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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
何故ラプラス変換を勉強するのか?
線形電気回路における過渡現象を扱うには、線形常微分方程式を解かなければなら
ない。
di (t ) 1
i (t )dt
RLC直列回路 → e(t ) Ri (t ) L
dt
C
複雑な回路の過渡現象を扱うためには、複雑な線形微分方程式を解くための高度な
数学的知識が要求される。
ラプラス変換を用いると、線形微分方程式が代数演算を用いてシステマティックに
解ける。(高度な数学的知識は不要)
ラプラス変換は、電気回路のみならず、物理学および工学分野の様々な問題に応用
することが可能。
ラプラス変換による微分方程式の解法
時間 t に関する関数の微分方程式
e(t ) Ri (t ) L
di (t ) 1
i (t )dt
dt
C
ラプラス変換
E ( s ) RI ( s ) sLI ( s )
1
I (s)
sC
代数演算
E ( s)
I ( s)
R sL
1
sC
ラプラス逆変換
により、i(t) が求まる。
E ( s)
i(t ) £1
1
R sL
sC
複雑な関数のラプラス変換やラプラス逆変換には、ラプラス変換表(教科書 表5.2)を
用いればよい。
電気回路で用いるラプラス変換
時間 t に関する関数を f(t) とし、s = σ + jω (σ, ω は正の実数 )となる複素数 s を用いて、
F (s) f (t )est dt を求めることをラプラス変換(Laplace transform)と言い、
0
F (s) £f (t ) とも書く。
Lの筆記体、ポンド(£)ではない
また逆に F(s) から、
f (t )
1
2 j
j
1
st
f
(
t
)
£
F ( s)
F
(
s
)
e
ds
を求めることをラプラス逆変換と言い、
j
ラプラス変換および逆変換を、 f(t)
とも書く。
F(s) と表すこともある。
さらに、f(t) を t 関数または表関数、 F(s) を s 関数または裏関数と呼ぶこともある。
また、s を複素周波数(complex frequency)という。
単位ステップ関数と単位インパルス関数
1. 単位ステップ関数 ( u-1(t) あるいは u(t) )
u-1(t)
u-1(t) =
1
0
1
–∞<t<0
0<t<+∞
t
0
2. 単位インパルス関数 ( u0(t) あるいは δ(t) )
∞
u0(t)
u0(t) =
0
+∞
t≠0
t=0
u0(t)
u0(t) =
lim
0
0
δ
u0 (t )dt 1
あるいは、
1
, 0t
t < 0, t > δ
1
0
t
0
単位ステップ関数と単位インパルス関数との間には、
t
d
u 1 (t ) u0 (t ) の関係がある。
dt
各種関数のラプラス変換
1. 単位ステップ関数のラプラス変換
u-1(t) =
–∞<t<0
st
st
F
(
s
)
u
(
t
)
e
dt
e
dt
であるから、
1
0
0
0<t<+∞
0
1
2. 単位インパルス関数のラプラス変換
u0(t) =
1
lim , 0 t
0
0
F ( s) lim
0 0
1
であるから、
ロピタルの定理
t < 0, t > δ
1
0 0
e st dt lim
e st dt lim 1s e st
0
例 5.1.4 (ⅰ) 定数のラプラス変換
st
E を定数とすれば、 £E 0 Ee dt E
£te
0
te
s t
0
s
lim e s1 1
0
e st
s 0
Re(s ) 0
(ⅱ) te-αt のラプラス変換
t
dt t
e s t
s 0
e s t
s
0
E
s
となる α に対して、
dt
1
s 2
1
s
e
st
0
1
s
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅲ) Re(s ) 0, s1 j0 , s2 j0
として、
sin 0t t 1 s t
1 s t j0t j0t
£
e
e
sin 0tdt
e
e e
dt
0
0
2
j
0
0
0
1 s j0 t s j0 t
e
e
dt
0
2 j0
1 e s j0 t e s j0 t
1
1
1
2 j0 s j0 s j0 0 2 j0 s j0 s j0
1 1
1
1
s2 s1
1
2 j0 s s1 s s2 2 j0 s s1 s s2 s s1 s s2
1
s j0 s j0
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅳ) Re(s ) 0 ならば、
£e
t
sinh t e
0
s t
e t e t
1 s t
dt e
e s t dt
2
2 0
1 e s t e s t
1
1
1
2 s s 0 2 s s
s s
ラプラス変換の基本公式
1. 相似定理
£ f (t ) F (s)
何故なら、
とすれば、 £ f (at )
0
1
s
F ( ) が成り立つ。
a a
1
f (at )e dt f (at )e s a at d at であるから。
a 0
st
2. 変移定理
(ⅰ) £ f (t ) F (s)
とすれば、 f(t – a), a > 0 が、 t < a で 0 なるとき、
£ f (t a) eas F (s)
である。
何故なら、 τ = t – a として、
0
f (t a)est dt eas f ( )es d
a
である。
しかるに、 f(τ) は τ < 0 で 0 であるから、上式の右辺の積分の下限は 0 としてよい。
一般にどんな t 関数 f(t) に関しても、t = 0 で始まる関数を t = a で始まる関数に
変移させると、そのラプラス変換は、変移させる前の関数のラプラス変換を e−as
倍したものになる。逆にあるラプラス変換を e−as 倍すれば、それに対する t 関数
は、もとのラプラス変換に対する t 関数を、時間 a だけ変移したものになる。その
ため電気回路論では、遅延演算子と言う。
ラプラス変換の基本公式
2. 変移定理
(ⅱ) 任意の複素数 a に対し、 £eat f (t ) F (s a) である。
何故なら、
0
eat f (t )est dt f (t )es a t dt F s a であるから。
0
例 5.2.1 t = a で突然 0 から 1 に変化する関数 u-1(t – a) を考える。
u-1(t – a) =
0
1
t>a
t<a
であり、この関数のラプラス変換は、
£u1 (t a) u1 (t a)est dt u1 (t a)est dt u1 (t a)est dt
a
0
0
a
となるが、上式の右辺第1項は 0 となるから、第2項のみを計算すれば、
e st
e as
£u1 (t a )
s
s
a
となる。
ラプラス変換の基本公式
1
at
1
£
te
例 5.2.2 (ⅰ) £t 2 であるから、
s a 2
s
e jt e jt
1 1
1
s
(ⅱ) cos t
を用いて、 £cost
2
2
2 s j s j s 2
e jt e jt
1 1
1
(ⅲ) sin t
を用いて、 £sin t
2
2j
2 j s j s j s 2
3. 微係数のラプラス変換
df (t ) df (t ) st
st
£
e
dt
f
(
t
)
e
dt 0 dt
0
0
de st
f (t )
dt f (0) sF (s)
dt
ただし f(0) は、t の正の側より t = 0 に近づいた極限を表すもので、初期値である。
同様にして、微分を n 回繰り返すと、
d n f (t ) n
n 1
n2
( n 1)
£
s
F
(
s
)
s
f
(
0
)
s
f
'
(
0
)
f
(0)
n
dt
ラプラス変換により、微分演算が
dk
(k )
ただし、 f (0) k
である。
代数演算になる !
dt t 0
ラプラス変換の基本公式
例 5.2.3 (ⅰ) £t を求める。
df (t )
d
f (0) sF ( s) を用いると、
t 1 であるから、 £
dt
dt
f (0) 0,
£1
1
s
より、
1
s£t
s
従って、 £t
1
s2
(ⅱ) £sin t を求める。
f (t ) sin t
として、 f (0) 0,
f ' (0) ,
f '' (t ) 2 sin t
d 2 f (t ) 2
£
s F ( s) sf (0) f ' (0) (n 回微分のラプラス変換で、n = 2 の場合)
2
dt
より、 £ 2 sin t s 2 F (s)
従って、 2£sin t s 2£sin t
従って、 s 2 2 £sin t
よって、 £sin t
s2 2
ラプラス変換の基本公式
4. 初期値および終期値定理
(1) 初期値定理
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → ∞ を考える。
lim f ' (t )est dt limsF (s) f (0)
s 0
左辺の s → ∞ と積分の順序を入れ替えると、
s
lim f ' (t )est dt lim f ' (t )est dt 0
s 0
となるから、
0 s
f (t ) lim sF ( s )
従って、 lim
t 0
s
(1) 終期値定理
limsF ( s ) f (0) 0
s
(初期値定理)が得られる。
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → 0 を考える。
lim f ' (t )est dt limsF (s) f (0) 左辺の s → 0 と積分の順序を入れ替えると、
s 0 0
s 0
0 s 0
0
lim f ' (t )est dt lim f ' (t )est dt f ' (t )dt
s 0 0
ここで、
0
f ' (t )dt lim f ' (t )dt lim f (t ) f (0)
t
t 0
f (t ) lim sF ( s )
よって、 lim
t
s 0
t
(終期値定理)が得られる。
t → 0 あるいは t → ∞ の極限における f(t) の値、即ち初期値あるいは終値が、
sF(s) の 無限遠点あるいは原点の値によって示される。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換
£ f (t )dt
0
0
t
部分積分
t
0
e st
st
f (t )dt e dt
s
t
0
1
f (t )dt f (t )e st dt
0 s 0
t
右辺第1項は、f(t) がラプラス変換可能という条件から、 0 f (t ) dt (t 0) は有限である。
従って、t → ∞ および t → 0 に対して e
st
t
0
f (t )dt 0
となる。
結局右辺は第2項のみが残り、
t
1
1
£ f (t )dt f (t )e st dt F ( s)
0
s 0
s
同じことを n 回繰り返すと、
t t
t
1
£ f (t )( dt ) n n F ( s )
0 0 0
s
も得られる。
f (t ) 0 のとき、不定積分
上式で lim
t 0
t
0
f ( )d G(t ) G(0)
f ( )d
を G(τ) で表わせば、
0
となる。ただし、 G(0) f (t )dt で、これは定数。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換の続き
t
1
1
従って、 £G (t ) £ 0 f ( )d £G (0) F ( s) G (0)
s
s
となる。
t
0
1
あるいは、 £ f (t )dt F ( s ) f (t )dt である。
s
6. t の乗除
n
t f (t )
1
f (t )
tn
d n F ( s)
(1)
dsn
n
s
s
証明は教科書参照
F ( s )( ds ) n
s
7. 相乗積分(ボレルの定理)
t
0
f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 (t )
F1 (s) F2 (s)
1
j
2 j
j
F1 ( p) F2 ( s p)dp
証明は教科書参照