Transcript 注釈付き

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ハノイの塔
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フィボナッチ数列
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漸化式
等比数列と等比級数
再帰的プログラミング
自然対数の底
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無理数に収束する有理数列
数列
1
 ルール
• 柱3本
• 皿𝑛枚
• 移動1枚/回
• いつも大小関係
C
A
B
 移築完成に必要な最小の移動回数
• ヒント
 必ず通過する状態は？
 𝑛 − 1枚の回数 𝑀(𝑛 − 1)との関係は？
 数列𝑀(𝑛)の漸化式は？
数列
𝑀(𝑛)？
2
• A→BにはCを通過する
• A→Cの回数
= 𝑀(𝑛 − 1)
• C→Bの回数
= 1+𝑀 𝑛−1
𝑀 𝑛 = 𝑀(𝑛 − 1) + 1 + 𝑀(𝑛 − 1)
𝐴→𝐶
𝐶→𝐵
= 2𝑀 𝑛−1 +1
• 一般項は？
数列
3
𝑀 𝑛 =2𝑀 𝑛−1 +1
𝑀 1 =1
𝑦
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑥=𝑦
𝑌
𝑦1
特徴的な点は，２直線の交点
𝑋 = 𝑥 + 1, 𝑌 = 𝑦 + 1
𝑥1 𝑥2
𝑀′ 𝑛 ≡ 𝑀 𝑛 + 1
𝑀’ 𝑛 = 2 𝑀’ 𝑛 − 1
𝑀’ 1 =2
𝑥
𝑋
𝑌 = 2𝑋
𝑋=𝑌
公比２の等比数列の漸化式で
𝑀′ 𝑛 = 2𝑛 ,
∴ 𝑀 𝑛 = 2𝑛 − 1
数列
4
 等比数列の第n部分和を簡潔に表せ
𝑆𝑛 =
𝑎0 𝑟 𝑘 =?
𝑎𝑘 =
𝑘=0,𝑛−1
𝑘=0,𝑛−1
 等比級数の極限値を公比により分類せよ
?
?
?
lim 𝑆𝑛 =
𝑛→∞
数列
5
 等比級数
𝑎𝑛 = 𝑎0 𝑟 𝑛 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯
𝑛
1
−
𝑟
𝑆𝑛 = 𝑎0 (1 + 𝑟 + 𝑟 2 + ⋯ + 𝑟 𝑛−1 ) = 𝑎0 ×
1−𝑟
 極限値，収束
𝑆 = lim 𝑆𝑛
𝑛→∞
𝑎0
⋯ 𝑟 <1
𝑛
1−𝑟
1−𝑟
= 𝑎0 × lim
= 発散 振動 ⋯ 𝑟 = −1
𝑛→∞ 1 − 𝑟
発散 無限大 ⋯ 𝑟 = 1, 𝑟 > 1
数列
6
 有理数とは何か，どんな性質をもつか？
 無理数とは何か，実数とは何か？
 一般項が有理数の数列で，極限値が無理数
になる例を挙げよ．その漸化式を示せ．
数列
7
 実数：
有理数と無理数
• 有理数：整数の比
• 無理数：有理数でない数
• 実数は四則演算と極限操作について閉じている
 数直線のどこを切っても実数にあたる
 有理数列の極限と無理数
𝑎𝑛 + 2
1
𝑎𝑛+1 =
=1+
, 𝑎1 = 1 → lim𝑎𝑛 = 2
𝑎𝑛 + 1
𝑎𝑛 + 1
𝑛
1
𝑒𝑛 = 1 +
,
lim𝑒𝑛 = 𝑒
𝑛
数列
8
 次の用語を調べて，簡潔に説明せよ
• プログラミング
• 再帰的プログラミング
 𝑛を入力すると
𝐹 𝑛 = 𝑛! = 𝑛 × 𝑛 − 1 × ⋯ × 2 × 1
の値を計算する再帰的なプログラムを
設計せよ
数列
9
 再帰的プログラミング
• 入力が自然数𝑛のとき，出力𝐹(𝑛)を求めるプログラム
• 𝐹(𝑛) を 𝑛 の関数として（直接の計算法を）示さず
• 𝑭 𝒏 を 𝑭 𝒏 − 𝟏 の関数として書く．
すなわち漸化式を与える．初項を与える．
• 変化（漸化式）に注目すると理解しやすい．わかりやすい
• 計算量が著しく増えることがある
例
• 𝐹 𝑛 = 𝐹 𝑛 − 1 × 𝑛, 𝐹 1 = 1
数列
10
 「数学的帰納法」はどんな証明法か，
調べて簡潔に記せ．
数列
11
 自然数の性質
• どの自然数にも，つぎの自然数がある
 自然数𝑛を変数とする命題 𝑃(𝑛)
• 𝑃(𝑛)の例: 𝑛 ≥ 2に対して 1 + ℎ 𝑛 > 1 + 𝑛ℎ が成り立つ
 数学的帰納法（雰囲気は漸化式）
• 𝑛の具体的な値によらずに， 𝑃 𝑛 を仮定すると
𝑃(𝑛 + 1)が成り立つことを示す． 𝑃 1 が正しいこ
とを示す（上例では𝑃(2)）．
数列
12
 フィボナッチ数列
𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 ,
𝑎2 = 𝑎1 = 1
3 = 𝑎3 を求める」再帰
的プログラミングの手順を示す．
 図は「3を入力して𝐹
 図を観察して
• F(5)を求める手順の図を描け．
• F(3)とF(5)で計算の手間（計算量）
の差について考察せよ．
数列
13

𝑎𝑛 : 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 , 𝑎2 = 1, 𝑎1 = 1
• ウサギの繁殖の予測から!
1
• 𝑎𝑛 =
𝛼 𝑛 − 𝛽𝑛 , 𝛼, 𝛽 =
5
 黄金比
1+ 5
2
1± 5
2
≃ 1.6, 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
 漸化式が分かりやすい
• 再帰的プログラミング
 見やすい
 計算量が指数的に増加する
数列
14
 「二項定理」を調べて，簡潔に説明せよ．
𝑥 𝑁
𝑁
1+𝑥

数列 1 +
• 単調増加
=?,
1
1+
𝑁
𝑁
𝑁
=?
1 𝑁
の 次の性質を示す方法を考察せよ．
𝑁
1
1+
𝑁
• 有界
1+
𝑁
1
< 1+
𝑁+1
𝑁+1
1
1
1
1
<1+1+ +
+
+⋯<1+
<3
1
2 2×2 2×2×2
1−2
数列
15
 複利計算：
• 年利𝑥→日歩→N分割
• 𝐴𝑛 = 𝐴0 1 + 𝑥
𝑛
→ 𝐴 𝑁 = 𝐴0 1
𝑥 𝑁
+
𝑁
 二項定理
•
𝑥 𝑁
1+
=1+𝑥
𝑁
1
⋯ + 𝑁 𝑥𝑁
𝑁
𝑁→∞
+
1
1
2!
⋅ 1−
1
𝑁
𝑥2 +
1
1
3!
⋅ 1−
1
𝑁
1 2
1 3
1 + 𝑥 + 2!
𝑥 + 3!
𝑥 +⋯
⋅ 1−
2
𝑁
𝑥 3 +⋅
 無限分割の極限
• 𝑒 = lim 1
𝑁→∞
1 𝑁
+
𝑁
= 2.7 … 無理数
数列
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