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システム制御基礎論
システム工学科2年後期
I. 概論
講義内容の予定
システムの表現(状態空間表現)
微分方程式の復習(初期値問題の解・安定性)
座標変換, 可制御・可観測性, 安定性
可制御標準形・可観測標準形
極配置, オブザーバ
Laplace変換の復習
もうひとつのシステム表現(伝達関数表現)および状態空間表現との関連
ブロック線図, 伝達関数の合成, フィードバック結合
伝達関数の安定性
周波数応答, Bode線図
Nyquistの安定判別法
定常偏差, PID制御
システムの表現
制御で扱うシステムは「動的システム」
例:
常微分方程式で表される系
差分方程式で表される系
偏微分方程式で表される系, など...
「系」…「システム」に対する
日本語
常微分方程式で表されるシステム:
x f ( x , u ),
y h( x, u )
系の状態: x, 系への入力: u, 系からの出力: y
(これらは通常はベクトル)
「系の状態」というものがあるのが「動的システム」(dynamical system)
動的システムでは、現在の系の出力は現在の入力だけで一意に決まる
ものではない。過去のシステムの動きの蓄積によって、未来の動きが変
わる。
メカニカルシステムの例
連立2階常微分方程式で表されたメカニカルシステム
M ( q ) q c ( q , q ) g ( q ) u
q: 一般化位置ベクトル, u: 制御入力 (外部からのトルク・力)
M(q): 慣性行列, c( ): 遠心力・コリオリ力・摩擦力の項, g( ): 重力項
連立1階常微分方程式系: (まとめてベクトルで表す)
q
d q
dt q M ( q ){ c ( q , q ) g ( q ) u }
状態を定義:
q
x
q
状態方程式:
x f ( x , u )
x で始まる式
→ 状態方程式
線形状態方程式の導出(1)…偏差系
ある入力 u = u0 のとき、x = x0に静止
「静止している」ということより、微分は0
x f ( x , u )
0 f ( x0 , u 0 )
偏差を定義: z = x – x0
v = u – u0
偏差系:
z F ( z , v ) f ( x 0 z , u 0 v )
状態の目標値 x0 と、それを維持するため
の入力 u0 を考え、それからの偏差を用いて
偏差系を考える。
明らかに、
F(0, 0) = f(x0, u0) = 0
v = 0 のとき、z = 0 は「平衡点」
線形状態方程式の導出(2) …線形近似
線形近似…テーラー級数展開を一次までで打ち切り
線形近似:
F
F
2
z
( 0 ,0 ) z
( 0 , 0 ) v O (( z , v ) )
z
v
Az Bv
F(0,0) = 0 なので0次項は無い
線形近似系:
2次以上の項→無視
線形系のほとんどは線形 “近似系”
z Az Bv
線形近似
= 接線
z と v が小さい時だけ近似が有効
離れると
誤差が大きくなる
0 の近傍では誤差が小さい
2. 微分方程式の解
1階線形微分方程式の解
1階同次線形微分方程式
x ax
1階線形微分方程式
x ax b (t )
初期値問題の解:
x (t ) x ( 0 ) e
at
初期値問題の解:
x (t ) x ( 0 ) e
at
t
e
a ( t )
b ( ) d
0
○ 代入して確認すること。
○ 初期状態を満たすこと、つまり t = 0 のときに式がなりたつこ
とを確認すること。
1階同次線形微分方程式の安定性
解: x(t) = x(0)eat
a<0
1
a>0
1.6
0.9
1.4
0.8
1.2
0.7
1
x
x
0.6
0.5
0.4
0.8
0.6
0.3
0.4
0.2
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Time
4
5
0
0
1
a が負 … 0に収束 (漸近安定)
a が正 … 発散 (不安定)
a が 0 … 一定値を取り続ける (安定限界)
2
Time
3
4
5
収束の速さ
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
x
x
x ax の解: x(t) = x(0)eat の収束の速さと、a との関係
a = 1
a = 4
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0
1
2
3
Time
4
5
0
1
2
Time
3
a が小さいほうが(負で絶対値が大きいほうが) 収束が速い。
4
5
2階線形微分方程式
2 階同次線形微分方程式:
x a x b 0
特性方程式:
l2 + al + b = 0
一般解:
特性方程式が2つの実解 l1, l2 を持つ場合
x ( t ) C 1e
l1 t
C 2e
l2t
特性方程式が重根 l1 を持つ場合
x ( t ) C 1te
l1 t
C 2e
l1 t
特性方程式が虚数解 p qj を持つ場合 ( j は虚数単位)
x ( t ) C 1e
pt
cos( qt ) C 2 e
pt
sin( qt )
C1, C2 は定数。x と x の初期値を、一般解および一般解の両辺を微分し
た式に代入して、 C1, C2 を決定する。
2階線形微分方程式の解の挙動
微分方程式: x 2 x kx 0
赤: k = 0.75 (異なる実根), 緑: k = 1 (重根), 青: k = 3.1622… (虚数解)
x ( 0 ) 1, x ( 0 ) 0
1
0.8
○ 全ての特性方程式の解の実部
が負であることが、0に収束する
ための必要十分条件。
○ 特性方程式が虚数解を持てば、
挙動は振動的になる。その虚数
部は振動の角周波数となる。
0.6
x
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
Time
8
10
行列指数関数
通常の指数関数
e
1 at
at
1
1
a t
2 2
2!
a t
3 3
3!
を行列に拡張
行列指数関数:
e
I tA
tA
t
2
A
2
2!
t
3
A
3
3!
A が n n の行列ならば、eAt も n n の行列。
行列指数関数の微分
d
e
tA
A tA
2
dt
t
2
A Ae
3
2!
行列指数関数の積分 (A が正則のとき)
1
e dt A e
tA
tA
tA
連立1階線形方程式の解
連立1階同次線形方程式:
x Ax
その初期値問題の解：
x(t) = etAx(0)
連立1階線形方程式:
x Ax b (t )
その初期値問題の解：
x (t ) e x ( 0 )
tA
t
e
( t ) A
0
代入することで、これは確かめられる。
b ( ) d
行列指数関数の計算
逆ラプラス変換(L1{ })を用いる方法:
e
tA
1
1
1 adj ( sI A )
L {( sI A ) } L
det( sI A )
対角化・ジョルダン標準形を用いる方法:
たとえば、行列 A が対角化可能なとき、正則行列 T が存在して、
TAT
1
l1
0
0
l n
(l1,…,ln はA の固有値)
とできる。よって、
e
tA
1
T e
tTAT
e l1 t
1
1
T T
0
0
T
l t
e n
座標変換 z = Tx を
用いているのと同じ
座標変換と線形微分方程式
行列 A は対角化可能で、m 個の実数固有値 l1,…,lm と2 個の虚数の
固有値 c1 w1j,…, c wj を持つとする。
対角化を用いて行列指数関数を求める場合、虚数の扱いが面倒。
しかし、虚数の固有値は必ず共役複素数として現れるので、
少し工夫すれば、実数だけで扱える。
すなわち、正則行列 T が存在して、以下のようになる。
TAT
1
l1
0
lm
c1
w1
w1
c1
c
w
0
w
c
よって、
e
At
T
e l1 t
1
T
0
1
e
TAT
1
t
T
T
c t
e sin w t
ct
e cos w t
0
e
lmt
e
c1 t
e
cos w 1t
c1 t
sin w 1t
e
c1 t
sin w 1t
e
c1 t
cos w 1t
e
ct
e
cos w t
ct
sin w t
座標変換: z = Tx を用いると、
座標変換後のシステム:
z T x TAx TAT
1
z
座標変換後の解:
z ( t ) Tx ( t ) Te x ( 0 ) Te T
tA
z k (t ) e
lk t
z k ( 0 ),
tA
1
z (0) e
tTAT
1
z (0)
k 1, , m
z m 2 k 1 ( t ) e c k t { z m 2 k 1 ( 0 ) cos w k t z m 2 k ( 0 ) sin w k t }
,
ck t
z m 2 k ( t ) e { z m 2 k ( 0 ) cos w k t z m 2 k 1 ( 0 ) sin w k t }
k 1, ,
○ 1階常微分方程式と2階常微分方程式の解の組み合わせ
○ 虚数の固有値に対しては、振動的になり、その虚数部は振動の角周波数
をあらわす。
○ 固有値の実部が全て負であることが、0 に収束するための必要十分条件。
○ 固有値の実部が収束の速さを表している。
2つの特性方程式
行列 A の特性方程式:
det (sI – A) = 0
n
d z
微分方程式
dt
n
a n 1
d
n 1
dt
z
n 1
a 1 z a 0 z 0 の特性方程式:
sn + an 1sn 1 + + a1s + a0 = 0
この2つの特性方程式は実質的に同じもの。
n
微分方程式
d z
dt
0
x
0
a 0
n
a n 1
1
0
n 1
dt
z
n 1
a 1 z a 0 z 0 を連立1階方程式に変換
x Ax
1
a n 1
0
d
この行列 A の特性方程式は、
sn + an 1sn 1 + + a1s + a0 = 0
元の微分方程式の特性方程式と同じ
安定性の定義
自律系(外部からの入力を含まない時不変システム)
x f ( x )
ただし f ( 0 ) 0
の(局所的)安定性に関しては、以下の2つがある。
(リアプノフ)安定性:
これは、e-d 論法で定義される。
任意の e に対して d が存在し、||x(0)|| < d ならば ||x(t)|| < e となるとき、平
衡点 x = 0 は、(リアプノフ)安定であるという。
漸近安定性:
平衡点 x = 0 の近傍から出発した軌道がすべて平衡点 x = 0 に収束し、かつリ
アプノフ安定であるならば、平衡点 x = 0 は漸近安定であるという。
リアプノフ安定なシステム
漸近安定なシステム
リアプノフ安定でも
漸近安定でない系
が存在する。
2つの安定性
漸近安定なシステム
中立安定な部分を含む
安定なシステム
リアプノフ安定なシステム
漸近安定なシステム: (例)
中立安定なシステム: (例)
不安定なシステム: (例)
不安定なシステム
1 1
x x , x
x , etc...
1 1
0 1
x 0 , x
x , etc...
1 0
1 1
x x , x
x , etc...
1 1
大域的な安定性
局所的な安定性ではなく、全ての初期値に関する安定性。
大域的(リアプノフ)安定性:
全ての初期値に対してその挙動が有界で、かつリアプノフ安定ならば、大域的(リア
プノフ)安定であるという。
大域的漸近安定:
全ての初期値から出発した軌道が0に収束し、かつリアプノフ安定ならば、大域的
漸近安定であるという。
線形系では「大域的」な性質と「局所的」な性質は同じ。
x Ax
A の全ての固有値の実部が負: 大域的漸近安定
A の全ての固有値の実部が非正: 大域的リアプノフ安定
(注意) 入力付きの線形系 x Ax Bu の安定性の定義は別である。
(その条件とは、入力無しシステムの漸近安定性と一致する。)