Transcript 等速円運動
等速円運動
v2
半径rの質量mも物体の等速円運動を考える
v1
P1
S
O
P0
s
径:r
半
円の中心:o
p2 p1 s
元の位置:P0
元の位置から円弧S
だけ離れた所:P
1
P0OP1のなす角:
P0からP1までに
要した時間:Δt
v
3
4
6
6
3
P0
t 0
12
24
24
ならば
12
s
t
4
p2
p1
平均の速度は
P0
r
P
Δtが大きいとθも大きくなり
Δsは大きい。またその方向は
ベクトルP0の接線から大きく
ずれている。Δtが小さく
なりゼロに近づくと、Δsも
小さくなる。しかし、その方向
はベクトルP0の接線に限りなく
近づく。また、大きさはゼロに
近づくがΔs/Δtは有限値に近づく。
0
vは接線方向に近づく
s 0だがその比sは有限値に近づく
瞬間の速度をvとすると
v lims ds
t dt
t 0
Δtが大きいとθも大きくなり
Δvは大きい。またその方向は
ベクトルv0と垂直方向(P0と平行)
から大きくずれている。Δtが小さく
なりゼロに近づくと、Δvも小さくなる。
しかし、その方向はベクトルP0の方向に
限りなく近づく。また、大きさはゼロに
近づくがΔv/Δtは有限値に近づく。
2
v
dv
d
lim 2s
dt d t
t 0 t
3
4
6
12
P0
24
24
12
6
4
P0
3
等速円運動の場合 速度は円周の接線方向
加速度は中心に向かう。
円弧sと角度θには次の関係がある。
s r
をラジアンとする。 円周角は2 (ラジアン)
半値rの円周の長さは2rなので半径1の単位円の円周は2
となる。つまりラジ アンとは単位円の円周の長さを角度とした
単位。
これにより、円周の長 さは中心角に半径rを掛ければいい。
平均の角速度をΔωとすると
t
瞬間の角速度をωとすると
lim d
t 0
t
dt
v s (r ) r r r
t
t
t
t
t
r 0なぜなら rは一定なので
t
t 0の極限値を考えれば
v ds d(r ) r d r
dt
dt
dt
等速円運動なので
r (x, y) において
x r cos
y r sin ここで を角速度とすると
t x r cost
y r sint
点 p( x, y),(r, ) が等速円運動をしているならば
p
その速度 v は点 の座標を時間tで微分すればいい。
d
vx dx
(r cost ) r sin t
dt dt
d
vy dy
(r sint ) r cost
dt dt
v v v r sin2 t cos2 t r
さらに加速度 は
dv
x d
2
y
2
x
x dt dt (r sint) r cost
y ddtv dtd (r cost) r sint
r cos2 t sin2 t r 2
2
y
2
x
2
2
y
v2
y
O
P1 v1
r
S
x
P0