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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
何故ラプラス変換を勉強するのか?
線形電気回路における過渡現象を扱うには、線形常微分方程式を解かなければなら
ない。
di (t ) 1
  i (t )dt
RLC直列回路 → e(t )  Ri (t )  L
dt
C
複雑な回路の過渡現象を扱うためには、複雑な線形微分方程式を解くための高度な
数学的知識が要求される。
ラプラス変換を用いると、線形微分方程式が代数演算を用いてシステマティックに
解ける。(高度な数学的知識は不要)
ラプラス変換は、電気回路のみならず、物理学および工学分野の様々な問題に応用
することが可能。
ラプラス変換による微分方程式の解法
時間 t に関する関数の微分方程式
e(t )  Ri (t )  L
di (t ) 1
  i (t )dt
dt
C
ラプラス変換
E ( s )  RI ( s )  sLI ( s ) 
1
I (s)
sC
代数演算
E ( s)
I ( s) 
R  sL 
1
sC
ラプラス逆変換
により、i(t) が求まる。




E ( s)
i(t ) ￡1 

1
 R  sL 

sC 

複雑な関数のラプラス変換やラプラス逆変換には、ラプラス変換表(教科書 表5.2)を
用いればよい。
電気回路で用いるラプラス変換
時間 t に関する関数を f(t) とし、s = σ + jω (σ, ω は正の実数 )となる複素数 s を用いて、

F (s)   f (t )est dt を求めることをラプラス変換(Laplace transform)と言い、
0
F (s) ￡f (t ) とも書く。
Lの筆記体、ポンド(￡)ではない
また逆に F(s) から、
f (t ) 
1
2 j
  j
1
st
f
(
t
)
￡
F ( s)
F
(
s
)
e
ds
を求めることをラプラス逆変換と言い、
  j
ラプラス変換および逆変換を、 f(t)
とも書く。
F(s) と表すこともある。
さらに、f(t) を t 関数または表関数、 F(s) を s 関数または裏関数と呼ぶこともある。
また、s を複素周波数(complex frequency)という。
単位ステップ関数と単位インパルス関数
1. 単位ステップ関数 ( u-1(t) あるいは u(t) )
u-1(t)
u-1(t) =
1
0
1
–∞<t<0
0<t<+∞
t
0
2. 単位インパルス関数 ( u0(t) あるいは δ(t) )
∞
u0(t)
u0(t) =



0
+∞
t≠0
t=0
u0(t)
u0(t) =
lim

0
 0
δ
u0 (t )dt  1
あるいは、
1
, 0t 
t < 0, t > δ
1

0
t
0
単位ステップ関数と単位インパルス関数との間には、
t
d
u 1 (t )  u0 (t ) の関係がある。
dt
各種関数のラプラス変換
1. 単位ステップ関数のラプラス変換
u-1(t) =


–∞<t<0
 st
 st
F
(
s
)

u
(
t
)
e
dt

e
dt 
であるから、

1


0
0
0<t<+∞
0
1
2. 単位インパルス関数のラプラス変換
u0(t) =
1
lim , 0  t  

0
 0
F ( s)  lim 

 0 0
1

であるから、
ロピタルの定理
t < 0, t > δ

1
 0 0

e  st dt  lim 
 
e  st dt  lim 1s e  st
 0
例 5.1.4 (ⅰ) 定数のラプラス変換
 st
E を定数とすれば、 ￡E   0 Ee dt  E

  
￡te

0
te
 s  t
0
 s
 lim e  s1  1
 0
 

e st
s 0
Re(s   )  0
(ⅱ) te-αt のラプラス変換
t


dt  t
 

e  s t
 s   0

e  s t
s 
0

E
s
となる α に対して、
dt 
1
s   2
1
s
e 
 st 
0

1
s
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅲ) Re(s   )  0, s1    j0 , s2    j0
として、
 sin 0t t  1   s  t
1   s  t j0t  j0t
￡
e 
e
sin 0tdt 
e
e e
dt


0
0


2
j

0
0
0


1   s   j0 t  s   j0 t

e
e
dt

0
2 j0






1   e  s   j0 t e  s   j0 t 
1 
1
1









2 j0  s    j0 s    j0  0 2 j0  s    j0 s    j0 


1  1
1 
1
s2  s1
1

 


2 j0  s  s1 s  s2  2 j0 s  s1 s  s2  s  s1 s  s2 
1
s    j0 s    j0 
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅳ) Re(s     )  0 ならば、

￡e
t


sinh t   e
0
  s  t
e t  e  t
1   s    t
dt   e
 e  s    t dt
2
2 0


1   e  s    t e  s    t 
1
1
1


 




2  s     s      0 2  s     s     


s     s     
ラプラス変換の基本公式
1. 相似定理
￡ f (t )  F (s)
何故なら、
とすれば、 ￡ f (at ) 


0
1
s
F ( ) が成り立つ。
a a
1 
f (at )e dt   f (at )e  s a at d at  であるから。
a 0
 st
2. 変移定理
(ⅰ) ￡ f (t )  F (s)
とすれば、 f(t – a), a > 0 が、 t < a で 0 なるとき、
￡ f (t  a)  eas F (s)
である。
何故なら、 τ = t – a として、


0

f (t  a)est dt  eas  f ( )es d
a
である。
しかるに、 f(τ) は τ < 0 で 0 であるから、上式の右辺の積分の下限は 0 としてよい。
一般にどんな t 関数 f(t) に関しても、t = 0 で始まる関数を t = a で始まる関数に
変移させると、そのラプラス変換は、変移させる前の関数のラプラス変換を e−as
倍したものになる。逆にあるラプラス変換を e−as 倍すれば、それに対する t 関数
は、もとのラプラス変換に対する t 関数を、時間 a だけ変移したものになる。その
ため電気回路論では、遅延演算子と言う。
ラプラス変換の基本公式
2. 変移定理


(ⅱ) 任意の複素数 a に対し、 ￡eat f (t )  F (s  a) である。
何故なら、


0

eat f (t )est dt   f (t )es a t dt  F s  a  であるから。
0
例 5.2.1 t = a で突然 0 から 1 に変化する関数 u-1(t – a) を考える。
u-1(t – a) =
0
1
t>a
t<a
であり、この関数のラプラス変換は、
￡u1 (t  a)   u1 (t  a)est dt   u1 (t  a)est dt   u1 (t  a)est dt

a

0
0
a
となるが、上式の右辺第1項は 0 となるから、第2項のみを計算すれば、

 e  st 
e  as
￡u1 (t  a )  
 
s
s

a
となる。
ラプラス変換の基本公式
 
1
 at
1
￡
te

例 5.2.2 (ⅰ) ￡t   2 であるから、
s  a 2
s
e jt  e  jt
1 1
1 
s
(ⅱ) cos t 
を用いて、 ￡cost   
  2

2
2  s  j s  j  s   2
e jt  e  jt
1  1
1 

(ⅲ) sin  t 
を用いて、 ￡sin t   
  2

2j
2 j  s  j s  j  s   2
3. 微係数のラプラス変換

 df (t )   df (t )  st
 st
￡

e
dt

f
(
t
)
e

 dt  0 dt
 


0
0
de st
f (t )
dt   f (0)  sF (s)
dt
ただし f(0) は、t の正の側より t = 0 に近づいた極限を表すもので、初期値である。
同様にして、微分を n 回繰り返すと、
 d n f (t )  n
n 1
n2
( n 1)
￡

s
F
(
s
)

s
f
(
0
)

s
f
'
(
0
)



f
(0)

n
 dt 
ラプラス変換により、微分演算が
 dk 
(k )
ただし、 f (0)   k 
である。
代数演算になる !
 dt  t  0
ラプラス変換の基本公式
例 5.2.3 (ⅰ) ￡t  を求める。
df (t ) 
d
  f (0)  sF ( s) を用いると、
t  1 であるから、 ￡

dt
dt


f (0)  0,
￡1 
1
s
より、
1
 s￡t 
s
従って、 ￡t  
1
s2
(ⅱ) ￡sin t  を求める。
f (t )  sin t
として、 f (0)  0,
f ' (0)  ,
f '' (t )   2 sin t
 d 2 f (t )  2
￡
  s F ( s)  sf (0)  f ' (0) (n 回微分のラプラス変換で、n = 2 の場合)
2
 dt 


より、 ￡  2 sin t  s 2 F (s)  
従って、   2￡sin t   s 2￡sin t   


従って、 s 2   2 ￡sin t   
よって、 ￡sin t  

s2   2
ラプラス変換の基本公式
4. 初期値および終期値定理
(1) 初期値定理
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → ∞ を考える。
lim  f ' (t )est dt  limsF (s)  f (0)

s  0
左辺の s → ∞ と積分の順序を入れ替えると、
s 


lim  f ' (t )est dt   lim f ' (t )est dt  0
s  0
となるから、
0 s 
f (t )  lim sF ( s )
従って、 lim
t 0
s 
(1) 終期値定理
limsF ( s )  f (0)  0
s 
(初期値定理)が得られる。
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → 0 を考える。
lim  f ' (t )est dt  limsF (s)  f (0) 左辺の s → 0 と積分の順序を入れ替えると、

s 0 0
s 0



0 s 0
0
lim  f ' (t )est dt   lim f ' (t )est dt   f ' (t )dt
s 0 0
ここで、


0
f ' (t )dt  lim  f ' (t )dt  lim f (t )  f (0)
t
t  0
f (t )  lim sF ( s )
よって、 lim
t 
s 0
t 
(終期値定理)が得られる。
t → 0 あるいは t → ∞ の極限における f(t) の値、即ち初期値あるいは終値が、
sF(s) の 無限遠点あるいは原点の値によって示される。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換
￡  f (t )dt  
 0
 0
t

部分積分

t
0

 e  st
 st
f (t )dt e dt  
 s


t
0

1 
f (t )dt   f (t )e  st dt
0 s 0
t
右辺第1項は、f(t) がラプラス変換可能という条件から、 0 f (t ) dt (t  0) は有限である。
従って、t → ∞ および t → 0 に対して e
 st

t
0
f (t )dt  0
となる。
結局右辺は第2項のみが残り、
t
1 
1


￡  f (t )dt   f (t )e  st dt  F ( s)
 0
 s 0
s
同じことを n 回繰り返すと、
t t
t
1
￡     f (t )( dt ) n   n F ( s )
 0 0 0
 s
も得られる。
f (t )  0 のとき、不定積分
上式で lim
t 0

t
0
f ( )d  G(t )  G(0)
 f ( )d
を G(τ) で表わせば、
0
となる。ただし、 G(0)   f (t )dt で、これは定数。

ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換の続き
t
1
1
従って、 ￡G (t ) ￡ 0 f ( )d  ￡G (0)  F ( s)  G (0)


s
s
となる。
t
0
1
あるいは、 ￡  f (t )dt    F ( s )   f (t )dt  である。
 
 s 


6. t の乗除
n
t f (t )
1
f (t )
tn
d n F ( s)
(1)
dsn
n


s
s
 
証明は教科書参照

  F ( s )( ds ) n
s
7. 相乗積分(ボレルの定理)

t
0
f1 ( ) f 2 (t   )d
f1 (t ) f 2 (t )
F1 (s) F2 (s)
1
  j
2 j 
 j
F1 ( p) F2 ( s  p)dp
証明は教科書参照