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一瞬の利息
連続複利
◆ 金利とは(定義)
元金1円を1年間預金したときの利息
例えば・・・ 金利0.03(3%)とは
元金1円を1年間預金すると利息が0.03 円
100 円
元金100 円
103 円
利息 3 円
1年
◆ 利息の計算
利息 =元金×金利×期間(年)
例 元金 100円 を金利 0.02(2%) で 1/2年(半年)預金すると
101円
利息 = 100 円×0.02×1/2年 = 1 円
100円
元金+利息 = 100 円 + 1円 = 101円
1/2年
一般に 元金A円 金利R の T年 の預金では・・・
元金+利息 =A円 +A円×R×T年
元金
A(1+RT)円
利息
×(1+RT)
= A(1+RT)円
A円
金利R
T年
◆ 金利裁定
損得が生じないという方程式
Case 2の金利rはいくらか?
Case 1 1年間の預金
100円
100(1+0.03×1)
= 103
×(1+0.03×1)
Case 1と同じ結果
となるように決まる
0.03 (3%)
100(1+r/2)2=103
1年
Case 2 同じ金利で半年ごとに預金し直す
1年の預金・・・半年ごと複利の預金
100(1+r/2)2
100(1+r/2)
100円
×(1+r/2)
金利
r
1/2年
×(1+r/2)
r =2
103
-1
100
=0.029778
Case1とCase2とで損得が
生じないように金利が決まる
これを金利裁定が働くという
金利 r
1/2年
◆ 複利計算の一般化
まず、元金A円 金利RのT年の預金は・・・
A(1+RT)
T年
A円
A(1+r/n)nT= A(1+RT)
元金A円金利 r の1/n年(1年をn分割)ごと複利のT年の預金
A(1+r/n)nT
1/nT
r = n{ (1+RT)
-1}
T年
A(1+r/n )2
A(1+r/n )
A円
r
r
n分割×T年=nT乗
r
1/n年
この期間を
もっと小さくする
n
∞
一瞬の金利
◆ 連続複利金利 ・・・ 無限に細かく分割する
T年
lim
A(1+r/n)nT
n→∞
A(1+r/n)nT 円
=lim{A(1+ 1 )n/r }rT
n→∞
n/r
A円
k=n/r とおく
n → ∞で k → ∞ だから
=lim{A(1+1/k)k }rT
k→∞
1/n年
e
=A
rT
e
元金A円を一瞬の金利 r で T年間預金すると A
rT 円となる。
金利裁定
e
A
一瞬の金利
rT 円
= A(1+RT)円
r= log (1+RT)
T
e
・・・ 連続複利金利
e
このT年間は、どの時点も一瞬の金利を r として、
任意の期間の預金の(平均的な)計算ができる。
A
e
B
B円
T年
rt 円
t年
C円
A円
rT 円
e
C
rs 円
s年
例えば・・・ 金利R=0.03(3%)の 1年の預金に対して
r=loge(1+0.03 ) = loge1.03 =0.029529・・・
1
300×e0.029529/6 円 =301.4816 円
300円
1/6年(2ヶ月)
0年
1/12年
3/12年
(1ヶ月時点)
(3ヶ月時点)
1年