Transcript บทที่ 3.การประมาณค่า

ค่าพารามิเตอร์และค่าสถิติที่สาคัญ
ค่าวัดลักษณะ
ประชากร
(พารามิเตอร์)
ตัวอย่าง
(ค่าสถิติ)
ค่าเฉลีย่

x
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน

S.D. หรือ S
ความแปรปรวน

2
สัดส่วน
P
จานวน หรือขนาด
N
S2
pˆ
n
การประมาณค่าจะแบ่งเป็ น 2 ประเภท
1. การประมาณแบบจุด (Point Estimation)
2. การประมาณแบบช่วง (Interval Estimation)
ระดับความเชื่อมัน่
(Confidence Level)
หมายถึง โอกาสทีพ่ ารามิเตอร์ของประชากรจะอยู่ในช่วง
ของค่าทีป่ ระมาณได้ แทนด้วย (1 -  )100%
หรือเรียกว่า ช่วงความเชื่อมัน่ (Confidence Interval)
เรียก  ว่า ความผิดพลาดที่เกิดขึ้ น
ช่วงความเชื่อมัน่ 99%
 = 0.01
ช่วงความเชื่อมัน่ 95%
 = 0.05
ช่วงความเชื่อมัน่ 90%
 = 0.10
การประมาณค่า
1. การประมาณค่าเฉลีย่ ประชากร 1 กลุ่ม
2. การประมาณผลต่างค่าเฉลีย่ ของประชากร 2 กลุ่ม
3. การประมาณค่าสัดส่วนประชากร 1 กลุ่ม
4. การประมาณผลต่างสัดส่วนของประชากร 2 กลุ่ม
การประมาณช่วงความเชื่อมันของค่
่
าเฉลีย่ ประชากร 1 กลุ่ม
กรณีที่ 1 ทราบความแปรปรวนของประชากร (ทราบ  2 )
x  Z / 2

n
   x  Z / 2

n
กรณีที่ 2 ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร
แต่ตวั อย่างมีขนาดใหญ่
2
(ไม่ทราบ  แต่ n  30 )
x  Z / 2
S
S
   x  Z / 2
n
n
กรณีที่ 3 ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร
แต่ตวั อย่างมีขนาดเล็ก
2
(ไม่ทราบ  แต่ n < 30 )
x  t / 2
S
S
   x  t / 2
n
n
df . = n - 1
ตัวอย่าง 4.1 ถ้าราคาห้องพักของโรงแรมในจังหวัด
เชียงใหม่มีการแจกแจงแบบปกติ ด้วยส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 1, 500 บาท สุ่ ม ตัว อย่ า งโรงแรมใน
จังหวัดเชียงใหม่มา 64 โรงแรม พบว่า มีราคาเฉลีย่
1,800 บาทต่ อ ห้อ งต่ อ คื น จงประมาณช่ ว งความ
เชื่อมัน่ 95% ของราคาเฉลีย่ ของโรงแรมในจังหวัด
เชียงใหม่
  1,500
วิธีทา จากโจทย์
n = 64
  0.05
x  1,800
จากข้ อมูล จึงใช้ กรณีท่ี 1 ในการประมาณค่า และจากการเปิ ดตารางได้ ค่า
ช่วงความเชื่อมัน่
(1   )100%
x  Z / 2

n
ของ 
Z
2
 1.96
คือ
   x  Z / 2

n
 1,500
 1,500
1,800 1.96
    1,800 1.96

 64 
 64 
1,800 367.5    1,800 367.5
1,432.5    2,167.5
ดังนั้นราคาเฉลีย่ ของโรงแรมในจังหวัดเชียงใหม่ประมาณ 1,432.5 บาท ถึง
2,167.5 บาท ต่อห้องต่อคืน ทีร่ ะดับความเชื่อมัน่ 95%
ตัวอย่าง 4.2. ถ้าจานวนสินค้าที่ผลิตโดยเครื่ องจักร
ยี่ห้อ หนึ่ง มี ก ารแจกแจงแบบปกติ ผู ใ้ ช้เ ครื่ อ งจัก ร
ยี่ ห้อ นี้ ท าการเก็ บ ข้อ มู ล เป็ นเวลา 36 วัน พบว่ า
เครื่องจักรผลิตสินค้าได้เฉลี่ยวันละ 350 ชิ้ น ด้วย
2
ความแปรปรวน 400 ชิ้ น อยากทราบว่าเครื่องจักร
ยี่หอ้ นี้ ผลิตสินค้าได้เฉลี่ยวันละประมาณกี่ชิ้น ที่ช่วง
ความเชื่อมัน่ 90%
วิธีทา จากโจทย์ n = 36
x  350
S 2  400  S  20
จากข้อมูล จึ งใช้กรณีที่ 2 ในการประมาณค่า และจากการเปิ ดตารางได้ค่า
ช่วงความเชื่อมัน่
(1   )100%
x  Z / 2
ของ 
  0.10
Z 2  1.645
คือ
S
S
   x  Z / 2
n
n
 20 
 20 
350 1.645
    350 1.645

 36 
 36 
350 5.48    350 5.48
344.52    355.48
ดังนั้น เครื่องจักรยี่ห้อนี้ผลิตสินค้ าได้ ประมาณวันละ 344.52 ชิ้น ถึง 355.48 ชิ้น
ที่ช่วงความเชื่อมั่น 90%
ตัว อย่ า ง 4.3. สายการบิ น แห่ ง หนึ่ง ท าการบิ น ใน
เส้นทาง เชียงใหม่ – กรุงเทพ ทาการตรวจสอบ
เที่ย วบิน ในเส้น ทางดัง กล่ า ว จานวน 28 เที่ย วบิน
พบว่า มีที่นงว่
ั ่ างเฉลีย่ เที่ยวบินละ 18 ที่นงั ่ ด้วยส่วน
เบี่ย งเบนมาตรฐาน 8.47 ที่ น งั ่ จงประมาณช่ ว ง
ความเชื่อมัน่ 99% ของจานวนที่นงว่
ั ่ างของสายการ
บินนี้
วิธีทา จากโจทย์ n = 28
x  18
S  8.47
  0.10
จากข้อมูล จึ งใช้กรณีที่ 3 ในการประมาณค่า
และจากการเปิ ดตาราง ที่ df = n – 1 = 28 – 1 = 27 ได้ค่า
ช่วงความเชื่อมัน่
(1   )100%
x - t α/2
t 2  2.771
ของ  คือ
S
S
< μ < x + t α/2
n
n
 8.47 
 8.47 
18  2.771
    18  2.771

 28 
 28 
18  4.44    18  4.44
13.56    22.44
ดังนั้น สายการบินนี้ มีที่นงว่
ั ่ างในเส้นทาง เชียงใหม่ – กรุงเทพ โดยเฉลีย่ เที่ยวบินละ
13.56 ที่นงั ่ ถึง 22.44 ที่นงั ่ ที่ช่วงความเชื่อมัน่ 99%
ตัวอย่าง 4.4 สอบถามประชาชนในหมู่บา้ นแห่งหนึง่
จานวน 9 ครัวเรือนถึงค่าใช้จ่ายสาหรับอาการมื้ อ
กลางวัน ได้ขอ้ มูลดังนี้
150 170 200 120 250
180 160 170 220
จงประมาณช่วงความเชื่อมัน่ 95% ของค่าใช้จ่าย
สาหรับอาหารกลางวันโดยเฉลีย่ ของหมู่บา้ นแห่ งนี้
วิธีทา จากโจทย์ ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร n = 9
และ   0.10 ดังนั้น จึ งใช้กรณีที่ 3 ในการประมาณค่า
x 150 + 170 + 200 + ... + 180
∑
x=
=
= 180
i
n
9
2
2
2
2
(
x
x
)
(150 - 180) + (170 - 180) + (200 - 180) + ... + (180 - 180)
∑
i
S=
=
9-1
n -1
2
= 38.73
d.f. = n-1 = 9-1 = 8 จะได้ t α 2 = 2.306
แทนค่าในสูตร
180-2.306 (
x  t / 2
38.73
S
S
   x  t / 2
n
n
) < μ < 180 + 2.306 (
9
180-29.77 < μ < 180+29.77
150.23 < μ < 229.77
38.73
9
)
การประมาณช่วงความเชื่อมันของผลต่
่
าง
ค่าเฉลี่ยของประชากร 2 กลุ่ม
กรณีที่ 1 ทราบความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่ม
(ทราบ  , )
2
1
( x1  x2 )  Z 
2
2
2
 12  22
 12  22

 1   2  ( x1  x2 )  Z 

n1 n2
n1 n2
2
กรณีที่ 2 ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรทั้ง
สองกลุ่ม แต่ตวั อย่างมีขนาดใหญ่
2
2
(ไม่ทราบ  1 ,  2 และ n , n  30)
1
( x1  x2 )  Z 
2
2
S12 S 22
S12 S 22

 1   2  ( x1  x2 )  Z 

n1 n2
n1 n2
2
กรณีที่ 3 ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่ม และ
ตัวอย่างมีขนาดเล็ก แต่ทราบว่าความแปรปรวนของ
ประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากัน
2
2
2
2
n
,
n

30
(ไม่ทราบ  1 ,  2 , 1 2
แต่  1   2 )
( x1  x2 )  t 
2
S p2
1 1
1
2 1
S     1   2  ( x1  x2 )  t  S p   
 n1 n2 
 n1 n2 
2
2
p
(n1  1)S12  (n2  1)S 22

n1  n2  2
df  n1  n2  2
กรณีที่ 4 ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรทั้งสองกลุ่ม
และตัวอย่างมีขนาดเล็ก แต่ทราบว่าความแปรปรวน
ของประชากรทั้งสองกลุ่มเท่ากัน
(ไม่ทราบ  12 ,  22 , n1, n2  30 แต่  12   22 )
( x1  x2 )  t 
2
S12 S 22
S12 S 22

 1   2  ( x1  x2 )  t 

n1 n2
n1 n2
2
2
S
S 
n  n 
2 
df .   12
2
2
2
 S1 
 S2 
n 
n 
 1  2
n1  1
n2  1
2
1
2
2
ตัวอย่าง 4.5 นักเศรษฐศาสตร์คนหนึ่งทาการสุ่มเลื อก
ร้า นค้า ในบริ เ วณห้า งสรรพสิ น ค้า ก จ านวน 32 ร้า น
พบว่ า มี ร ายได้เ ฉลี่ ย ต่ อ เดื อ นเท่ า กับ 6 ล้า นบาท ส่ ว น
เบี่ ย งเบนมาตรฐาน 1 ล้า นบาท และสุ่ ม เลื อ กจาก
ห้างสรรพสินค้า ข จานวน 35 ร้าน พบว่ามีรายได้เฉลี่ย
ต่อเดือนเท่ากับ 3.5 ล้านบาท ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 5
ล้านบาท จงประมาณช่วงความเชื่อมัน่ 90% ของผลต่าง
ของรายได้เฉลีย่ ต่อเดือนของร้านค้าในห้างสรรพสินค้าทั้ง
สองแห่ง
วิธีทา จากโจทย์
n1  32
n2  30
x1  6
x2  3.5
S 1 1
S 2 5
  0.10
จากข้อมูล จึ งใช้กรณีที่ 2 ในการประมาณค่า และจาก
การเปิ ดตาราง ได้ค่า Z   1.645
2
( x1  x2 )  Z 
2
S12 S 22

 1   2  ( x1  x2 )  Z 
n1
n2
2
S12 S 22

n1
n2
12 52
12 52
(6  3.5)  1.645

 1   2  (6  3.5)  1.645

32 30
32 30
2.5  1.53  1   2  2.5  1.53
0.97  1  2  4.03
ดังนั้น ร้านค้าในห้างสรรพสินค้าทั้งสองจะมีรายได้เฉลี่ยต่างกัน
ประมาณเดือนละ 0.97 ถึง 4.03 ล้านบาท ทีร่ ะดับความเชื่อมัน่
90%
ตัวอย่าง 4.6 ถ้าเวลาที่ลูกค้ามาติดต่อธนาคารกรุงไทยมีการ
แจกแจงแบบปกติ สุ่ ม ตัว อย่ า งลู ก ค้า ธนาคารกรุ ง ไทยจาก
สาขาช้า งเผื อ กและสาขาท่ า แพ ส ารวจเวลาที่ ใ ช้ติ ด ต่ อ กั บ
พนักงาน ได้ขอ้ มูลดังตาราง
ข้อมูล
จานวน (คน)
ค่าเฉลีย่ (นาที)
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
สาขาช้างเผือก
16
13
4
สาขาท่าแพ
14
9
6
ถ้าทราบว่าความแปรปรวนของเวลาที่ลูกค้ามาติดต่อธนาคารกรุ งไทย
ทั้งสองสาขาเท่ากัน จงประมาณช่วงความเชื่อมัน่ 95% ของผลต่าง
ของเวลาเฉลี่ยที่ลูกค้าของธนาคารทั้งสองสาขาที่ใช้ในการติ ดต่ อกับ
พนักงานธนาคาร
วิธีทา จากโจทย์
ข้อมูล
จานวน (คน)
ค่าเฉลีย่ (นาที)
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
α = 0.05 และ
สาขาช้างเผือก
n1 = 16
x1 = 13
S1 = 4
สาขาท่าแพ
n2 = 14
x2 = 9
S2 = 6
 12   22
จากข้อมูล จึ งใช้กรณีที่ 3 ในการประมาณค่า และจากการ
เปิ ดตาราง t ที่ df  n  n  2  16  14  2  28 ได้ค่า t  2.048
1

2
2
S p2
(n1  1)S12  (n2  1)S 22

n1  n2  2

(16  1)4 2  (14  1)6 2
16  14  2
 25.286
( x1  x2 )  t 
2
1
1 
  1   2  ( x1  x2 )  t 
S  
 n1 n2 
2
2
p
1
1 

S  
 n1 n2 
2
p
1 1
1 1
(13  9)  2.048 25.286    1   2  (13  9)  2.048 25.286  
 16 14 
 16 14 
4  3.77  1   2  4  3.77
0.23  1  2  7.77
ดั้งนั้นลูกค้าทีเ่ ข้ามาพบพนักงานธนาคารกรุงไทยทั้งสองสาขาใช้เวลา
ต่างกันเฉลีย่ ประมาณ 0.23 – 7.77 นาที ทีร่ ะดับความเชื่อมัน่
95%
ตัวอย่ าง 4.7 จานวนจุ ดตาหนิของสินค้าที่เครื่ องจักร
ผลิตได้ในโรงงานทั้งสองเครื่องมีการแจกแจงแบบปกติ
โดยเครื่ อ งที่ 1 มี ส่ ว นเบี่ย งเบนมาตรฐาน 0.05 จุ ด
และเครื่องที่สอง มีส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 0.1 จุด ทา
การสุ่มเลือกสินค้าที่ผลิตโดยเครื่องจักรเครื่ องที่ 1 มา
100 ชิ้ น แล้วตรวจสอบพบว่ ามีจุดตานิเฉลี่ย 0.8 จุ ด
และสุ่มเลือกสินค้าที่ผลิตโดยเครื่องที่ 2 จานวน 200
ชิ้ น พบว่ า มี จุ ด ต าหนิ เ ฉลี่ ย 0.5 จุ ด จงประมาณช่ ว ง
ความเชื่อมัน่ 99% ของผลต่างของจานวนจุดตาหนิ
เฉลีย่ ของสินค้าที่ผลิตโดยเครื่องจักรทั้งสอง
วิธีทา จากโจทย์
 1  0.05
 2  0.1
n1  100
n2  200
x1  0.8
x2  0.5
  0.01
จากข้อมูล จึ งใช้กรณีที่ 1 ในการประมาณค่า และจาก
การเปิ ดตาราง ได้ค่า Z   2.576
2
( x1  x2 )  Z 
2
 12
n1

 22
n2
 1   2  ( x1  x2 )  Z 
2
 12
n1

 22
n2
(0.05) 2 (0.1) 2
(0.05) 2 (0.1) 2
(0.8  0.5)  2.576

 1  2  (0.8  0.5)  2.576

100
200
100
200
0.3  0.02  1  2  0.3  0.02
0.28  1  2  0.32
ดังนั้นจานวนจุดตาหนิเฉลีย่ ของสินค้าทีผ่ ลิตโดยเครื่องจักรทั้งสอง
ต่างกันประมาณ 0.28 ถึง 0.32 จุด ทีร่ ะดับความเชื่อมัน่ 99%
ตัวอย่าง 4.8 ในในโรงงานผลิตวิ ทยุแห่ งหนึ่ง เจ้า ของ
โรงงานได้สุ่มตัวอย่างคนงานชายและหญิงมาอย่างละ 20
คน สอบถามเกี่ยวกับค่ าแรงในสัปดาห์ที่ผ่านมา พบว่ า
ค่าแรงเฉลี่ยของคนงานชายและหญิง เท่ากับ 500 และ
400 บาท ตามลาดับ ความแปรปรวนเท่ากับ 100 และ
50 บาท2 ตามลาดับ ถ้าทราบว่าค่าแรงของคนงานชาย
และหญิงมีการแจกแจงแบบปกติ และมีความแปรปรวน
ไม่เท่ากัน จงประมาณช่วงความเชื่อมัน่ 95% ของผลต่าง
ระหว่างค่าแรงเฉลี่ยต่อสัปดาห์ของคนงานชายและหญิง
ของโรงงานแห่งนี้
วิธีทา
จากโจทย์
n1  20
x1  500
n2  20
S12  100
S22  50
x2  400
2
2



และ 1 2 2จึ งใช้กรณีที่ 4 ในการประมาณค่า
2
 S21 S22 
100
50

 
n  n 
 20 20 


1
2 
คานวณหา df.  2 2
2 
2
2  34.2  34
2
 S1   S2 
 100   50 
n  n 
 20   20 

 1  2
20  1 20  1
n1  1 n2  1
เปิ ดตาราง t เนือ่ งจาก ที่ df = 34 ไม่มีจึงดูที่ df = 30 ได้
t   2.042
2
( x1  x2 )  t 
2
S12 S 22

 1   2  ( x1  x2 )  t 
n1
n2
2
S12 S 22

n1
n2
100 50
100 50
(500  400)  2.042
  1  2  (500  400)  2.042

20 20
20 20
100  5.59  1  2  100  5.59
94.41  1  2  105.59
ดังนั้นค่าแรงเฉลีย่ ต่อสัปดาห์ของคนงานชายและหญิงของโรงงาน
แห่งนี้ ต่างกันประมาณ 94.41 ถึง 105.59 บาท ทีร่ ะดับความ
เชื่อมัน่ 95%
การประมาณช่วงความเชื่อมันของสั
่
ดส่วนประชากร 1 กลุ่ม
ในกรณีทีส่ ่มุ ตัวอย่างจานวน n สิง่ จากประชากรจานวน N
ให้ x แทนจานวนตัวอย่างทีส่ นใจ
pˆ แทนสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างทีส่ นใจ
qˆ
ซึ่ง
x
pˆ 
n
แทนสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างทีไ่ ม่สนใจ
และ
ˆ
qˆ  1  p
ดังนั้น การประมาณช่วงความเชื่อมัน่ (1   )100% ของ P คือ
pˆ  Z
2
pˆ qˆ
 P  pˆ  Z
n
2
pˆ qˆ
n
ตัวอย่าง 4.9 บริษทั ผลิตผงซักฟอกยี่หอ้ A ทาการสุ่ม
ตัวอย่างคนกรุงเทพมหานครมา 500 คน พบว่ามี 152
คนใช้ผ งซัก ฟอกยี่ ห ้อ ดัง กล่ า ว จงประมาณช่ ว งความ
เชื่อมัน่ 90% ของสัดส่วนของคนกรุงเทพมหานครที่ ใช้
ผงซักฟอกยีห่ อ้ A
วิธีทา ให้
qˆ
จะได้
pˆ
แทน สัดส่วนของคนทีใ่ ช้ผงซักฟอกยีห่ อ้ A
แทน สัดส่วนของคนทีไ่ ม่ได้ใช้ผงซักฟอกยีห่ อ้ A
x
152
pˆ 

 0.304
n
500
ˆ  1  0.304  0.696
qˆ  1  p
ที่
  0.05
เปิ ดตาราง Z ได้
Z   1.645
2
แทนค่าในสูตร
pˆ  Z
2
pˆ qˆ
 P  pˆ  Z
n
2
pˆ qˆ
n
0.304 0.696
0.304 0.696
0.304 1.645
 P  0.304 1.645
500
500
0.304 0.034  P  0.304 0.034
0.27  P  0.338
ดังนั้นสัดส่วนของคนกรุงเทพมหานครทีใ่ ช้ผงซักฟอกยีห่ อ้ A มี
ประมาณ 0.27 ถึง 0.338 หรือประมาณ ร้อยละ 22 ถึงร้อยละ
33.8 ทีร่ ะดับความเชื่อมัน่ 90%
การประมาณช่วงความเชื่อมันของผลต่
่
างของสัดส่วน
ประชากร 2 กลุ่ม
ให้ pˆ1 แทน สัดส่วนของตัวอย่างทีส่ นใจกลุ่มที่ 1
pˆ 2 แทน สัดส่วนของตัวอย่างทีส่ นใจกลุ่มที่ 2
x1
pˆ 1 
n1
qˆ1  1  pˆ1
x2
pˆ 2 
n2
qˆ 2  1  pˆ 2
ดังนั้น การประมาณช่วงความเชื่อมัน่ (1   )100% ของ P1-P2 คือ
( pˆ1  pˆ 2 )  Z 
2
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2

 P1  P2  ( pˆ1  pˆ 2 )  Z 
n1
n2
2
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2

n1
n2
ตัวอย่าง 4.11 จากการสุ่มตัวอย่างคนเชียงใหม่
ผูช้ าย 400 คน และผูห้ ญิง 500 คน พบว่า ชอบดู
รายการข่าวการเมือง จานวน 348 คน และ 280
คน จงประมาณช่วงความเชื่อมัน่ 99% ผลต่างของ
สัดส่วนระหว่างผูช้ ายกับผูห้ ญิงที่ชอบดู ข่าวการเมือง
วิธีทา ให้
pˆ1 แทน สัดส่วนของผูช้ ายทีช่ อบดู ข่าวการเมือง
pˆ 2 แทน สัดส่วนของผูห้ ญิงทีช่ อบดูข่าวการเมือง
จะได้
x1
348
pˆ 1 

 0.87
n1
400
ˆ1  1  0.87  0.13
qˆ1  1  p
x2
280
pˆ 2 

 0.56
n2
500
ˆ 2  1  0.56  0.44
qˆ2  1  p
ที่
  0.01
เปิ ดตาราง Z ได้
Z   2.576
2
แทนค่าในสูตร
( pˆ1  pˆ 2 )  Z 
2
(0.87  0.56)  2.576
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2

 P1  P2  ( pˆ1  pˆ 2 )  Z 
n1
n2
2
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2

n1
n2
(0.87 0.13) (0.56 0.44)
(0.87 0.13) (0.56 0.44)

 P1  P2  (0.87  0.56)  2.576

400
500
400
500
0.31 0.07  P1  P2  0.31 0.07
0.24  P1  P2  0.38
ดังนั้นสัดส่วนของผูช้ ายและผูห้ ญิงที่ชอบดูรายการนี้ ต่างกันประมาณ 0.24 ถึง 0.38 หรือ
คิดเป็ นร้อยละ 24 ถึง ร้อยละ 38 ที่ระดับความเชื่อมัน่ 99%