等速円運動

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等速円運動
v2
半径rの質量mも物体の等速円運動を考える
v1
P1
S
O
P0
s
径:r
半
円の中心:o
p2  p1  s
元の位置:P0
元の位置から円弧S
だけ離れた所:P
1
P0OP1のなす角: 
P0からP1までに
要した時間:Δt
v 

3
 

4
 
 

6
 


6
 
3
P0
t  0
12 

24

24
ならば

 
12
 
s
t

4
 
p2
p1
平均の速度は
 
 
P0
r
P
Δtが大きいとθも大きくなり
Δsは大きい。またその方向は
ベクトルP0の接線から大きく
ずれている。Δtが小さく
なりゼロに近づくと、Δsも
小さくなる。しかし、その方向
はベクトルP0の接線に限りなく
近づく。また、大きさはゼロに
近づくがΔs/Δtは有限値に近づく。
0
vは接線方向に近づく
s  0だがその比sは有限値に近づく
瞬間の速度をvとすると
v  lims  ds
t dt
t  0
Δtが大きいとθも大きくなり
Δvは大きい。またその方向は
ベクトルv0と垂直方向(P0と平行)
から大きくずれている。Δtが小さく
なりゼロに近づくと、Δvも小さくなる。
しかし、その方向はベクトルP0の方向に
限りなく近づく。また、大きさはゼロに
近づくがΔv/Δtは有限値に近づく。
2

v
dv
d
  lim   2s
dt d t
t  0 t
 

3
 

4
 

6
 
12
 
P0
 

 

24

  

24
12
6
 

4
 

P0
3
等速円運動の場合 速度は円周の接線方向
加速度は中心に向かう。
円弧sと角度θには次の関係がある。
s  r
をラジアンとする。 円周角は2 (ラジアン)
半値rの円周の長さは2rなので半径1の単位円の円周は2
となる。つまりラジ アンとは単位円の円周の長さを角度とした
単位。
これにより、円周の長 さは中心角に半径rを掛ければいい。
平均の角速度をΔωとすると
  
t
瞬間の角速度をωとすると
  lim  d
t  0
t
dt
v  s  (r )  r   r   r 
t
t
t
t
t
r   0なぜなら rは一定なので
t
t  0の極限値を考えれば
v  ds  d(r )  r d  r
dt
dt
dt
等速円運動なので
r  (x, y) において
x  r cos
y  r sin ここで  を角速度とすると
  t x  r cost
y  r sint
点 p( x, y),(r, ) が等速円運動をしているならば
p
その速度 v は点 の座標を時間tで微分すればいい。
d
vx  dx
 (r cost )  r sin t
dt dt
d
vy  dy
 (r sint )  r cost
dt dt
v  v  v  r sin2 t  cos2 t  r
さらに加速度  は
dv
x d
2
y
2
x
 x  dt  dt (r sint)  r cost
 y  ddtv  dtd (r cost)  r sint
     r cos2 t  sin2 t  r 2
2
y
2
x
2
2
y
v2
y
O
P1 v1
r
S
x
P0