Transcript 103-102 CALCULUS II ส่วนที่ 2

103-102 CALCULUS II ส่ วนที่ 2
เนื้อหาวิชาในส่ วน CALCULUS II ส่ วนที่ 2
เกี่ยวข้อง
กับเรขาคณิ ตใน 3 มิติ เช่น เส้นตรง, ระนาบ,
เวกเตอร์ (Vectors) ใน 3 มิติ และ การประยุกต์ใช้
เรื่ องอนุพนั ธ์
ในการพิจารณารู ปทรงใน 3 มิติ, การเคลื่อนที่ใน 3
CALCULUS II
Three dimensional space
Scalar Product and Vector Product
Lines and Planes in space
Vector-Valued Functions and Space curves
Arc Length and the Unit Tangent Vector
Functions of many variables
Partial Derivatives and Chain Rule
Directional Derivatives,
Gradient Vectors and Tangent Planes
Extreme values and Saddle Points
ระบบพิกดั ฉาก (2 มิติ)
( a, b)
ระบบพิกดั คาร์ ทเี ซียน (พิกดั ฉาก)
Cartesian (Rectangle) Coordinate
จุดกาเนิด พิกดั (0,0,0)
จตุภาค (Quadrant)
อัฐภาค (Octant)
ในทานองเดียวกันกับการ
พิจารณาจตุภาค เราสามารถ
พิจารณาพิกดั ฉากใน 3 มิติ
เป็ น 8 ส่ วน (Oct = อัฐ =
8)
st
อัฐภาคทีห่ นึ่ง (1 Octant)
x  0, y  0, z  0
nd
อัฐภาคทีส่ อง (2 Octant)
x  0, y  0, z  0
rd
อัฐภาคทีส่ าม (3 Octant)
x  0, y  0, z  0
th
อัฐภาคทีส่ ี่ (4 Octant)
x  0, y  0, z  0
th
อัฐภาคทีห่ ้ า (5 Octant)
x  0, y  0, z  0
th
อัฐภาคทีห่ ก (6 Octant)
x  0, y  0, z  0
th
อัฐภาคทีเ่ จ็ด (7 Octant)
x  0, y  0, z  0
th
อัฐภาคทีแ่ ปด (8 Octant)
x  0, y  0, z  0

ระนาบ xy (xy-plane)
ระนาบ xy ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยูใ่ นรู ป
(x,y,0)
ระนาบ xz (xz-plane)
ระนาบ xz ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยูใ่ นรู ป
(x,0,z)
ระนาบ yz (yz-plane)
ระนาบ yz ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยูใ่ นรู ป
(0,y,z)
แกน x (x-axis)
แกน x ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยูใ่ นรู ป
(x,0,0)
แกน y (y-axis)
แกน y ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยูใ่ นรู ป
(0,y,0)
แกน z (z-axis)
แกน z ประกอบด้วยจุดต่างๆ ซึ่งอยูใ่ นรู ป
(0,0,z)
ความยาว =
ระยะทางระหว่ างจุด 2 จุดคือ
ระยะทางระหว่ างจุด 2 จุดคือ
( x1  x2 )  ( y1  y2 )  ( z1  z2 )
2
( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 )
2
2
2
2
2
จงหาระยะทางระหว่างจุด (2,3,-1) และ จุด (4,-1,3)
จงหาระยะทางระหว่างจุด (1,1, 3) และ จุด (-3,-1,-1)
จงพิจารณารู ปทรงที่มีจุดต่างๆ ห่างจากจุดกาเนิด (0,0,0)
เป็ นระยะทาง 5 หน่วย
สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด (0,0,0) และมี
รัศมี 5 หน่วย คือ
สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (x0, y0, z0) และมี
รัศมี r หน่วย คือ
สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (x0, y0, z0) และมี
รัศมี r หน่วย คือ
( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z0 )  r
2
2
2
2
สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (-1,0,-4) และมี
รัศมี 3 หน่วย คือ
สมการทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (-1,2,-3) และมี
รัศมี 11 หน่วย คือ
จงหาว่าทรงกลมที่เป็ นไปตามสมการต่อไปนี้
x  2x  y  4 y  z  6z  2  0
2
2
2
มีจุดศูนย์กลางที่ใด และมีรัศมีเท่าใด
จงวาดกราฟของสมการ x 2  z 2  1
จงวาดกราฟของสมการ z  sin y
จุดกึง่ กลางระหว่ างจุด 2 จุด
ในการหาจุดกึ่งกลาง M ซึ่งอยูบ่ นส่ วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ
ระหว่างจุด 2 จุด P1(x1, y1, z1) และ P2(x2, y2, z2) หาได้ดงั นี้
x1  x2 y1  y2 z1  z2
M (
,
,
)
2
2
2
จงหาจุดกึ่งกลางของเส้นตรงที่เชื่อมจุด
P1(3,-2,0) และ P2(7, 4, 4)
ในบางครั้ง เราพิจารณาแค่เพียงทิศทาง และ ระยะทาง
จากจุดที่สนใจจากจุดหนึ่ง ไปยังอีกจุดหนึ่ง เท่านั้น โดย
ที่เราไม่จาเป็ นต้องทราบพิกดั ที่แน่นอน นัน่ เป็ นแนว
ความคิดที่นาไปสู่ การทางานเรื่ อง เวกเตอร์ (Vector)
ระวัง!!!
เวกเตอร์ ไม่ ใช่ ปริมาณที่มีขนาดและทิศทางอย่ างที่เรา
เข้ าใจกัน
ในการศึกษา ณ ตอนนี้ให้พิจารณาเวกเตอร์เปรี ยบเสมือน
ลูกศรที่มีการบอกทิศทางและมีขนาดคือความยาวของลูกศร
เวกเตอร์ ที่มีขนาดเดียวกัน และ มีทิศทางเดียวกัน ถือว่า
เป็ นเวกเตอร์ตวั เดียวกัน
(1,2,1)
(2,1,0)
(0,1,1)
(1,0,0)
เวกเตอร์ 0 เป็ นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 0 และไม่
สามารถระบุทิศทางได้ โดยมาก เรามันจะพิจารณา
เวกเตอร์ 0 เป็ น
เสมือนจุด
การดาเนินการบนเวกเตอร์
1. การดาเนินการบวกบนเวกเตอร์
1.1 v+w = w+v
1.2 0+v = v+0 = v
หมายเหตุ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์บวกกัน ยังเป็ นเวกเตอร์
2. การดาเนินการคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์ (scalar)
 (หรื อ
ตัวเลข)
หมายเหตุ หลังจากดาเนินการคูณเวกเตอร์ ด้วยสเกลาร์ เรายังคง
ได้เวกเตอร์
2.1 คูณด้วยสเกลาร์บวก ได้ทิศทางคงเดิม แต่ขนาดของ
เวกเตอร์ 0    1
เปลี่ยนไป   1
2.1.1
ขนาดของเวกเตอร์หดสั้นลง
2.1.2
ขนาดของเวกเตอร์ขยายขึ้น
2.2 คูณด้วยสเกลาร์ลบ ได้ทิศทางตรงข้ามเดิม และขนาดของ
เวกเตอร์เปลี่ยนไป
2.2.1
1    0 ขนาดของเวกเตอร์ หดสั้นลง
2.2.2  1
ขนาดของเวกเตอร์ขยายขึ้น
หมายเหตุ ถ้าเวกเตอร์ u และ v ไม่ใช่เวกเตอร์ 0 ทั้งคู่
แล้วเวกเตอร์ u และ v ขนานกันก็ต่อเมื่อ
u = v
เมื่อ  เป็ น scalar
หมายเหตุ จากการดาเนินการทังสองอย่
้
างทาให้ เราได้
การลบเวกเตอร์ นัน่ คือ v-w = v+(-w) นัน่ เอง
w
v
w
v
v+w
-w
-w
v+(-w)=v-w
v
v-v = v+(-v)=
v
-v
การพิจารณาเวกเตอร์ ในรูปส่ วนประกอบ
(Considering vector in component form)
การพิจารณาเวกเตอร์ในลักษณะนามธรรม ทาให้ยาก
ต่อความเข้าใจ และนาไปประยุกต์ใช้
เพื่อความสะดวกเราจะพิจารณาเวกเตอร์ในรู ปส่ วนประกอบ
ของเวกเตอร์พ้นื ฐานที่มีลกั ษณะง่ายต่อการนาไปใช้แทน
เวกเตอร์ i,j และ k
k
i
j
i คือเวกเตอร์ซ่ ึงมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย
และมีทิศทางในแนวแกน x ทางบวก
j คือเวกเตอร์ซ่ ึงมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย
และมีทิศทางในแนวแกน y ทางบวก
k คือเวกเตอร์ซ่ ึงมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย
และมีทิศทางในแนวแกน z ทางบวก
โดยทฤษฎีบท เราได้วา่ เวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนได้ในรู ป
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ i,j และ k ได้เสมอ
v=v1i +v2j +v3k
และโดยทัว่ ไปเรามันจะเขียนเวกเตอร์ v ในรู ปของ
ส่ วนประกอบดังนี้
v=<v1, v2, v3>
ทฤษฎีบท เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากันก็ต่อเมื่อส่ วน
ประกอบย่อยแต่ละส่ วน มีค่าเท่ากันทั้งหมด
เช่น <a,b,c> = <-2, 5,  > ก็ต่อเมื่อ
ทฤษฎีบท ถ้ า v=<v1, v2, v3> และ w= <w1, w2, w3> แล้ว
v+w = < v1+w1, v2+w2, v3+w3>
= (v1+w1)i+(v2+w2)j+(v3+w3)k
v-w = < v1-w1, v2-w2, v3-w3>
= (v1-w1)i+(v2-w2)j+(v3-w3)k
 v = < v1,  v2,  v3>
= ( v1)i+( v2)j+( v3)k
ตัวอย่าง ถ้ า v=<-2,1,0> และ w= <3,-4,-5> แล้ว
v+w =
0.5v =
-2w =
2w-3v =
การหาเวกเตอร์ซ่ ึงมีทิศทางเดียวกับทิศทาง
จากจุด P1 ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ
ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2
OP1 
OP2 
สังเกตว่า
OP1  PP
1 2  OP2
การหาเวกเตอร์ซ่ ึงมีทิศทางเดียวกับทิศทาง
จากจุด P1 ไปยังจุด P2 และมีขนาดเท่ากันกับ
ระยะทางระหว่างจุด P1 และจุด P2
P1(x1, y1, z1)
P2(x2, y2, z2)
x 2 - x 1, y 2 - y1, z 2 - z 1
PP
1 2 
ขยายแนวคิดสู่ 3 มิติพบว่า
PP
1 2 
การหาเวกเตอร์ซ่ ึงมีทิศทางเดียวกับทิศทาง
จากจุด P1(0,-2,5) ไปยังจุด P2 (3,4,-1) และมีขนาดเท่ากันกับ
ระยะทางระหว่างจุด P1 (0,-2,5) และจุด P2(3,4,-1)
ทฤษฎีบท สาหรับเวกเตอร์ u,v และ w
และสเกลาร์ k และ l ใดๆ แล้ว
ขนาดของเวกเตอร์
ทฤษฎีบท ถ้ า v=<v1, v2, v3> ขนาดของ v คือ
v
ขนาดของ v คือ
v 
v 
2
 v1    v2    v3 
2
2
2
ทฤษฎีบท ถ้ า v=<v1, v2, v3> ขนาดของ v คือ
 v1    v2    v3 
v
2
2
2
ขนาดของ v คือ
v   v  
 v1    v2    v3 
2
v   v1    v2    v3 
2
2
2
2
2
2
จงหาขนาดของ
v= <3,-4,-5>
w= 3i+4j+5k
2v
-3w
0
เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย
ถ้า v ไม่ใช่เวกเตอร์ 0 เวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย และ
มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ v คือ
1
v
เวกเตอร์
v
v
v
หมายเหตุ เราเรี ยกการคูณเวกเตอร์ ด้วยสเกลาร์ 1
¢¹ Ò´ ¢Í §àÇ¡ àµÍ Ãì
ว่า “การทาให้ เป็ นบรรทัดฐาน” (normalization)
จงหาเวกเตอร์ 1 หน่วย ที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ
เวกเตอร์ v= <2,-2,1>