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電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田 博仁
何故ラプラス変換を勉強するのか?
線形電気回路における過渡現象を扱うには、線形常微分方程式を解かなければなら
ない。
RLC直列回路 → e ( t )  Ri ( t )  L
di ( t )
dt

1
C
 i ( t ) dt
複雑な回路の過渡現象を扱うためには、複雑な線形微分方程式を解くための高度な
数学的知識が要求される。
ラプラス変換を用いると、線形微分方程式が代数演算を用いてシステマティックに
解ける。(高度な数学的知識は不要)
ラプラス変換は、電気回路のみならず、物理学および工学分野の様々な問題に応用
することが可能。
ラプラス変換による微分方程式の解法
時間 t に関する関数の微分方程式
e ( t )  Ri ( t )  L
di ( t )

dt
1
C
 i ( t ) dt
ラプラス変換
E ( s )  RI ( s )  sLI ( s ) 
1
I (s)
sC
代数演算
E (s)
I (s) 
R  sL 
1
sC
ラプラス逆変換
により、i(t) が求まる。




E (s)
1
i (t )  ￡ 

1
 R  sL 

sC 

複雑な関数のラプラス変換やラプラス逆変換には、ラプラス変換表(教科書 表5.2)を
用いればよい。
電気回路で用いるラプラス変換
時間 t に関する関数を f(t) とし、s = σ + jω (σ, ω は正の実数 )となる複素数 s を用いて、
F (s) 


f (t ) e
 st
dt
0
を求めることをラプラス変換(Laplace transform)と言い、
F ( s )  ￡ f (t )
とも書く。
Lの筆記体、ポンド(￡)ではない
また逆に F(s) から、
f (t ) 
1
2 j
  j

 j
st
F ( s ) e ds
1
を求めることをラプラス逆変換と言い、 f ( t )  ￡ F ( s )
ラプラス変換および逆変換を、 f(t)
とも書く。
F(s) と表すこともある。
さらに、f(t) を t 関数または表関数、 F(s) を s 関数または裏関数と呼ぶこともある。
また、s を複素周波数(complex frequency)という。
単位ステップ関数と単位インパルス関数
1. 単位ステップ関数 ( u-1(t) あるいは u(t) )
u-1(t)
u-1(t) =
1
0
1
–∞<t<0
0<t<+∞
t
0
2. 単位インパルス関数 ( u0(t) あるいは δ(t) )
∞
u0(t)
u0(t) =



0
+∞
t≠0
t=0
u0(t)
u0(t) =
 0

0
δ
u 0 ( t ) dt  1
1
lim
あるいは、
,
0t
t < 0, t > δ
1

0
t
t
0
単位ステップ関数と単位インパルス関数との間には、
d
dt
u 1 ( t )  u 0 ( t )
の関係がある。
各種関数のラプラス変換
1. 単位ステップ関数のラプラス変換
–∞<t<0
であるから、 F ( s ) 
0<t<+∞
0
1
u-1(t) =


0
u 1 ( t ) e
 st
dt 


e
 st
dt 
0
2. 単位インパルス関数のラプラス変換
1
lim
u0(t) =
 0

0t
,
 0


0
1

ロピタルの定理
t < 0, t > δ
0
F ( s )  lim
であるから、
e
 st
dt  lim
 0


0
1

e
 st
dt  lim
 0
1
 s
e 
 st 
0
 lim
 0
e
 s
1
 s
1
例 5.1.4 (ⅰ) 定数のラプラス変換
E を定数とすれば、
￡ E  


Ee

 t
 

0
te
  s   t
dt  E
0
 
 st
e
s

0
Re( s   )  0
(ⅱ) te-αt のラプラス変換
￡ te
 st

dt  t
  
  s   t
e
  s 

0

0
e
  s   t
s 
dt 

E
s
となる α に対して、
1
 s   2
1
s
e 
 st 
0

1
s
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅲ) Re( s   )  0 , s1    j  0 , s 2    j  0
 sin  0 t   t 
1
￡
e 
 0
 0



e
  s   t
0
1
2 j 0
 e

sin  0 tdt 
  s    j  0 t
e
1
2 j 0

e
  s   t
0
  s    j  0 t
0

e
として、
j 0 t



 j 0 t
dt
dt
  s    j  0 t
  e   s    j  0 t

e
1





2 j 0  s    j 0
s    j 0  0
2 j 0
1
e

1
1


 s    j
s    j 0
0

 1
1 
1
s 2  s1
1




2 j  0  s  s1 s  s 2  2 j  0  s  s1  s  s 2   s  s1  s  s 2 
1
1
s  
 j  0  s    j  0 




各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅳ) Re( s     )  0

￡e
 t
 
sinh  t 

e
  s   t
e
t
e
ならば、
 t
dt 
2
0
1

2

e
  s     t
e
  s     t
dt
0

  s     t
  s     t


1  e
e
1
1
1


 





2  s  
s     0
2  s  
s   


s  

 s  


ラプラス変換の基本公式
1. 相似定理
￡ f ( t )   F ( s )
何故なら、
とすれば、


f ( at ) e
 st
￡ f ( at )  
dt 
1

a
0
1
s
F( )
a
a

f ( at ) e
  s a  at
0
が成り立つ。
d  at 
であるから。
2. 変移定理
(ⅰ) ￡ f ( t )   F ( s )
￡ f ( t  a )   e
とすれば、 f(t – a), a > 0 が、 t < a で 0 なるとき、
 as
F (s)
である。
何故なら、 τ = t – a として、


0
f (t  a ) e
 st
dt  e
 as


a
f ( ) e
 s
d
である。
しかるに、 f(τ) は τ < 0 で 0 であるから、上式の右辺の積分の下限は 0 としてよい。
一般にどんな t 関数 f(t) に関しても、t = 0 で始まる関数を t = a で始まる関数に
変移させると、そのラプラス変換は、変移させる前の関数のラプラス変換を e-as 倍
したものになる。逆にあるラプラス変換を e-as 倍すれば、それに対する t 関数は、
もとのラプラス変換に対する t 関数を、時間 a だけ変移したものになる。そのため
電気回路論では、遅延演算子と言う。
ラプラス変換の基本公式
2. 変移定理
(ⅱ) 任意の複素数 a に対し、 ￡e at f ( t )   F ( s  a ) である。
何故なら、


e
at
f (t ) e
 st
dt 
0


f (t )e
  s  a t
0
dt  F  s  a 
であるから。
例 5.2.1 t = a で突然 0 から 1 に変化する関数 u-1(t – a) を考える。
u-1(t – a) =
0
1
￡u 1 ( t  a )  
t>a
t<a


0
u 1 ( t  a ) e
であり、この関数のラプラス変換は、
 st
dt 

a
0
u 1 ( t  a ) e
 st
dt 


a
u 1 ( t  a ) e
 st
dt
となるが、上式の右辺第1項は 0 となるから、第2項のみを計算すれば、

 as
 e  st 
e
￡u 1 ( t  a )    
 
s
s

a
となる。
ラプラス変換の基本公式
1
例 5.2.2 (ⅰ) ￡t  
e
(ⅱ) cos  t 
s
j t
2

であるから、 ￡ te
 j t
e
2
e
(ⅲ) sin  t 
j t
e
 j t
2j

 at
1
 s  a 2
を用いて、 ￡cos  t  
1 1
1


2  s  j s  j

s
  2
2
 s 
を用いて、 ￡sin  t  
1  1
1


2 j  s  j s  j


  2
2
 s 
3. 微係数のラプラス変換
 df ( t ) 
￡


 dt 


0
df ( t )
e
 st

dt  f ( t ) e
dt

 st 
0



0
f (t )
de
 st
dt   f ( 0 )  sF ( s )
dt
ただし f(0) は、t の正の側より t = 0 に近づいた極限を表すもので、初期値である。
同様にして、微分を n 回繰り返すと、
 d n f (t ) 
n
n 1
n2
￡

s
F
(
s
)

s
f
(
0
)

s
f ' (0)    f

n
 dt

ただし、 f
(k )
dk 
(0)   k 
 dt  t  0
である。
( n 1 )
(0)
ラプラス変換により、微分演算が
代数演算になる !
ラプラス変換の基本公式
例 5.2.3 (ⅰ) ￡t  を求める。
f (0)  0,
d
dt
￡1 
1
t   1 であるから、
より、
s
1
s
 s ￡t 
 df ( t ) 
￡
   f ( 0 )  sF ( s )
dt


従って、 ￡t  
を用いると、
1
s
2
(ⅱ) ￡sin  t  を求める。
f ( t )  sin  t
として、 f ( 0 )  0 ,
 d 2 f (t ) 
2
￡
  s F ( s )  sf ( 0 )  f ' ( 0 )
2
 dt

f ' (0)   ,
従って、   2￡sin  t   s 2￡sin  t   
よって、 ￡sin  t  

s 
2
2
2
(n 回微分のラプラス変換で、n = 2 の場合)
より、 ￡  2 sin  t   s 2 F ( s )  
従って、 s 2   2 ￡sin  t   
f '' ( t )    sin  t
ラプラス変換の基本公式
4. 初期値および終期値定理
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → ∞ を考える。
(1) 初期値定理
lim
s 
lim
s 


f ' (t ) e
 st


f ' (t ) e
dt  lim sF ( s )  f ( 0 ) 
 st
dt 
0


lim f ' ( t ) e
s 0
lim
s 0

f ' (t ) e
 st

f ' (t ) e
0
ここで、
dt  lim sF ( s )  f ( 0 ) 
 st
dt 


0


0
lim sF ( s )  f ( 0 )   0
s 
(初期値定理)が得られる。
左辺の s → 0 と積分の順序を入れ替えると、
s 0
0

となるから、
dt  0
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → 0 を考える。
(1) 終期値定理

 st
0 s 
f ( t )  lim sF ( s )
従って、 lim
t 0
s 
lim
左辺の s → ∞ と積分の順序を入れ替えると、
s 
0
lim f ' ( t ) e
s 0
f ' ( t ) dt  lim
t
 st
dt 


f ' ( t ) dt
0

t
0
f ' ( t ) dt  lim  f ( t )  f ( 0 ) 
f ( t )  lim sF ( s )
よって、 lim
t
s 0
t
(終期値定理)が得られる。
t → 0 あるいは t → ∞ の極限における f(t) の値、即ち初期値あるいは終値が、
sF(s) の 無限遠点あるいは原点の値によって示される。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換
￡  f ( t ) dt  
 0

t


0
部分積分

t
0

 e  st
 st
f ( t ) dt e dt   
s



t
0

1
f ( t ) dt  
s
0


f (t ) e
右辺第1項は、f(t) がラプラス変換可能という条件から、 0 f ( t ) dt
従って、t → ∞ および t → 0 に対して e

t
f ( t ) dt  0
dt
0
t
 st
 st
(t  0 )
は有限である。
となる。
0
結局右辺は第2項のみが残り、
t
1

￡  f ( t ) dt  
 0
 s


f (t ) e
 st
dt 
1
F (s)
s
0
同じことを n 回繰り返すと、
t t
t
1
n
￡     f ( t )( dt )   n F ( s )
 0 0
 s
0
も得られる。
f ( t )  0 のとき、不定積分
上式で lim
t 0

t
0
f ( ) d   G ( t )  G ( 0 )

f ( ) d 
を G(τ) で表わせば、
となる。ただし、 G ( 0 ) 

0

f ( t ) dt
で、これは定数。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換の続き
従って、 ￡G ( t )   ￡  f ( ) d    ￡G ( 0 )  
t

あるいは、 ￡ 

t


0
1
f ( t ) dt    F ( s ) 
 s 

0

1
F (s) 
s
f ( t ) dt 

1
G (0)
となる。
s
である。
6. t の乗除
n
n
t f (t )
(  1)
d F (s)
n
ds
1
t
n
f (t )


s
s
 
n
証明は教科書参照

  F ( s )( ds )
n
s
7. 相乗積分(ボレルの定理)

t
0
f 1 ( ) f 2 ( t   ) d 
f1 (t ) f 2 (t )
F1 ( s ) F 2 ( s )
1
2
  j

j 
 j
証明は教科書参照
F1 ( p ) F 2 ( s  p ) dp