Transcript 授業デザイン 建築基礎数学〔目的〕 • 建築学の中にでてくる自然現象や社会現象は数 式で表わすことができる。このような数理法則を分 析するために必要な数学の基礎を修得させること を目的とする。 • この講義では、ただ単に証明や計算のテクニックを 学習するだけでなく、できるだけ具体的な現実の問 題を解くことをねらいとする。 • 解析的な手法およびパソコンによる数値計算を学 習することにより、建築構造や環境・設備設計等の ための数学的素養を身につけることが出来る。 月日 授業内容 学習・教育目標 授業デザインの説明と微分方程式 の概説および変数分離形 授業の意義・目的や到達目標・評価方法を理解する。建築学の中にでてくる自然現象や社会現象を表 現する数式化の知識を得る。物体の落下、物質の冷却、人口増加などの現象が変数分離形になること を理解し、その解法がわかる。 4/23 完全微分形 完全微分形および積分因子を理解し、その解法がわかる。 4/30 高階の微分方程式 はりのたわみ曲線を理解し、その解法がわかる。 5/7 振動の方程式 振り子やばねの振動が微分方程式で数式化できるメカニズムを理解する。 5/14 2階線形同次微分方程式 2階線形同次微分方程式（外力のない振動方程式）を解くことができる。 2階線形非同次微分方程式 2階線形非同次微分方程式（外力のある振動方程式）を解くことができる。 5/28 中間テスト 1週～6週までの問題について出題 6/4 中間テストの解答および数値計算 法の概説 解答例を示し復習をする。また、数値計算の基本となる近似値・誤差・有効数字の知識を得る。 微分方程式をオイラー法およびルンゲクッタ法などによって数値的に解くことができる。 6/11 微分方程式の数値解法（オイラー法， ルンゲクッタ法） 6/18 フーリエ級数 任意の関数を３角級数で表すこと（フーリエ級数）を理解する。 連立方程式（ガウスの消去法） 工学の問題でよく出現する連立方程式の解法を理解し、ガウスの消去法により解くことができる。 逆行列（ガウスジョルダン法） 前述の方法を発展させたガウスジョルダン法によって、逆行列を求めることができる。 固有値・固有ベクトル 工学の問題でよく出現する行列の固有値・固有ベクトルを求めることができる。 期末テスト 8週～13週までの問題について出題 期末テストの解答と総まとめ 解答例を示し復習をするとともに総まとめをする。 4/9 5/21 6/25 7/2 7/9 7/16 7/30 前半は微分方程式 後半は数値計算法 月日 授業内容 学習・教育目標 授業デザインの説明と微分方程式 の概説および変数分離形 授業の意義・目的や到達目標・評価方法を理解する。建築学の中にでてくる自然現象や社会現象を表 現する数式化の知識を得る。物体の落下、物質の冷却、人口増加などの現象が変数分離形になること を理解し、その解法がわかる。 4/23 完全微分形 完全微分形および積分因子を理解し、その解法がわかる。 4/30 高階の微分方程式 はりのたわみ曲線を理解し、その解法がわかる。 5/7 振動の方程式 振り子やばねの振動が微分方程式で数式化できるメカニズムを理解する。 5/14 2階線形同次微分方程式 2階線形同次微分方程式（外力のない振動方程式）を解くことができる。 2階線形非同次微分方程式 2階線形非同次微分方程式（外力のある振動方程式）を解くことができる。 5/28 中間テスト 1週～6週までの問題について出題 6/4 中間テストの解答および数値計算 法の概説 解答例を示し復習をする。また、数値計算の基本となる近似値・誤差・有効数字の知識を得る。 微分方程式をオイラー法およびルンゲクッタ法などによって数値的に解くことができる。 6/11 微分方程式の数値解法（オイラー法， ルンゲクッタ法） 6/18 フーリエ級数 任意の関数を３角級数で表すこと（フーリエ級数）を理解する。 連立方程式（ガウスの消去法） 工学の問題でよく出現する連立方程式の解法を理解し、ガウスの消去法により解くことができる。 逆行列（ガウスジョルダン法） 前述の方法を発展させたガウスジョルダン法によって、逆行列を求めることができる。 固有値・固有ベクトル 工学の問題でよく出現する行列の固有値・固有ベクトルを求めることができる。 期末テスト 8週～13週までの問題について出題 期末テストの解答と総まとめ 解答例を示し復習をするとともに総まとめをする。 4/9 5/21 6/25 7/2 7/9 7/16 7/30 〔評価方法〕 • ◎演習・宿題（40％）：授業中に10回程度演習問題を解いて提 出する。また、宿題を数回課する。 • これらを３段階評価とする（解答手順を具体的に示し、正解の 場合A=3点、解答手順を具体的に示したが、正解には至らな かった場合B=2点、正解のみの場合や途中までしか示してい ない場合C=1点、白紙または白紙に近いもの、および欠席（未 提出：期日に遅れたものを含む）は0点）。 • これらを合計した点数を最高40点に換算する（小数点以下四 捨五入）。 • ◎中間テスト（30%）：「微分方程式（1週～6週までの範囲）」か ら例題および問並びに演習問題の数値や表現を変えたものを 出題する。 • ◎期末テスト（30%）：「数値計算法（8週～13週までの範囲）」 から例題および問並びに演習問題の数値や表現を変えたも のを出題する。

授業デザイン
建築基礎数学〔目的〕
• 建築学の中にでてくる自然現象や社会現象は数
式で表わすことができる。このような数理法則を分
析するために必要な数学の基礎を修得させること
を目的とする。
• この講義では、ただ単に証明や計算のテクニックを
学習するだけでなく、できるだけ具体的な現実の問
題を解くことをねらいとする。
• 解析的な手法およびパソコンによる数値計算を学
習することにより、建築構造や環境・設備設計等の
ための数学的素養を身につけることが出来る。
月日
授業内容
学習・教育目標
授業デザインの説明と微分方程式
の概説および変数分離形
授業の意義・目的や到達目標・評価方法を理解する。建築学の中にでてくる自然現象や社会現象を表
現する数式化の知識を得る。物体の落下、物質の冷却、人口増加などの現象が変数分離形になること
を理解し、その解法がわかる。
4/23
完全微分形
完全微分形および積分因子を理解し、その解法がわかる。
4/30
高階の微分方程式
はりのたわみ曲線を理解し、その解法がわかる。
5/7
振動の方程式
振り子やばねの振動が微分方程式で数式化できるメカニズムを理解する。
5/14
2階線形同次微分方程式
2階線形同次微分方程式（外力のない振動方程式）を解くことができる。
2階線形非同次微分方程式
2階線形非同次微分方程式（外力のある振動方程式）を解くことができる。
5/28
中間テスト
1週～6週までの問題について出題
6/4
中間テストの解答および数値計算
法の概説
解答例を示し復習をする。また、数値計算の基本となる近似値・誤差・有効数字の知識を得る。
微分方程式をオイラー法およびルンゲクッタ法などによって数値的に解くことができる。
6/11
微分方程式の数値解法（オイラー法，
ルンゲクッタ法）
6/18
フーリエ級数
任意の関数を３角級数で表すこと（フーリエ級数）を理解する。
連立方程式（ガウスの消去法）
工学の問題でよく出現する連立方程式の解法を理解し、ガウスの消去法により解くことができる。
逆行列（ガウスジョルダン法）
前述の方法を発展させたガウスジョルダン法によって、逆行列を求めることができる。
固有値・固有ベクトル
工学の問題でよく出現する行列の固有値・固有ベクトルを求めることができる。
期末テスト
8週～13週までの問題について出題
期末テストの解答と総まとめ
解答例を示し復習をするとともに総まとめをする。
4/9
5/21
6/25
7/2
7/9
7/16
7/30
前半は微分方程式
後半は数値計算法
月日
授業内容
学習・教育目標
授業デザインの説明と微分方程式
の概説および変数分離形
授業の意義・目的や到達目標・評価方法を理解する。建築学の中にでてくる自然現象や社会現象を表
現する数式化の知識を得る。物体の落下、物質の冷却、人口増加などの現象が変数分離形になること
を理解し、その解法がわかる。
4/23
完全微分形
完全微分形および積分因子を理解し、その解法がわかる。
4/30
高階の微分方程式
はりのたわみ曲線を理解し、その解法がわかる。
5/7
振動の方程式
振り子やばねの振動が微分方程式で数式化できるメカニズムを理解する。
5/14
2階線形同次微分方程式
2階線形同次微分方程式（外力のない振動方程式）を解くことができる。
2階線形非同次微分方程式
2階線形非同次微分方程式（外力のある振動方程式）を解くことができる。
5/28
中間テスト
1週～6週までの問題について出題
6/4
中間テストの解答および数値計算
法の概説
解答例を示し復習をする。また、数値計算の基本となる近似値・誤差・有効数字の知識を得る。
微分方程式をオイラー法およびルンゲクッタ法などによって数値的に解くことができる。
6/11
微分方程式の数値解法（オイラー法，
ルンゲクッタ法）
6/18
フーリエ級数
任意の関数を３角級数で表すこと（フーリエ級数）を理解する。
連立方程式（ガウスの消去法）
工学の問題でよく出現する連立方程式の解法を理解し、ガウスの消去法により解くことができる。
逆行列（ガウスジョルダン法）
前述の方法を発展させたガウスジョルダン法によって、逆行列を求めることができる。
固有値・固有ベクトル
工学の問題でよく出現する行列の固有値・固有ベクトルを求めることができる。
期末テスト
8週～13週までの問題について出題
期末テストの解答と総まとめ
解答例を示し復習をするとともに総まとめをする。
4/9
5/21
6/25
7/2
7/9
7/16
7/30
〔評価方法〕
• ◎演習・宿題（40％）：授業中に10回程度演習問題を解いて提
出する。また、宿題を数回課する。
• これらを３段階評価とする（解答手順を具体的に示し、正解の
場合A=3点、解答手順を具体的に示したが、正解には至らな
かった場合B=2点、正解のみの場合や途中までしか示してい
ない場合C=1点、白紙または白紙に近いもの、および欠席（未
提出：期日に遅れたものを含む）は0点）。
• これらを合計した点数を最高40点に換算する（小数点以下四
捨五入）。
• ◎中間テスト（30%）：「微分方程式（1週～6週までの範囲）」か
ら例題および問並びに演習問題の数値や表現を変えたものを
出題する。
• ◎期末テスト（30%）：「数値計算法（8週～13週までの範囲）」
から例題および問並びに演習問題の数値や表現を変えたも
のを出題する。
• 合計60点以上を合格とする。
• なお、補講を含めて１５回以上の出席を単
位認定の要件とする。
• 要件を満たさない者および不正行為をした
者は0点とする。
• 授業中は、携帯電話、ミュージックプレイ
ヤー等の使用を禁止する。
補講予定日
5/27，7/15， 他１回未定
時間 PM4:30～ 遅刻すると受講できません
場所：E217を予定しているが、変更（日時変更も含む）の場合
は、その都度掲示等により知らせる
そして、前期前半の目標は
タコマ橋の崩壊（シアトル郊外1940年）が微分方
程式（2階線形微分方程式）によって説明できる
ことを知る
－振動方程式の基礎－
• 副次的には、
 卒業研究や就職先での研究開発の基礎
 建築士や就職試験対策
 微分積分の復習 ← 教養
 数式による論理的思考、頭の体操
設計者：モイセイフ技師：当時もっとも信頼される技術者
ワシントン大学のファクハーソン教授も太鼓判
吊橋，塔，煙突などのフレキシブルな構造物は風によっ
て振動し，場合によっては上記写真のタコマ橋のように，
風による大きな振動が原因となって構造物全体が崩壊す
ることもあります．主径間長853m、当時世界第3位のスパン長
新タコマ橋
さて、方程式というものは，言うな
れば「数式の形で表されたクイズ」
• たとえば，
•
2x＝6
• は「2倍すると6になる数は何でしょう？」という
問題．
x=6/2=3
•
x2－1＝3
• は「2乗して1を引くと3になる数なあに？」という
問題．
x2-1-3=0→x2-4=0→(x-2)(x+2)=0
∴ x＝±2
代数方程式
• これまでに習った方程式は，たいてい，例
のように，未知数を含む代数式が与えられ，
それを満たす数を求める問題でした．
• そのような問題を代数方程式といいます・
微分方程式は関数方程式の一種
• これから前期で説明する問題は，それと少
し違って,未知関数を含む式が与えられ「そ
の式を満たす関数を求める」という形をして
います．
• そのような問題を関数方程式といいます.
• 未知関数とその導関数を含む式が与えられ，
それを満たす関数を求める問題です．
• たとえば
•
f′(x)＝f(x)
• は「微分しても変わらない関数なあに？」という
問題であり，その(１つの)答はf(x)＝exです．
exをexp(x)とかくこともある！ P3参照
e＝ 2.71828182845904523536…無理数
eはネピアの数：自然対数の底
名称はイギリスの数学者ジョン・ネピア
（John Napier, 1550年 - 1617年）に因む。
また,
•
f″(x)＋f(x)＝0
• は「2回微分して，もとの関数を足すと0になる
関数なあに？」という問題であり，その(１つの)
答はf(x)＝sin xです.
cf．テキスト p．10
2. y＝sin x
3. y＝cos x
→ y'＝cos x
→ y'＝－sin x
• 三角関数は、覚えていますか？
A
AB 垂線
sin  

OA 斜辺
θ
O
B
OB 底辺
cos 

OA 斜辺
ホイールの中心を原点とする
A
ノーマン・フォスターの『ガーキン』高さ180m
AB 垂線
sin  

OA 斜辺
θ
O
B
OB 底辺
cos 

OA 斜辺
Londonホイールの中心を原点とする
eye直径135m、カプセル1個当たり定員（25人）
sinθ， cosθのグラフ
半径ｒ＝１
1.00
0.80
θ
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.20 0
-0.40
-0.60
90
-0.80
-1.00
半径ｒ＝１、ホイールの中心を原点とする
180
270
360
sin θ
cos θ
宿題
• エクセルによって
y＝（学籍番号の下3桁×cos θ）/10
のグラフを描け。
• A4用紙１枚に出力せよ（サインカーブのグラ
フ：テキストp23のように計算数値とグラフを
印刷し、学籍番号と氏名もセルに書き込むこ
と）
• 提出：4月23日授業の始まる前
P.43
例題２
m
質量mの質点が，抵抗力を受けず落下する
ときの時刻tにおける 速さをv＝v(t)，重力
の加速度を g ，鉛直上方を座標軸の正の向 g
きとすれば，質点に関するニュートンの
運動方程式は
dv
dv
m
 mg   g
dt
dt
となる．
これを初期条件，t＝0のときの速さ
v0 （ こ れ を 初 期 値 と い う )， す な わ ち
v(0)＝v0の下で解け．
[解]
式の両辺をtで直ちに積分して
v＝－gt＋c
を得る．これに初期条件を入れれば
v0＝－g×0＋c
∴c ＝v0
となる．すなわち
v＝v0－gt
である．
解に具体的な数値を代入してみよう．
初速を0として2秒後の時速は
v＝0－9.8×2 [m/s]
＝－9.8×2×3600/1000 [km/h]
＝－70.56[km/h]
* 例えば，バンジージャンプやスカイダイビングで2
秒後には時速70km/hを越えることがわかる．(3秒後に
は時速100km/hを越える)
アポロ15
P.45
例題３ dy/dx＝ay(1－y) を解け．
• [解]
y
1
1  ce
（
c
は定数）
 ax
成長曲線,ロジスティック曲線
などと呼ばれる
P.45
EXCEL演習５
成長曲線y＝1/(1＋3e－0.1x)のグ
ラフを描いてみよ。
P.43
a.変数分離形
dy
dy
＝f(x)･g(y)あるいは
＝f(x)dx
dx
g ( y)
のような形の微分方程式を変数分離形という．
この微分方程式の解は
dy
 g ( y) ＝  f ( x)dx ＋c
である．
宿題
• エクセルによって
y＝（学籍番号の下3桁×cos θ）/10
のグラフを描け。
• A4用紙１枚に出力せよ（サインカーブのグラ
フ：テキストp23のように計算数値とグラフを
印刷し、学籍番号と氏名もセルに書き込むこ
と）
• 提出：4月23日授業の始まる前