึ่ง,(H,6)
ลูก
S={ (H,1),(H,2)
,(H,4) ก,(H,5)
หนึ่งครั้ง พร้อมกัน
(T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}
P(E) คือความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ที่ได้หวั และ
แต้มทีn(S)
่มากกว่า=412
จากการโยนเหรีEยญหนึ
ยญและ }
= {่ งเหรี
(H,5),(H,6)
ทอดลูกเต๋ าหนึ่งลูกหนึ่ งครั้ง พร้อมกัน
ดังนั้น n(E) = 2
จะได้
P(E)

n(E)

n(S)
2
12
1

6
1.8) ได้ สีทชี่ อบคือ สี ฟ้าหรือชมพูจากการสอบถามนางสาวมานี
ถึงสี ของผ้ าเช็ดหน้ าทีช่ อบสองสี จากสี ท้งั หมด 5 สี คือ ฟ้ า ขาว
ชมพู เขียว และเหลือง
วิธีคดิ
จากโจทย์
จานวนสี ที่แตกต่าง
S คือ แซมเปิ ลสเปซของสี ของผ้ าเช็ดกัหน้
า
ที
ม
่
านี
ช
อบสองสี
มี
ด
ง
ั
นี
้
นทั้งหมดมีดงั นี้
1
2
5
3
6
8
4
7
9
ดังนั้น n(S) = 10
10
E คือ เหตุการณ์ ทมี่ านีเลือกได้ ผ้าเช็ดหน้ าสี ฟ้าหรือชมพู มีดงั นี้
1
2
5
3
6
4
7
ดังนั้น n(E) = 7
จะได้
P(E)

จานวนเหตุการณ์ที่
n(E) เลือกได้7ผา้ เช็ดหน้า

สี ชมพูมีดงั นี้
n(S) สี ฟ้าหรื อ10
2. โรงเรียนแห่ งหนึ่งมีนักเรียน 400 คน และมีนักเรียนที่เป็ น
ฝาแฝด 2 คู่ ถ้ าเลือกนักเรียนคนหนึ่งโดยการสุ่ ม จงหาความน่ าจะ
เป็ นที่จะได้ นักเรียน ทีม่ คี ู่แฝด
วิธีคดิ
จานวนนักเรียนทั้งหมดมี 400 คน
นั่นคือ
n(S) = 400
มีนักเรียนฝาแฝด 2 คู่ นั่นคือ มี 4 คน
ดังนั้น n(E) = 4
ความน่ าจะเป็ นทีจ่ ะได้ นักเรียนทีม่ คี ู่แฝด เป็ น
P(E)

n(E)
n(S)

4
400
=
1
100
3. ในการจับสลากชื่อของนักเรียนจานวน 30 คน ซึ่งเป็ นชาย 18 คน
หญิง 12 คน จงหาความน่ าจะเป็ นในการทีจ่ บั สลากใบแรกได้
วิธีคดิ จานวนนักเรียนทั้งหมดมี 30 คน นั่นคือ n(S) = 30
1) ความน่ าจะเป็ นในการทีจ่ บั สลากใบแรกได้ นักเรียนชาย
P(E)

n(E)
n(S)

18
30

3
5
2) ความน่ าจะเป็ นในการทีจ่ บั สลากใบแรกได้ นักเรียนหญิง
P(E)

n(E)
n(S)

12
30

2
5
4. ในกล่ องใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู่ 5 หลอด ในจานวนนีม้ หี ลอดดีอยู่ 3 หลอด
และหลอดเสี ยอยู่ 2 หลอด ถ้ าหยิบหลอดไฟฟ้าขึน้ มา 2 หลอด อย่างไม่ เจาะจง
จงหาความน่ าจะเป็ นที่จะได้ หลอดดี 1 หลอดและหลอดเสี ย 1 หลอด
แนวคิด
1
2
3
1
2
S แทนแซมเปิ ลสเปซของการหยิบหลอดไฟ 2 หลอด มีดงั นี้
1
3
4
5
2
6
E แทนเหตุการณ์ ทจี่ ะได้ หลอดดี 1 หลอดและหลอดเสี ย 1 หลอด
ดังนั้น n(S) = 10
ดังนั้น n(E) = 6
ความน่ าจะเป็ นที่ได้ หลอดดี 1หลอด และหลอดเสี ย 1หลอดคือ P(E) = n(E) = 63
n(S) 105
5. สุ่ มหยิบลูกบอล 2 ลูกพร้ อมกัน จากกล่ องใบหนึ่งซึ่งมีลูกบอลสี แดง 3 ลูก สี ขาว 2 ลูก
และสี นา้ เงิน 4 ลูก จงหาความน่ าจะเป็ นทีจ่ ะได้
แนวคิด
1 2 3
1 2
1 2 3 4
S แทนแซมเปิ ลสเปซของการหยิบลูกบอล 2 ลูก มีดงั นี้
ดังนั้น n(S) = 36
1
2
1
2
3 เหตุ3การณ์ที่ไ4ม่ได้ลกู บอลสีแดงหรื อ
สี6น้ าเงินมีเพียงหนึ่ งเหตุการณ์คือ
5
17
8
9
10
11
3)2) ได้4)
ได้ลลได้
บอลที
1)
ลูกบอลสี
ลูกขไ่ บอลสี
าวอย่
ม่ ใแช่ดงหรื
สาแี แงน้
ดงทั
ดงทั
อยหนึ
สี้ง้งนสองลู
สองลู
า้ เงิ่งลูนกก
ูกูกบอลสี
12 ดังนั้น13เหตุการณ์14
15 แดง E แทนเหตุการณ์ ทหี่ ยิบได้ลูกบอลสีแดง
ทไี่ ด้ ลกู บอลสี
E แทนเหตุ
E แทนเหตุ
E กแทนเหตุ
ารณ์กทารณ์
หี่ กยิทารณ์
บหี่ ได้ยิลทบูกหี่ ได้บอลสี
ยิลบูกได้บอลสี
แลดง
ข2าวลูก
ูกบอล
หรือสี นา้ เงินคือ 36 – 1 = 35
หรื
=
35
อย่อาสีงน้
ไม่นใอา้ ช่เงิยหนึ
สนี แดง่งลู2กลูดักงนัดัดั้นงงนันัn(E)
้น้นn(E)
=
333
n(E) =15
n(E)
11
1
5
33
15
35
3
P(E) =
ความน่
ความน่
ความน่
าจะเป็
าจะเป็
าจะเป็
นทีนที
ห่ นที
ยิห่ บยิห่ ลูบกยิลูบอลสี
บกได้
บอลไม่
ลูกแขบอลสี
ดงหรื
าวอย่
ใช่ สาอแี งน้
ดง
สี นอา้2ย1ลู
เงิลูนกกคืคืออP(E)
=
n(S)
12
36
6. ต้ องการนาอักษรในคา SPECTRUM มาเรียงเป็ นคาที่ประกอบด้ วย อักษร 4 ตัว
บทีอ่ อั3กเหลื
ลาดับที่ ล4าดัเหลื
ษรทัอ้งอัก5 ษรทั้ง 6ตัว มี
ไม่ คานึ
ละคาต้ องไม่
มีอกั ษรซ้ากัน ่ อจงหาความน่
าจะเป็ นที่จะ
ลาดังบถึทีง่ ความหมาย
1 อักษรทั้ง 8 ตัโดยในแต่
ว มี
นทุ
ตัว มีสิทสิธิทไธิด้ไอด้ยูอ่ กยู่ อ่ กนทุ
กตักวตัว คือ 6 วิธี
อยู่ก่อวนทุ
คือ นสระเสมอ
8 วิธี
ลาดับที่ 2 เหลื
จัดสิให้ทธิอไกั ด้ษรตั
สุ ดกท้ตัาวยเป็
คือ อ5อัวิกธษรทั
ี ้ง 7 ตัว มี
วิธีคดิ
สิ ทธิได้ อยู่ก่อนทุกตัว คือ 7 วิธี
ลาดับที่ 1
ลาดับที่ 2 ลาดับที่ 3
ลาดับที่ 4
ออักษรทั้ง 5 ตัว
เลือกอักษร S,P,E,C,T,R,U,M ทั้งหมดลาดั
8 ตับวที่ 3 เหลื
8 X 7 X 6 X 5
คือ 5 วิธี
ลาดับที่ 4 สระ E หรือ U
n(S)=8×7×6×5
ต้ องใช้ สิทธิก่อนเนื่องจาก
บทีง่ จากที
2 เหลืส่ อระลงใน
อักษรทั้ง 6 ตัว คือ 6
ลาดับที่ 1 เหลืออักษรทั้ง 7 ลตัาดั
ว หลั
โจทย์ บงั คับ เลือกได้ 2 วิธี
ลาดับEที่ 4แทนเหตุ
คืวิอธ7ี วิธี การณ์ ทไี่ ด้ คาทีม
่ อี กั ษรตัวสุ ดท้ ายเป็ นสระ
ลาดับที่ 1 ลาดับที่ 2 ลาดับที่ 3 ลาดับที่ 4
สระภาษาอังกฤษจากคา
SPECTRUM ได้ แก่ E และU
7 X
ความน่ าจะเป็ นที่จะจัดให้
อักษรตัวสุ ดท้ ายเป็ นสระ P(E)  n(E)
n(S)
6
X 5 X 2
n(E)=7×6×5×2
7×6×5 ×2
2
1

=
8
4
8×7×6 ×5
7. ถุงใบหนึ่งใส่ เหรียญบาทไว้ 100 อัน เหรียญแต่ ละอันเขียนเลขกากับ
ไว้ โดยไม่ ซ้ากัน เริ่มจาก 1 ถึง 100 ถ้ าหยิบเหรียญอันหนึ่งออกมาโดย
การสุ่ ม จงหาความน่ าจะเป็ นที่เลขทีเ่ ขียนกากับไว้ เป็ น
1) จานวนคู่
แนวคิด
n(E) แทน จานวนวิธีของการหยิบเหรี ยญ 1 เหรี ยญภายในถุงที่เป็ นจานวนคู่
เท่ากับ 50 วิธี
n(S) แทน จานวนวิธีท้ งั หมดของการหยิบเหรี ยญ 1 เหรี ยญภายในถุง
เท่ากับ 100 วิธี
P(E)

n(E)
n(S)

50
100

1
2
7. ถุงใบหนึ่งใส่ เหรียญบาทไว้ 100 อัน เหรียญแต่ ละอันเขียนเลขกากับ
ไว้ โดยไม่ ซ้ากัน เริ่มจาก 1 ถึง 100 ถ้ าหยิบเหรียญอันหนึ่งออกมาโดย
การสุ่ ม จงหาความน่ าจะเป็ นที่เลขทีเ่ ขียนกากับไว้ เป็ น
2) จานวนที่มีรากทีส่ องเป็ นจานวนเต็ม
วิธีคดิ
n(S) = 100
E = { 1, 4 , 9, 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 ,100 }
ดังนั้น n(E) = 10
จะได้
P(E)

n(E)
n(S)

10
100
1

10
7. ถุงใบหนึ่งใส่ เหรียญบาทไว้ 100 อัน เหรียญแต่ ละอันเขียนเลขกากับ
ไว้ โดยไม่ ซ้ากัน เริ่มจาก 1 ถึง 100 ถ้ าหยิบเหรียญอันหนึ่งออกมาโดย
การสุ่ ม จงหาความน่ าจะเป็ นที่เลขทีเ่ ขียนกากับไว้ เป็ น
3) จานวนที่หารด้ วย 11 ลงตัว
วิธีคดิ
n(S) = 100
E = { 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 77 , 88 , 99 }
ดังนั้น n(E) = 9
จะได้
P(E)

n(E)
n(S)

9
100
7. ถุงใบหนึ่งใส่ เหรียญบาทไว้ 100 อัน เหรียญแต่ ละอันเขียนเลขกากับ
ไว้ โดยไม่ ซ้ากัน เริ่มจาก 1 ถึง 100 ถ้ าหยิบเหรียญอันหนึ่งออกมาโดย
การสุ่ ม จงหาความน่ าจะเป็ นที่เลขทีเ่ ขียนกากับไว้ เป็ น
4) จานวนคีห่ รือจานวนที่หารด้ วย 11 ลงตัว
วิธีคดิ
P(E)

=
จานวนที
จานวนที
่หารด้่ซวย้ากันคือ
11จานวนคี
ลงตั
11,ว33,่ 5055,จานวน
77, 99
n(E)
n(S)
50  9  5
100
54

100
7. ถุงใบหนึ่งใส่ เหรียญบาทไว้ 100 อัน เหรียญแต่ ละอันเขียนเลขกากับ
ไว้ โดยไม่ ซ้ากัน เริ่มจาก 1 ถึง 100 ถ้ าหยิบเหรียญอันหนึ่งออกมาโดย
การสุ่ ม จงหาความน่ าจะเป็ นที่เลขทีเ่ ขียนกากับไว้ เป็ น
5) จานวนคู่และจานวนทีห่ ารด้ วย 11 ลงตัว
วิธีคดิ
n(S) = 100
E = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 }
ดังนั้น n(E) = 4
จะได้
n(E)
P(E) 

n(S)
4
100
1

25
8. สลาก 20 ใบ มีหมายเลขกากับตั้งแต่ 1 ถึง 20 สลากหมายเลข 1, 2, 3
และ 4 มีรางวัล 1,000, 500, 300 และ 200 ตามลาดับ ชายผู้หนึ่ง
หยิบสลาก 2 ใบ แบบสุ่ มจากสลากทั้งหมด จงหาความน่ าจะเป็ นที่
1) ชายผู้นีไ้ ด้ รางวัลรวมกันเป็ น 500 บาทพอดี
2) ชายผู้นีไ้ ด้ รับเงินรางวัลอย่ างน้ อย 1,000 บาท
แนวคิด เนื่องจาก ไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้เพราะผลลัพธ์
ที่ได้มีเป็ นจานวนมาก จึงใช้ความรู ้เรื่ องการจัดหมู่มาช่วยใน
การแก้ปัญหา
สูตร การจัดหมู่ คือ
n
æ
ö
n!
n
÷
c r = çç ÷
=
÷ (n - r)!r!
çèr ø
เมื่อ n คือ จานวนสลากทั้งหมด และ r คือ จานวนสลากที่ถูกหยิบ
ผูช้ ายคนนี้สามารถสุ่ มหยิบสลาก 2 ใบ
20!
20×19×18!
20
ได้ท้ งั สิ้ น n(S) = c 2 =
= 190 วิธี
=
(20-2)!2!
18!×2
ดังนั้น
1000 บาท
500 บาท
มี
ส
ลาก
1
2
ทั้งสิ้ น 20 ใบ
300 บาท
200 บาท
3
4
0 บาท
... 0 บาท
ยามของ
n!
มีจากนิ
ส5 ลากรางวั
ล
200
...
20
´ 19 ´ 18!
20!
สุ่ มหยิบ
บาท=จ20านวน
1 ใบ
สลากรางวั
1) ชายผู้นีไ้ ด้ รางวัลมีรวมกั
นสลาก
เป็ ลน 300
2500
ใบ บาทพอดี
จานวน
กรณี ที่ 1 หยิบสลากได้รางวับาท
ล 500
บาท 1หนึใบ่ งใบ และสลากอีกหนึ่งใบไม่ได้รางวัล
= 1 16
= 16
กรณี ที่ 2 หยิบสลากได้รางวัล 300 บาทและ 200 บาท = 1  1 = 1
มีสลากรางวัล 500
สลากที่ไม่ได้รางวัล มี
n(E)
17
16
+
1
บาท
จ
านวน
1
ใบ
ทั
ง
สิ
น
16
ใบ
้
้
จะได้ P(E) 
=
=
n(S)
190
190
1000 บาท
500 บาท
300 บาท
200 บาท
0 บาท
1
2
3
4
5
2) ชายผู้นีไ้ ด้ รับเงินรางวัลอย่ างน้ อย 1,000 บาท
...
...
0 บาท
20
กรณี ที่ 1 หยิบสลากได้รางวัล 1,000 บาท หนึ่งใบ และสลากอีกหนึ่งใบไม่ได้รางวัล
มีสลากรางวัล 1,000
= 1 16 = 16
บาท จานวน 1 ใบ
มีสลากรางวัล 1,000
ส
ลากรางวั
ล
1,000
กรณี ที่ 2 หยิบสลากได้รางวัล มี1,000
บาท
และ
200 บาท = 1  1 = 1
บาท จานวนสลากที
1 ใบ
บาท จานวน 1 ใบ ่ไม่ได้รางวัล
ท้ งั สิบาท
กรณี ที่ 3 หยิมีบสสลากได้
ล 1,000 บาท และมี300
ลากรางวัรลางวั
1,000
้ น 16 ใบ= 1  1 = 1
สลากรางวั
ล300200
บาท จานวน 1 ใบ มีสมีลากรางวั
ล
กรณี ที่ 4 หยิบสลากได้รางวัล 1,000 บาท และ 500 บาท = 1  1 = 1
บาทจานวน
จานวน1 ใบ
1 ใบ
บาท
n(E) มีสลากรางวั
1
16
+
1+
1+
1
19
ล
500
จะได้ P(E) 
=
=
=
n(S) บาท จานวน 1190
190
10
ใบ
The terminology of probability
แก้ปัญหาความน่าจะเป็ น
โดยใช้ความรู้เรื่ องแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
(Venn – Euler Diagrams)
ตัวอย่ าง นักเรียนมัธยมศึกษาปี ที่ 6 จานวน 100 คน มีนักเรียน 50 คน ทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ มี 29 คนชอบ
เรียนเคมี และ มี13 คน ชอบเรียนทั้งคณิตศาสตร์ และเคมี จงหาความน่ าจะเป็ นที่
1) นักเรียนทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร์ หรือ เคมี
2) นักเรียนทีช่ อบเรียน เคมี แต่ ไม่ ชอบเรียนคณิตศาสตร์
3) นักเรียนทีไ่ ม่ ชอบเรียน เคมี
วิเรียธนคณิีทตาฯ
นักเรี ยนที่เรี ยน
สองวิชา
วิชาเดียว 50-13
M คณิ ตศาสตร์
U แทนนักเรี ยน ม.6
37 13 16
34
B เคมี
1) ความน่ าจะเป็ นที่นักเรียนที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์ หรือ เคมีเท่ ากับ
33
66
37

13

16
P(M  B) 


เรียนเคมีวชิ าเดียว 29-13 100
100 50
2) ความน่ าจะเป็ นที่ไม่ ชอบเรียน เคมี
37  34
71



หรื
อ
P(B ) 100
100
71
P(B) = 1- P(B)  1  29 
100 100
3)ความน่ าจะเป็ นที่นักเรียนที่ชอบเรียน เคมี แต่ ไม่ ชอบเรียนคณิตศาสตร์
ไม่ เรียนทั้งสองวิชา 100-(37+13+16)
P(B  M)
4
16


100
25
ตัวอย่ าง
วิธีทา
จากการสอบถามนักเรียน 100 คน ปรากฏผลดังนี้ 41 คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์ 26 คน
ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 29 คน ชอบวิชาวิทยาศาสตร์ 5 คน ชอบทั้งสามวิชา 8 คน ชอบทั้งวิชา
วิทยาศาสตร์ และภาษาอังกฤษ 19 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์ และภาษาอังกฤษ
15 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์
จงหาความน่ าจะเป็ นที่
1) นักเรียนทีไ่ ม่ ชอบเรียนทั้งสามวิชา
2) นัตกฯและอั
เรียนทีงช่ กฤษแต่
อบเรียไนเพี
เรียนคณิ
ม่ เรียงวิ
นวิชทาเดี
ย์ ฯยว
3) นักเรียนที19-5
ช่ อบเรียนเพียงสองวิชา
เขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ (Venn – Euler Diagrams) ดังนี้
เรียนคณิตฯวิชา A แทนคณิตฯ
เดียว 41-(14+5+10)
เรียนวิทย์ ฯและคณิตฯไม่ องั กฤษ
15-5
12
10
41
ไม่ เรียนทั้งสามวิชา
100-(41+4+3+11) U แทนนักเรียน
B แทนอังกฤษ เรียนอังกฤษวิชา
14
4
5
เดียว 26-(14+5+3)
3
11
เรียนอังกฤษและวิทย์ ฯแต่ ไม่ เรียนคณิตฯ
8-5
C แทนวิทย์ ฯ
เรียนวิทย์ วชิ าเดียว
29-(10+5+3)
A แทนคณิตฯ
41
B แทนอังกฤษ
12 14
10 5
11
4
3
C แทน วิทย์ ฯ
U แทนนักเรียน
จากแผนภาพจะได้ n (S) = 100
1) ความน่ าจะเป็ นที่นักเรียนที่ไม่ ชอบเรียน
ทั้งสามวิชาเท่ ากับ
41
P((A  B  C)) 
100
2) ความน่ าจะเป็ นที่นักเรียนที่ชอบเรียนเพียงวิชา
P((A-(B  C))  (C-(A  B))  (B-(A  C)))  12  11  4  27
100
100
3) ความน่ าจะเป็ นทีน่ ักเรียนทีช่ อบเรียนเพียงสองวิชา
P(((A  B)-(A  B  C))  ((A  C)-(A  B  C))  ((B  C)-(A  B  C)))
14  10  3

100
27

100
แบบฝึ กทักษะที่ 3 (ตอน2)
แก้ปัญหาความน่าจะเป็ น โดยใช้ความรู ้
เรื่ องแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
(Venn – Euler Diagrams)
9. จากการสารวจใบสมัครของผู้สมัครประกวดนางงามจักรวาล 100 คน พบว่ ามีผ้ สู มัครที่
พูดภาษาอังกฤษได้ 50 คน ภาษาฝรั่งเศสได้ 45 คน ภาษาสเปนได้ 30 คนผู้สมัครทีพ่ ูด
ภาษาอังกฤษและฝรั่งเศสได้ 15 คน ภาษาอังกฤษและสเปนได้ 10 คน ฝรั่งเศสและสเปนได้
10 คน และผู้สมัครทีพ่ ูดได้ ท้งั สามภาษา 5 คน
ถ้ าสุ่ มใบสมัครขึน้ มาหนึ่งใบ จงหาความน่ าจะเป็ นทีจ่ ะได้ ใบสมัครของผู้ที่
พูดภาษาอังกฤษหรือฝรั่งเศสหรือสเปนได้
วิธีทา
เรียนฝรั่งเศสและอังกฤษแต่ ไม่ เรียนสเปน
เขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
15-5=10(Venn – Euler Diagrams) ดังนี้
เรียนฝรั่งเศสวิชาเดียวA แทนฝรั่งเศส
45-(10+5+5)=25
เรียนฝรั่งเศสและสเปนไม่ องั กฤษ
10-5=5
25
10
5
5
5
ไม่ เรียนทั้งสามวิชา
100-(50+25+5+15)=5U แทนนักเรียน
15
B แทนอังเรีกฤษ
ยนอังกฤษวิชาเดียว
50-(5+5+10)=30
30
5
C แทนสเปน
เรียนสเปนวิชาเดียว
30-(5+5+5)=15
เรียนอังกฤษและสเปน
แต่ ไม่ เรียนฝรั่งเศส
10-5=5
B แทนอังกฤษ
A แทนฝรั่งเศส
25
5
10
5
15
5
30
5
จากแผนภาพจะได้ n (S) = 100
C แทน สเปน
U แทนนักเรียน
ถ้ าสุ่ มใบสมัครขึน้ มาหนึ่งใบ ความน่ าจะเป็ นทีจ่ ะได้ ใบสมัครของผู้ทพี่ ดู
ภาษาอังกฤษหรือฝรั่งเศสหรือสเปนเท่ ากับ
P(A  B  C)
25  10  5  5  30  5  15

100
95

100
10.ในการสอบถามนักเรียนจานวน 50 คน ปรากฏว่ ามีผ้ ชู อบวิชาเคมี 21 คน
ชอบวิชาฟิ สิ กส์ 20 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 17 คน โดยมี 10 คน ชอบทั้งสามวิชา
และ 5 คน ชอบวิชาเคมีและฟิ สิ กส์ แต่ ไม่ ชอบภาษาอังกฤษ ไม่ มีนักเรียนคนใดชอบ
วิชาเคมีและภาษาอังกฤษ โดยไม่ ชอบวิชาฟิ สิ กส์ และไม่ มีนักเรียนคนใดชอบ
วิชาฟิ สิ กส์ และภาษาอังกฤษโดยไม่ ชอบวิชาเคมี จงหาความน่ าจะเป็ นที่ไม่ ชอบ
วิชาใดวิชาหนึ่งเลยในสามวิชา
21-(5+10+0)
20-(5+10+0)
A
ให้ A แทน นักเรียนทีช่ อบวิชาเคมี
B U
6
0
5
10
7
50 - 33 = 17
5
B แทน นักเรียนทีช่ อบวิชาฟิ สิ กส์
C แทน นักเรียนที่ชอบวิชาภาษาอังกฤษ
ความน่ าจะเป็ นที่ไม่ ชอบวิชาใดวิชาหนึ่งเลยในสามวิชา
คือ
P(A  B  C)
0
50  33
50
17
=
50

C
17-10
11. ผู้จัดการฝ่ ายบุคคลของบริษัทหนึ่งคิดว่ า การจาแนกใบสมัครของของผู้สมัคร
ตามวุฒิหรือตามประสบการณ์ ในการทางานจะเป็ นประโยชน์ ต่อการพิจารณา
คัดบุคคลเข้ าทางานเป็ นอย่ างมาก จากใบสมัครตาแหน่ งวิศวกรทั้งหมด เขาพบว่ า
มีเพียง 10 เปอร์ เซ็นต์ เท่ านั้นทีเ่ ป็ นผู้ทมี่ ีประสบการณ์ แต่ ไม่ มีปริญญา มี 20
เปอร์ เซ็นต์ เป็ นผู้ทจี่ บปริญญาแต่ ไม่ มีประสบการณ์ มีถึง 80 เปอร์ เซ็นต์ ที่มี
ประสบการณ์ หรือมีปริญญา ถ้ าสุ่ มตัวอย่ างใบสมัครมา 1 ใบ จงหา
20%
50%
U
50%=80%-20%-10%
ให้ A แทน ผู้มีปริญญา
B แทน ผู้มปี ระสบการณ์
10%
20%= 100%-(20%+50%+10%)
20%
A
B
U
20%
20%
A
50%
10%
B
ให้ A แทน ผู้มปี ริญญา
B แทน ผู้มปี ระสบการณ์
ก) ความน่ าจะเป็ นทีจ่ ะได้ ผ้ ูสมัครทีม่ ีปริญญา
P(A)
7
20  50 70



100 10
100
ข) ความน่ าจะเป็ นทีจ่ ะได้ ผู้สมัครทีม่ ีประสบการณ์
P(B)
3
50  10 60



100
5
100
12. จากการสอบถามนักเรียน 100 คน ผลปรากฏว่ าสามารถแบ่ งนักเรียนออกเป็ น 2 พวก คือ
ชอบเล่
ฟุตบอลอย่
ง
พวกที่ชอบเล่นกีฬา และพวกที
ไ่ ม่ ชนอบเล่
นกีฬา าโดยพวกที
ช่ อบเล่นกีฬามีรายละเอียด
ว 21ชอบเล่
– (5 +น6ฟุ+ตบอล
6) =21 คน ชอบเล่นปิ งปอง 46 คน
ดังนีช้ อบเล่นบาสเกตบอล เดี
31ยคน
4 คนชอบเล่นทั้งบาสเกตบอลและปิ งปอง 10 คน
ชอบเล่ นทั้งบาสเกตบอลและ ฟุตบอล 11
ชอบเล่ นทั้งฟุตบอลและปิ งปอง 12 คน
นทั้งทั้งสามชนิ
ด 6 คน
ชอบเล่ชอบเล่
นบาสฯเและฟุ
ตบอลแต่
จงหาความน่
าจะเป็ นที่นักเรีางเดี
ยนไม่
าใดๆ 11 – 6 = 5
ชอบเล่นบาสเกตบอลอย่
ยวชอบเล่
ไม่ เนล่นกีฬปิ งปอง
31 – (5 + 4 + 6) = 16
B ฟุตบอล
A บาสเกตบอล
ชอบเล่ นฟุตบอลและปิ งปอง
ความน่ าจะเป็
ักเรียนไม่
ไม่ เนที
ล่น่นบาสฯ
12 –ชอบเล่
6 = น6 กีฬาใดๆ
ชอบเล่16นปิ งปองอย่5างเดียว464
คื
อ
– (4 + 6 + 6) = 30
4
6
6
ไม่ ชอบเล่นทั้ง30
สามชนิด
U นักเรียน
C ปิ งปอง
(A  B  C) 
100 - (6+5+4+6+16+4+30) = 29

P(A
∪ B ∪ C)
29 งปองแต่ ไม่
ชอบเล่=นบาสฯและปิ
100
เล่ นฟุตบอล 10 – 6 = 4