微分方程式の基礎(PPTファイル) - 形式化数学研究室(宮島研)
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Transcript 微分方程式の基礎(PPTファイル) - 形式化数学研究室(宮島研)
2006. 10. 3
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
茨城大学 工学部
電気電子工学科
宮島啓一 （みやじま けいいち）
専門：形式化数学
（数学の証明のコンピュータ言語化）
[email protected]
講義を始める前に・・・
年齢と年収の関係
年齢
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
月額
223,600
231,900
240,500
249,600
258,900
267,600
277,700
286,500
295,300
304,000
312,700
328,500
338,100
347,600
357,200
366,700
380,800
389,900
398,700
405,900
年収
3,577,600
4,174,200
4,329,000
4,492,800
4,660,200
4,816,800
4,998,600
5,157,000
5,315,400
5,472,000
5,628,600
5,913,000
6,085,800
6,256,800
6,429,600
6,600,600
6,854,400
7,018,200
7,176,600
7,306,200
年齢
月額
年収
42
411,800
7,412,400
43
425,200
7,653,600
44
433,600
7,804,800
45
439,800
7,916,400
46
445,800
8,024,400
47
449,900
8,098,200
48
468,000
8,424,000
49
476,000
8,568,000
50
482,800
8,690,400
51
489,500
8,811,000
52
494,200
8,895,600
53
498,700
8,976,600
54
503,000
9,054,000
55
503,000
9,054,000
56
503,000
9,054,000
57
503,000
9,054,000
58
503,000
9,054,000
59
503,000
9,054,000
60
503,000
9,054,000
生涯賃金
274,916,800
年齢と年収の関係
10,000,000
9,000,000
修士（一般）
生涯賃金
２億７千５百万円
学士（技術あり）
8,000,000
7,000,000
年収
6,000,000
5,000,000
4,000,000
学士（技術なし）
3,000,000
2,000,000
1,000,000
0
学士（技術なし、
運もなし）
22 25
24 27
26 29
28 31
30 33
32 35
34 37
36 39
38 40
42 45
44 47
46 49
48 51
50 52
58 61
60
23
41 43
53 54
55 56
57 59
年齢
留年すると
授業料
５０万円
生活費
１２０万円（１０万×１２）
給与の損失
９００万円
アルバイト
２００万円
以上のことをふまえて、学生生活を送って下さい。
授業の概要
最初の２回：
簡単な常微分方程式の応用
基本的に１変数関数の積分に関係
２変数関数の微積分：
y=f(x) で変数ｘの動く範囲が直線から平面に
なったもの
授業の到達目標
微分方程式を解くとはどういう意味か説
明できる
２変数関数の連続の意味を説明できる
微分係数と変微分係数の違いを説明できる
関数の極大点と極小点を見分けることができる
積分がグラフの下の体積をあらわす様子を想
いうかべることができる
線形代数とのかかわりを少し理解した気になる
微分積分Ⅱの位置づけ
電気回路Ⅰ
（１年次後期）
微分積分Ⅱ
数学演習Ⅱ
（１年次後期）
線形代数Ⅰ・Ⅱ
（１年次）
ベクトル解析
電気回路Ⅱ
フーリエ変換と波形解析
（２年次前期）
電気回路Ⅲ
ラプラス変換と過渡現象
（２年次後期）
制御工学Ⅰ
（３年次前期）
制御工学Ⅱ
（３年次後期）
授業に関する注意点
授業の最後に15～30分程度、演習の時間
をとります。
その演習のレポートを持って出席とみなしま
す。
重要
４回以上欠席した者に対しては、
単位を認めない。
３回まではＯＫ．４回以上は、単位を認めない。
理由があり欠席する場合は、必ず届けてください。
授業での注意事項
•必要に応じてメモを取ってください。
•わからない点（質問）がある場合は、講義の途中
でも構わないので、手を挙げて質問してください。
授業での禁止事項
私語
他の人の迷惑になります。
話が必要なときは、外に出て
話してください。
携帯電話
電源を切るか、
マナ－モ－ドにしてください。
教科書および参考書
教科書：
原岡喜重：教程 微分積分，日本評論社 ISBN 4-535-78416-7
参考書：
馬場敬之，高杉 豊：スバラシク実力がつくと評判の微分積分
キャンパスゼミ，マセマ出版社
ISBN 4-944178-20-4
成績評価方法
成績は、期末試験（１回のみ）で判定する。
①期末試験
期末試験はＡグループと同じ問題です。
配点は１００点満点です。なお、追試等は行いません。
②受験資格
各授業の最後に出すレポート提出が、１０回以上の者。
レポート提出が１０回に満たない者は、期末試験を受験
する資格がありません。
以上で評価します。５０点以上が合格です。
質問および授業に関する情報
授業に関する質問は、E-mailでも受け付けます。
質問がある場合は、下記のアドレス宛にメ－ルを送って下さい。
[email protected]
授業に関する情報は、下記のホ－ムペ－ジを見てください。
http://fm.ee.ibaraki.ac.jp/index.html
微分方程式と
は？
一階の場合
dy (t )
ky(t ) 0
dt
lim
y (t dt ) y (t )
dt
ky(t ) 0
微分方程式と
は？
一階の場合
lim
y (t dt ) y (t )
ky(t ) 0
dt
移項
y (t dt ) y (t )
dt
ky(t )
微分方程式と
は？
一階の場合
y (t dt ) y (t )
ky(t )
dt
両辺にdtをかける
y (t dt ) y (t ) ky(t )dt
微分方程式と
は？
一階の場合
y (t dt ) y (t ) ky(t )dt
移項
y (t dt ) ky(t )dt y (t )
微分方程式と
は？
一階の場合
dy (t )
ky(t ) 0
dt
y (t dt ) ky(t )dt y (t )
少し先の未来 現在の状態
微分方程式の解とは無限の過去から未来
にわたっての状態を表す
微分方程式と
は？
一階の場合
y (t dt ) ky(t )dt y (t )
少し先の未来 現在の状態
もし、ある時刻の状態 y (0)が解るならば、
微分方程式は無限の過去から未来にわたっ
ての状態を表すことが出来る。
微分方程式の初期値問題
例題１
dy (t )
ky(t ) 0
dt
特性方程式 k 0 を解くと・・・
特性方程式とは？
t
とりあえず y (t ) e と置く
理由： e には y(t ) e と言う性質がある。
これを利用する。
t
t
例題１
dy (t )
ky(t ) 0
dt
代入
t
y (t ) e を
t
t
e ke 0
t
t
なので、両辺を
e 0
e で割ると
k 0
特性方程式
例題１
特性方程式
k 0 から k
解の形 y(t ) be
y (t ) be
t
kt
この b は何か？
例題１
y (t ) be
kt
この b とは、積分定数 C に相当する部分
f (t )dt
f (t ) C
この b を初期値 y (0) 1から導く
y (0) be
k 0
b
よって b 1
例題１
以上をまとめると、
微分方程式
dy (t )
ky(t ) 0
dt
初期値
の解は
y (0) 1
y (t ) e
kt
解の一意性と
は？
解が一意であるとは
方程式の解がただ一つに定まること
詳しくは後で詳述する。
解の存在と一意性の定理
f1 (t ), f 2 (t ), , f n (t ), g (t )を t のみの関数とするとき
y
(n)
f1 (t ) y
( n 1)
f n 1 (t ) y f n (t ) y g (t ) ＊
の形の微分方程式をn階線形微分方程式という
f1 (t ), f 2 (t ), , f n (t ), g (t )は区間 I で連続とする。
このとき I 内の点 x a における
( n 1)
y (a) b0 , y (a) b1 ,, y
(a) bn 1
初期条
件：
のもとで、＊の解は区間
I でただ１つ存在する
例題２
同様に例題２について考えよう
2
微分方程式
d y (t )
dt
2
初期値 y (0) 0
の解は？
y (t ) 0
dy
dt
(0) 1
例題２
2
d y (t )
dt
2
y (t ) 0
代入
t
y (t ) e を
t
t
e e 0
2
t
t
なので、両辺を
e 0
e で割ると
特性方程式
1 0
2
例題２
i
特性方程式 2 1 0 から
1t t
t ) b1ebe b2e
解の形を・・・y(ty)(
y (t ) b1e b2e
it
2t
it
この b1 , b2を求める
例題２
y (t ) b1e b2e
it
{
it
に初期値を代入
y(0) b1 b2 0
dy
dt
よって
y (t )
(0) ib1 ib2 1
b1
1
2i
1
2i
e
it
, b2
1
2i
e
it
1
2i
sin t
オイラーの公式
オイラーの公式
i
e cos i sin ・・・①
①式の に を代入すると
i ( )
e
cos( ) i sin( )
cos i sin ・・・②
①＋②より e
i
e
i
2 cos
cos
i
e e
2
i
①ー②より e
i
e
i
tan は tan
2i sin
sin
cos
だから
i
sin
e e
2i
i
オイラーの公式
e
i
cos i sin
i
sin
e e
i
i
cos
2
2i
i
tan
e e
e e
i
i
i (e e
i
)
i
オイラーの公式
e
i
cos i sin
は指数関数や対数関数のマクローリン
展開から導くことが出来る。
（この授業では行わない）
オイラーの公式は今後、他の授業でも
よく使われるので、覚えておくよう
に！！
例題３
最後に例題３について考えよう
2
微分方程式
d y (t )
dt
2
y (t ) 0
実数値をとるすべての解は？
初期値が無い場合、自分で初期値
を考える
y (0) a0
dy
dt
(0) a1
例題３
例題２より解は y(t ) b1e b2e
it
it
b1 b2 a0
初期値より
ib1 ib2 a1
この連立方程式を解くと
b1
ia 0 a1
2i
, b2
ia 0 a1
2i
代入してオイラーの公式を使用
y(t ) a0 cos t a1 sin t （ a0 , a1は任意の実数定
数）
本日の課題１
次の微分方程式を与えられた初期条件
の下で解きなさい。
(1)
dy (t )
y (t ) 0,
y (0) 1
dt
2
(2)
d y (t )
dt
2
3
dy (t )
dt
2 y (t ) 0,
y (0) 0,
dy
dt
(0) 1
本日の課題２
例題３の中の y(t ) a0 cos t a1 sin t
が、
2
d y (t )
dt
2
y (t ) 0 の階であることを
確かめよ。
(代入して、微分方程式の解となっているこ
とを示せ。)
自然対数の底
e とは？
y (t ) 2
（ネイピア数ともいう）
x
1
lim 1 e で、定義される数
x
x
y (t ) e
t
y (t ) 3
t
t
y
y
y
接線
接線
1
1
O
傾きが１より小
t
接線
O
1
t
傾きが１
O
傾きが１より大
t