Transcript パワーポイント版

一瞬の利息
連続複利
◆ 金利とは（定義）
元金１円を1年間預金したときの利息
例えば・・・ 金利0.03（3％）とは
元金1円を1年間預金すると利息が0.03 円
100 円
元金100 円
103 円
利息 3 円
1年
◆ 利息の計算
利息 ＝元金×金利×期間（年）
例 元金 100円 を金利 0.02（2％） で 1/2年（半年）預金すると
101円
利息 = 100 円×0.02×1/2年 = 1 円
100円
元金＋利息 = 100 円 + 1円 = 101円
1/2年
一般に 元金A円 金利R の T年 の預金では・・・
元金＋利息 ＝A円 ＋A円×R×T年
元金
A（1＋RT）円
利息
×（1＋RT）
＝ A（1＋RT）円
A円
金利R
T年
◆ 金利裁定
損得が生じないという方程式
Case 2の金利rはいくらか？
Case 1 1年間の預金
100円
100（1＋0.03×1）
＝ 103
×（1＋0.03×1）
Case 1と同じ結果
となるように決まる
0.03 （3%）
100（1＋r/2）2＝103
1年
Case 2 同じ金利で半年ごとに預金し直す
１年の預金・・・半年ごと複利の預金
100（1＋r/2）2
100（1＋r/2）
100円
×（1＋r/2）
金利
r
1/2年
×（1＋r/2）
r ＝2
103
－1
100
＝0.029778
Case1とCase2とで損得が
生じないように金利が決まる
これを金利裁定が働くという
金利 r
1/2年
◆ 複利計算の一般化
まず、元金A円 金利RのT年の預金は・・・
A（１＋RT）
T年
A円
A（1＋r/n）nT＝ A（1＋RT）
元金A円金利 r の1/n年（１年をn分割）ごと複利のT年の預金
A（１＋r/n）nT
1/nT
r = n{ (1+RT)
-1}
T年
A（1＋r/n ）2
A（1＋r/n ）
A円
r
r
n分割×T年=nT乗
r
1/n年
この期間を
もっと小さくする
n
∞
一瞬の金利
◆ 連続複利金利 ・・・ 無限に細かく分割する
T年
lim
A（１＋r/n）nT
n→∞
A（１＋r/n）nT 円
＝lim｛A（１＋ 1 ）n/r ｝rT
n→∞
n/r
A円
k＝n/r とおく
n → ∞で k → ∞ だから
＝lim｛A（１＋1/k）k ｝rT
k→∞
1/n年
ｅ
＝A
rT
ｅ
元金A円を一瞬の金利 ｒ で T年間預金すると A
rT 円となる。
金利裁定
ｅ
A
一瞬の金利
rT 円
= A（１＋RT）円
ｒ＝ log （１＋RT）
T
e
・・・ 連続複利金利
ｅ
このT年間は、どの時点も一瞬の金利を r として、
任意の期間の預金の（平均的な）計算ができる。
A
ｅ
B
B円
T年
rt 円
t年
C円
A円
rT 円
ｅ
C
rs 円
s年
例えば・・・ 金利R＝0.03（3%）の 1年の預金に対して
r＝loge（１＋0.03 ） ＝ loge1.03 ＝0.029529・・・
1
300×e0.029529/6 円 ＝301.4816 円
300円
1/6年（2ヶ月）
0年
1/12年
3/12年
（1ヶ月時点）
（3ヶ月時点）
1年