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電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田 博仁
何故ラプラス変換を勉強するのか?
線形電気回路における過渡現象を扱うには、線形常微分方程式を解かなければなら
ない。
RLC直列回路 → e ( t ) Ri ( t ) L
di ( t )
dt
1
C
i ( t ) dt
複雑な回路の過渡現象を扱うためには、複雑な線形微分方程式を解くための高度な
数学的知識が要求される。
ラプラス変換を用いると、線形微分方程式が代数演算を用いてシステマティックに
解ける。(高度な数学的知識は不要)
ラプラス変換は、電気回路のみならず、物理学および工学分野の様々な問題に応用
することが可能。
ラプラス変換による微分方程式の解法
時間 t に関する関数の微分方程式
e ( t ) Ri ( t ) L
di ( t )
dt
1
C
i ( t ) dt
ラプラス変換
E ( s ) RI ( s ) sLI ( s )
1
I (s)
sC
代数演算
E (s)
I (s)
R sL
1
sC
ラプラス逆変換
により、i(t) が求まる。
E (s)
1
i (t ) £
1
R sL
sC
複雑な関数のラプラス変換やラプラス逆変換には、ラプラス変換表(教科書 表5.2)を
用いればよい。
電気回路で用いるラプラス変換
時間 t に関する関数を f(t) とし、s = σ + jω (σ, ω は正の実数 )となる複素数 s を用いて、
F (s)
f (t ) e
st
dt
0
を求めることをラプラス変換(Laplace transform)と言い、
F ( s ) £ f (t )
とも書く。
Lの筆記体、ポンド(£)ではない
また逆に F(s) から、
f (t )
1
2 j
j
j
st
F ( s ) e ds
1
を求めることをラプラス逆変換と言い、 f ( t ) £ F ( s )
ラプラス変換および逆変換を、 f(t)
とも書く。
F(s) と表すこともある。
さらに、f(t) を t 関数または表関数、 F(s) を s 関数または裏関数と呼ぶこともある。
また、s を複素周波数(complex frequency)という。
単位ステップ関数と単位インパルス関数
1. 単位ステップ関数 ( u-1(t) あるいは u(t) )
u-1(t)
u-1(t) =
1
0
1
–∞<t<0
0<t<+∞
t
0
2. 単位インパルス関数 ( u0(t) あるいは δ(t) )
∞
u0(t)
u0(t) =
0
+∞
t≠0
t=0
u0(t)
u0(t) =
0
0
δ
u 0 ( t ) dt 1
1
lim
あるいは、
,
0t
t < 0, t > δ
1
0
t
t
0
単位ステップ関数と単位インパルス関数との間には、
d
dt
u 1 ( t ) u 0 ( t )
の関係がある。
各種関数のラプラス変換
1. 単位ステップ関数のラプラス変換
–∞<t<0
であるから、 F ( s )
0<t<+∞
0
1
u-1(t) =
0
u 1 ( t ) e
st
dt
e
st
dt
0
2. 単位インパルス関数のラプラス変換
1
lim
u0(t) =
0
0t
,
0
0
1
ロピタルの定理
t < 0, t > δ
0
F ( s ) lim
であるから、
e
st
dt lim
0
0
1
e
st
dt lim
0
1
s
e
st
0
lim
0
e
s
1
s
1
例 5.1.4 (ⅰ) 定数のラプラス変換
E を定数とすれば、
£ E
Ee
t
0
te
s t
dt E
0
st
e
s
0
Re( s ) 0
(ⅱ) te-αt のラプラス変換
£ te
st
dt t
s t
e
s
0
0
e
s t
s
dt
E
s
となる α に対して、
1
s 2
1
s
e
st
0
1
s
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅲ) Re( s ) 0 , s1 j 0 , s 2 j 0
sin 0 t t
1
£
e
0
0
e
s t
0
1
2 j 0
e
sin 0 tdt
s j 0 t
e
1
2 j 0
e
s t
0
s j 0 t
0
e
として、
j 0 t
j 0 t
dt
dt
s j 0 t
e s j 0 t
e
1
2 j 0 s j 0
s j 0 0
2 j 0
1
e
1
1
s j
s j 0
0
1
1
1
s 2 s1
1
2 j 0 s s1 s s 2 2 j 0 s s1 s s 2 s s1 s s 2
1
1
s
j 0 s j 0
各種関数のラプラス変換
例 5.1.4 (ⅳ) Re( s ) 0
£e
t
sinh t
e
s t
e
t
e
ならば、
t
dt
2
0
1
2
e
s t
e
s t
dt
0
s t
s t
1 e
e
1
1
1
2 s
s 0
2 s
s
s
s
ラプラス変換の基本公式
1. 相似定理
£ f ( t ) F ( s )
何故なら、
とすれば、
f ( at ) e
st
£ f ( at )
dt
1
a
0
1
s
F( )
a
a
f ( at ) e
s a at
0
が成り立つ。
d at
であるから。
2. 変移定理
(ⅰ) £ f ( t ) F ( s )
£ f ( t a ) e
とすれば、 f(t – a), a > 0 が、 t < a で 0 なるとき、
as
F (s)
である。
何故なら、 τ = t – a として、
0
f (t a ) e
st
dt e
as
a
f ( ) e
s
d
である。
しかるに、 f(τ) は τ < 0 で 0 であるから、上式の右辺の積分の下限は 0 としてよい。
一般にどんな t 関数 f(t) に関しても、t = 0 で始まる関数を t = a で始まる関数に
変移させると、そのラプラス変換は、変移させる前の関数のラプラス変換を e-as 倍
したものになる。逆にあるラプラス変換を e-as 倍すれば、それに対する t 関数は、
もとのラプラス変換に対する t 関数を、時間 a だけ変移したものになる。そのため
電気回路論では、遅延演算子と言う。
ラプラス変換の基本公式
2. 変移定理
(ⅱ) 任意の複素数 a に対し、 £e at f ( t ) F ( s a ) である。
何故なら、
e
at
f (t ) e
st
dt
0
f (t )e
s a t
0
dt F s a
であるから。
例 5.2.1 t = a で突然 0 から 1 に変化する関数 u-1(t – a) を考える。
u-1(t – a) =
0
1
£u 1 ( t a )
t>a
t<a
0
u 1 ( t a ) e
であり、この関数のラプラス変換は、
st
dt
a
0
u 1 ( t a ) e
st
dt
a
u 1 ( t a ) e
st
dt
となるが、上式の右辺第1項は 0 となるから、第2項のみを計算すれば、
as
e st
e
£u 1 ( t a )
s
s
a
となる。
ラプラス変換の基本公式
1
例 5.2.2 (ⅰ) £t
e
(ⅱ) cos t
s
j t
2
であるから、 £ te
j t
e
2
e
(ⅲ) sin t
j t
e
j t
2j
at
1
s a 2
を用いて、 £cos t
1 1
1
2 s j s j
s
2
2
s
を用いて、 £sin t
1 1
1
2 j s j s j
2
2
s
3. 微係数のラプラス変換
df ( t )
£
dt
0
df ( t )
e
st
dt f ( t ) e
dt
st
0
0
f (t )
de
st
dt f ( 0 ) sF ( s )
dt
ただし f(0) は、t の正の側より t = 0 に近づいた極限を表すもので、初期値である。
同様にして、微分を n 回繰り返すと、
d n f (t )
n
n 1
n2
£
s
F
(
s
)
s
f
(
0
)
s
f ' (0) f
n
dt
ただし、 f
(k )
dk
(0) k
dt t 0
である。
( n 1 )
(0)
ラプラス変換により、微分演算が
代数演算になる !
ラプラス変換の基本公式
例 5.2.3 (ⅰ) £t を求める。
f (0) 0,
d
dt
£1
1
t 1 であるから、
より、
s
1
s
s £t
df ( t )
£
f ( 0 ) sF ( s )
dt
従って、 £t
を用いると、
1
s
2
(ⅱ) £sin t を求める。
f ( t ) sin t
として、 f ( 0 ) 0 ,
d 2 f (t )
2
£
s F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 )
2
dt
f ' (0) ,
従って、 2£sin t s 2£sin t
よって、 £sin t
s
2
2
2
(n 回微分のラプラス変換で、n = 2 の場合)
より、 £ 2 sin t s 2 F ( s )
従って、 s 2 2 £sin t
f '' ( t ) sin t
ラプラス変換の基本公式
4. 初期値および終期値定理
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → ∞ を考える。
(1) 初期値定理
lim
s
lim
s
f ' (t ) e
st
f ' (t ) e
dt lim sF ( s ) f ( 0 )
st
dt
0
lim f ' ( t ) e
s 0
lim
s 0
f ' (t ) e
st
f ' (t ) e
0
ここで、
dt lim sF ( s ) f ( 0 )
st
dt
0
0
lim sF ( s ) f ( 0 ) 0
s
(初期値定理)が得られる。
左辺の s → 0 と積分の順序を入れ替えると、
s 0
0
となるから、
dt 0
f(t) の1階微分のラプラス変換の式において、s → 0 を考える。
(1) 終期値定理
st
0 s
f ( t ) lim sF ( s )
従って、 lim
t 0
s
lim
左辺の s → ∞ と積分の順序を入れ替えると、
s
0
lim f ' ( t ) e
s 0
f ' ( t ) dt lim
t
st
dt
f ' ( t ) dt
0
t
0
f ' ( t ) dt lim f ( t ) f ( 0 )
f ( t ) lim sF ( s )
よって、 lim
t
s 0
t
(終期値定理)が得られる。
t → 0 あるいは t → ∞ の極限における f(t) の値、即ち初期値あるいは終値が、
sF(s) の 無限遠点あるいは原点の値によって示される。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換
£ f ( t ) dt
0
t
0
部分積分
t
0
e st
st
f ( t ) dt e dt
s
t
0
1
f ( t ) dt
s
0
f (t ) e
右辺第1項は、f(t) がラプラス変換可能という条件から、 0 f ( t ) dt
従って、t → ∞ および t → 0 に対して e
t
f ( t ) dt 0
dt
0
t
st
st
(t 0 )
は有限である。
となる。
0
結局右辺は第2項のみが残り、
t
1
£ f ( t ) dt
0
s
f (t ) e
st
dt
1
F (s)
s
0
同じことを n 回繰り返すと、
t t
t
1
n
£ f ( t )( dt ) n F ( s )
0 0
s
0
も得られる。
f ( t ) 0 のとき、不定積分
上式で lim
t 0
t
0
f ( ) d G ( t ) G ( 0 )
f ( ) d
を G(τ) で表わせば、
となる。ただし、 G ( 0 )
0
f ( t ) dt
で、これは定数。
ラプラス変換の基本公式
5. 積分のラプラス変換の続き
従って、 £G ( t ) £ f ( ) d £G ( 0 )
t
あるいは、 £
t
0
1
f ( t ) dt F ( s )
s
0
1
F (s)
s
f ( t ) dt
1
G (0)
となる。
s
である。
6. t の乗除
n
n
t f (t )
( 1)
d F (s)
n
ds
1
t
n
f (t )
s
s
n
証明は教科書参照
F ( s )( ds )
n
s
7. 相乗積分(ボレルの定理)
t
0
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
f1 (t ) f 2 (t )
F1 ( s ) F 2 ( s )
1
2
j
j
j
証明は教科書参照
F1 ( p ) F 2 ( s p ) dp