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基礎電気理論 (8)
2008年作成
担当：本間 聡
連絡先 Email: [email protected]
フレミングの左手の法則

ローレンツ力とは？

磁束密度がある空間中を移動する電荷に働く力
F  qv  B
磁束密度Bがある中を、電荷qが速度vで移動している場合に、
電荷に発生する力をローレンツ力という。

電荷が移動すること＝電流Iが流れる。
F  I B

電流、磁束、力の向きはそれぞれ左手の中指、人差し指、親指
の方向となる。
フレミングの右手の法則

磁束密度Bがある中を、導体線を速度vで移動させた場合に発生
する起電力の向き（電流Iが流れる向き）
正の電荷が力Fを受けて移動する。
教科書 p48の図を参照
F  vB
起電力の向きF（Iの向きでもある）、電束密度B、導体線の速度vをそれぞれ、右
手の中指、人差し指、親指の方向になる。
フレミングの左手と電流が流れる方向が逆になることに注意
ベクトルの掛け算のおさらい

ベクトルの掛け算は2種類ある。

スカラー積（内積）
 得られる結果はスカラー量。

ベクトル積（外積）
 得られる結果はベクトル量
スカラー積（内積）
A B  AB cos
もし，AとBが平行ならば
A  B  AB
A

もし，AとBが垂直ならば
B
A B  0
 Ax   Bx 
   
A B   Ay    By   Ax Bx  Ay By  Az Bz
 A  B 
 z  z
ベクトル積（外積）
| C | ABsin( )
AB  C
AとBのベクトル積は、AとBを一辺とする平行四辺
形の面積に対応する大きさを持ち、 AとBに対して
垂直方向を向くベクトルとなる（右ねじの方向）
AとBが作る面積に対応する
C
B
B

A

A  B  Ax Byk  Ax Bz j  Ay Bxk   
A
 Ay Bz  Az By i   Az Bx  Ax Bz j  Ax By  Ay Bx k
ベクトル積と行列式

ベクトル積は計算が複雑。行列式と一緒に覚えると楽になる
A  Axi  Ay j  Azk
i
A  B  Ax
Bx
j
Ay
By
B  Bxi  By j  Bzk の外積は
k
Az
Bz
 i Ay Bz  j Az Bx  k Ax By  i Az By  j Ax Bz  k Ay Bx
 Ay Bz  Az By i   Az Bx  Ax Bz  j  Ax By  Ay Bx k
スカラー3重積

スカラー3重積とは、ベクトル積とスカラー積より計算される。
A  BC

間違ってはいけないのは、スカラー積とスカラー積ではない。

物理の計算を行う上でよく使われるので、意味を理解しておこう。
スカラー3重積

流速Jを仮定する。
Jの方向は、流体の流れる方向を表す
 Jの大きさは、流体の流れる速度を表す。


ある面を通過する流体の量を考えよう
面に対して垂直にJが向く場合
J
J
面積 S
面を通過する流体はJS
スカラー3重積

流速ベクトルに対して面が傾いていた場合は？
Jに対してθだけ傾いた面

J
J
面積 S
面を通過する流体はJScosθ
もし極端な例をあげると
J
  90
面を通過する流体はJScos90°
=0
スカラー3重積
S
J
面を通過する流体はJScosθ
新たにSというベクトルを定義する
大きさは、面の面積S
方向は、面に対して垂直
面を通過する流体をベクトルで表すと
V  J S
スカラー3重積
さらに
平行四辺形の各一辺をベ
クトルA,Bとあらわすと
B
A
S  A B
V  J S
V  J  A B
ベクトルA、Bを一辺とする平行四辺形を通過する流体Jの量
スカラー3重積
k  Ay Bz  Az By 


Az   Az Bx  Ax Bz 
Bz  Ax By  Ay Bx 
 J x   Ay Bz  Az By 
 
J  A  B   J y    Az Bx  Ax Bz 
J  A B A B 
y x
 z  x y
i
A  B  Ax
Bx
j
Ay
By
 J x Ay Bz  Az By  J y  Az Bx  Ax Bz   J z Ax By  Ay Bx 
スカラー3重積
行列式を使って表現すると、
J  A  B  J x Ay Bz  Az By  J y  Az Bx  Ax Bz   J z Ax By  Ay Bx 
Jx
 Ax
Bx
Jy
Ay
By
Jz
Az
Bz
ベクトル3重積
教科書P53-55
 各自見ておきましょう

勾配を理解する前に全微分を学ぶ

まずは山をイメージしよう
標高
(x+x,y+y)
y
y軸
x軸
(x,y)
x
x方向に⊿x、y方向に⊿y移動すると
高さはどれくらい変化するのか？
座標(x,y)の山の標高はf(x,y)で与えられるとすると
f  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
全微分の続き

式変形の続き
f  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
 f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)
 f ( x, y  y)  f ( x, y)
f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)

x
x
②
f ( x, y  y)  f ( x, y)

y
y
①
偏微分（partial differential）
f ( x, y)
f ( x, y  y)  f ( x, y)
①
 lim
y 0
y
y
f ( x, y)
f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)
②
 lim lim
y 0 x0
x
x
f ( x  x, y)  f ( x, y)
 lim
x0
x
複数の変数を持つ関数について
たとえば、xとyの変数を持つ関数f(x,y)について
変数の中でxを定数にしてf(x,y)をyで微分することをyで
偏微分するという
微分記号d/dyの代わりに、/ yの記号を使う
全微分（total differential）
f  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
f
f
 x  y
x
y
結論
全微分とは、すべての変数について偏微分を計算し、
それぞれに微小変化量をかけて足し合わせる。
変数がx,yだけの場合
もし変数がx,y, zなら
f
f
f  x  y
x
y
f
f
f
f  x  y  z
x
y
z
ベクトルの勾配

勾配とは、どちらの方向にどれだけ傾いているか
顔の向き
顔の向き
標高
こちらの方向には
坂になっていないな
（傾きは0だ）
y軸
x軸
こちらに進むとのぼり坂だ
（上方向に傾いている）
傾きは、方向によって値が違う。
つまり、傾きはベクトル量
山の勾配
(x,y)
座標(x,y)の山の標高はf(x,y)で与えられるとすると
x方向の傾きは？
同様に
y方向の傾きは？
f ( x, y)
f ( x  x, y)  f ( x, y)
 lim
y 0
x
x
f ( x, y)
f ( x, y  y)  f ( x, y)
 lim
y 0
y
y
山の勾配

したがって、山の勾配はベクトルを使うと以下
のように表現できる
f
f
grad f  f  i  j
x y
勾配を表す記号 勾配：gradient
iとjは、x,y方向の単位ベクトル
もし、変数がx,y,zなら
f
f
f
grad f  f  i  j  k
x y
z
∇（ナブラ）について

∇は演算子。計算する内容を指す



  i  j k
x y
z
もし、∇gを計算しなさいと言われると、以下のように与えられる。
g g
g
g  i  j  k
x y
z









今後
6月13日
6月20日
6月27日
7月4日
7月11日
スカラー3重積 ベクトルの勾配
勾配の計算例 発散とガウスの定理
発散の計算例 回転とストークスの定理
回転の計算例
テストに向けての諸問題 （日程を変更）
7月6日～11日、国際学会OECC（オーストラリア）
7月12日～18日 国際学会ISOM（アメリカ）
7月25日 テスト予定（日程は未定）