Transcript 定積分と和の極限

数学Ⅲ 積分法
「定積分と和の極限」
定積分
1
x2 dx を解いてみよう。
0
1
x2 dx =
0
＝
1
3
１
x3
０
１
３
( １ －０３ )
３
１
＝
３
関数 y = x2 のグラフと x軸 および 直線 x = 1 とで囲まれた面積Ｓを
表している。
定積分と和の極限(区分求積法）
y＝f (x)
y = f(x) ( f(x) ≧０) とし，区間［０，１］をｎ等分して
図のような長方形の面積の和をＳｎとする。
長方形の左側の辺を高さとすると
1
１つの長方形について
横の長さは Δx＝
縦の長さは ｆ
よって
１
ｎ
ｋ
ｆ
ｎ
ｆ
ｋ
ｎ
ｋ
ｎ
ｋ
ｎ
１
ｋ
ｆ
となる
面積は
ｎ
ｎ
0
１
Δｘ＝
ｎ
ｋ
ｎ
Δｘ＝
1
１
ｎ
部分和Ｓｎ
y = f(x) とし， 区間［０，１］を等分して
y＝f (x)
図のような長方形の面積の和をＳｎとし，
y = f(x)と x軸および直線x＝１とで囲まれた
部分の面積Ｓとする。
1
Ｓｎ ＝
ｎ
ｆ
０
１ １
１ ｋ
＋ ｆ
＋・・・＋ ｆ
ｎ
ｎ ｎ
ｎ ｎ
ｎ－１
＝
ｋ＝０
１
ｎ
ｆ
１ ｎ－１
＋・・・＋ ｆ
ｎ
ｎ
ｋ
ｎ
1
0
１
ｋ
ｆ
面積
ｎ
ｎ
今度は長方形の右側の辺で高さをとると・・・・
y＝f (x)
１つの長方形について
横の長さは Δx＝
縦の長さは ｆ
１
ｎ
ｆ
ｋ
ｋ
ｎ
ｎ
ｆ
ｋ
ｎ
よって
１
ｋ
ｆ
面積は
ｎ
ｎ
となる
１ １ ２
１ ｋ
Ｓｎ ＝ ｆ
＋ ｆ ＋・・・＋ ｆ
ｎ ｎ ｎ ｎ
ｎ ｎ
1
ｎ
＝
ｋ＝１
１
ｎ
ｆ
ｋ
ｎ
１
Δｘ＝
ｎ
ｋ
ｎ
１ ｎ 0
＋・・・＋ ｆ
ｎ ｎ
Ｋが １ から n に
なった！
Δｘ＝
１
ｎ
ｋ
ｎ
1
n を限りなく大きくしたらどうなるのだろうか？
予想してみよう
長方形の横の長さが限りなく小さくなり，長方形の数は
限りなく多くなる
長方形の面積の和Ｓｎは，y＝(x)とx軸とx＝１で
囲まれた面積Ｓに近づいていくのでは・・・
ここをクリック
n を限りなく大きくしてみよう！！
f ( x ) = x 2 のとき
ｎ－１
lim
ｎ→∞ ｋ＝０
１
ｋ
f
dx と lim
ｎ
ｎ
ｎ→∞
ｎ
ｋ＝１
１
に近づくことがわかった。
限りなく
３
1
はじめに
x2
0
ｋ
１
f
dx の値が
ｎ
ｎ
また，
１
dx ＝
となることは，計算で求めた。
３
とういことは・・・
定積分と和の極限（まとめ）
ｎ－１
1
f (x) dx = lim
0
ｎ→∞ ｋ＝０
ｎ
= lim
ｎ→∞ ｋ＝１
１
f
ｋ
dx
ｎ
１
f
ｎ
ｋ
dx
ｎ
ｎ
お
わ
り