Transcript 11確率モデル

11.確率モデル
• 確率・・・不確実性の経済学や金融やファイナ
ンス で重要
• 密度関数がある場合に期待値を取る計算を
中心に、紹介
確率と確率変数
• 数学的な確率
– どれがおこるかわからないが、少なくとも起こりえ
ることはわかっていて、しかも、どれが、起こるか
わからないという、わからなさについて、完全によ
くわかっている
• 本当に何が起こるかわからないとき確率モデ
ルは適用可能か・・・・・・・???
• ここでは、とにかく確率の計算に慣れる
確率の公理

起こりえること全体の集合
A
P  A
部分集合
確率・・部分集合から実数への関数
P    1
何かは必ず起こる
0  P  A  1
確率は0と1の間
確率の公理(続き)
A  B    P  A  B  P  A  P B 
AとBが同時に起きないならば、AかBが起こる確
率は、Aが起こる確率とBの起こる確率
j  j , Ai  A j    P


i 1

Ai 


i 1
P  Ai 
加算加法的に拡張した形で定義
定義域も困らないように定義(σフィールド )
全体が1になるように正規化していないものも含め測度(measure)
典型的な測度は長さ(ルベーグ測度)
ある公理を仮定すると長さの定義できない集合がある。

確率変数
から実数への関数
X   ,   
実数の行儀のいい集合Bの値を取る確率
P
  : X     B  
定義できる集合が可測(measurable)
当面は、元の確率空間や確率変数を無視して、
次の分布関数から初めても問題が無い
確率変数の表記
X,x
など文脈による
(累積)分布関数と
P  : X     x    F  x 
確率変数Xがx以下を取る確率
非減少関数
A  B  P  A  P B 
x  y  F  x   P  X
1
  
lim x   F  x   1
lim x    F  x   0
0から1に増加していく
x   P  X
1
  
y   F  y 
なんらかの数は、実現する
どの数も実現しないことはない
例 歪んでいないサイコロの目の分布関数
0

1

6
2

6
3
F x  
6
4

6

5
6

1
x 1
1 x  2
2 x3
3 x4
4 x5
5 x6
6 x
離散確率変数

pi  0

i 1
pi  1
確率
p1 , p 2 , .... で
実数
x1 , x 2 , ....
が起きる
分布関数は
F x 

xi  x
pi
絶対連続確率変数
確率変数Xが実数全体を取る
特定の実数aは取りそうもない
P  X  a  0
がもっともそう
しかし
P  X   a , b    P  X    , b    P  X    , a  
 P  X  b  P  X  a   F b   F a   0
となりそう
F x
が連続微分可能
微分積分学の基本定理
f
x 
F b   F a  
f

b
a
F ' x 
f  x dx
 x  が連続でない場合も含め
b  a  F b   F a  

b
f
a
 x dx
が成立するとき、分布は、絶対連続で、
f
x
は 確率密度関数
確率密度関数
f

x
b
xが起こる確率ではない。
f
 x  dx
aとbの間の値になる確率
f
x
自体は1を超えることもある
a
F x 



f

x

f  t  dt
 x  dx  1
分布関数の分解
F  x    Fd  x    F a c  x    F sc  x 
    1
  0,   0,   0
Fd  x  離散分布関数
Fac  x  絶対連続分布関数
F sc  x 
特異連続分布関数
特異連続分布関数は、一次元の応用では、まず出ない
二次元の応用では、それほど特異に見えない例がある
密度関数の例
一様分布
ab
 1

f x  b  a
 0

x  a, b
x  a, b
aとbの間では、同じように起こりやすい
それ以外は起こらない
正規分布
f x 
2

x  
1
exp  
2

2

2 





中心極限定理により、独立のノイズの和は、正規分布に収束
自然界に多く存在
いろいろ いい性質を持つ
μ:期待値:σ2:分散
標準正規分布μ=0,σ2=1
f x 
 x2 
exp  

2
 2 
1
一般の密度関数の構成
f
x  0

g  x   0, 0 


f  x  dx  1



g  x  dx  
fは密度関数
g x



g  t  dt
は密度関数
例
x

1
t
0
p 1
p 1
1  x 
1  t 
q 1
q 1
は[0,1]の密度関数(ベータ分布)
dt
期待値
サイコロの目の平均
1
6
1 
1
 2  ... 
6
1
 6  3.5
6
離散確率分布
確率変数 X


i 1
p i xi
p1 , p 2 , .... で x1 , x 2 , .... を取る
Xの期待値
絶対連続確率分布
確率変数 X
EX  
f

x


xf
密度関数
 x  dx
Xの期待値
xとf(x)を掛け合わせて足す
f(x)はxを取る確率ではないので、正確ではない
積分を定義して、説明
期待値の直感的理解
a  x 0  x1  ...  x n  b 
x0 


x1
x0
f  x  dx  x1 
x1
x2
x0
 x1 

x i 1
xi
x2
xf  x  dx  
x1
x0
x1
x1
 xi
f  x  dx  ...  x n 1 
xf  x  dx  ... 
f  x  dx  x 2 
 x  x i 1 
x2
x1

xn
x n 1
xn
x n 1
f  x  dx
xf  x  dx
f  x  dx  ...  x n 
xn
x n 1
f  x  dx
f  x  dx  P  X   x i , x i  1  
なので刻みが細かければ、一番上も一番下も平均のいい近似
真ん中は

b
a
xf  x  dx
期待値の存在しない例
ルベーグ積分は、正の関数について定義され、符
号の変わる関数については、正の部分の積分か
ら、負の部分の絶対値の積分を引く



a
 x  dx  lim a   0
xf
b
xf
 x  dx  lim b   0
xf   x  dx
両方が有限のとき期待値が存在
f x 
1

lim a  


a
1
 1 x
1
1 x
2
dx 
2
積分すると1(コーシー分布の密度関数)
1 1
 2
ln 1  x
b
xf
0
x
1
 x  dx  lim b   0
2

xf   x  dx  
関数の期待値
E  u  X  
離散分布
u(X)の期待値
E  u  X   
絶対連続分布


i 1
E  u  X   

piu  xi 


u x f
 x dx
例 期待効用
1
X
1
で 2,
2
EX  

で 4,......,
4

i 1
1
2
n
1
2
n
n
, . . . で2 を と る 確率変数
2  1  1  ...  
n
コインをn回降って初めて表が出ると2n円もらえる賭けの
期待値が無限大・・セント・ペテルスブルグのパラドックス
ある種の合理性を持つ人の確率変数に対する選好は、
ある効用関数の期待値(期待効用)の大小と同じ(フォン・
ノイマン=モルゲンシュテルン効用関数)
E  u  X   

 i 1 u  n  2  u  a 
n
この人は、確実にa円もらえるのと、セント・ペテルスブル
グのかけをするのが同等・・・確実性等価額
Jensenの不等式
u(x)が凹(凸)
   0,1  u   x   1    y      u  x    1    u  y 
u " x     0
E  u  X       u  E  X  
効用関数が凹なら賭け
より、確実に期待値がも
らえたほうがいい
危険回避的
期待値の線形性
f
x
密度関数
E  u  X    v  X
      u  x    v  x   f  x  dx
   u  x  f  x  dx    v  x  f  x  dx
帰納法により
  E u  X
n

E  i 1  i u i  X   



   E v  X 
n
i 1
 i E  u i  X  
分散
EX  
X
期待値(平均値)

2
が小さい(大きい)値を取る確率が高い
分布がばらついている
E  X     


2
x  
2
f
 x dx
分散
 
が大きいとき分布がばらついている
実際のデータから計算する記述統計的の
分散や、推測統計学での分散の推定値と
混乱しないこと
2
E  X    


標準偏差
分散(つづき)
2

E  X      E  X


2
2
 2  X   
2
2
 E  X   2  E  X   
2
2
2
 E  X   2   
同様に

2
2
 E  X   
E  u  X   E  u  X  


2
  E u X




2
  E u  X  



2
二次元と多次元の確率変数
• ファイナンスのポートフォリオ問題で各株の価
格や収益を確率変数とすると、いくつかの確
率変数を同時に扱う問題が出てくる
• びっくりしないように、絶対連続な場合につい
て、最小の議論をする。
同時密度関数
X ,Y
確率変数のペア
F  x , y   P r  X  x , Y  x  同時分布関数
 F  x, y 
2
f  x, y  
xy
同時密度関数
二次元の領域Bに対して
PX  B 

x , y  B
f  x , y dxdy この場合が絶対連続
密度関数の3次元グラフの領域の下の面積が確率
期待値
u  X ,Y
 の期待値(関数u(x,y)に確率変数を入れる)
E  u  X , Y   
b
b'
a
a'
 
u  x, y  f






 x , y  dxdy

u  x , y  f  x , y  dx dy
の表記でどちらの積分が先かは
文脈による
 
b
b'
a
a'

u  x , y  f  x , y  dx dy 
   u  x , y  dy  f  x , y  dx
b'
b
a'
a
は、非常に一般的な条件で成り立つ
X
の期待値
E  u  X , Y   
u  x, y   x
EX  



 




fx  x  








x
fy  y 





u  x , y  f  x , y  dx dy
xf  x , y dxdy




f  x , y dy dx
xf x  x  dx
 x , y dy Xの周辺密度関数
f
(Xだけ考えたときの密度関数)
同様に
E Y  






yf y  y  dy


f
 x , y d x Yの周辺密度関数
独立と条件付確率
fy  y  fx  x  f
XとYが独立
f
 y x 
f  x, y 
Xが与えられたときのYの条件付密度関数
fx  x
Xが特定の値をとったとき、 Yがどんなふ
うにばらついているかを示す
yについて積分



f
 y x dy 
 x, y 



f  x , y dy
fx  x

fx  x 
fx  x
1
f
 y x 
f  x, y 
fx  x
XとYが独立
fy  y  fx  x  f
f
 y x 
f  x, y 
fx  x 

 x, y 
fy  y  fx  x
fx  x
 fy  y
条件付密度と周辺密度が同じ
Xのとる値がYのばらつきぐあいに影響
を与えない
Xのとる値がYの情報を持たない
条件付期待値
u  X ,Y
 のXの値が与えられたときの条件付期待値
E  u  X , Y


X  x  
 u  x , y  f  y x  dy
 u  x , y  f  x , y  dy
fx  x
yは消えてxの関数になる。
Xについて期待値を取る。
E X  E  u  X , Y


X   



 u  x , y  f  x , y  dy
fx  x
f x  x dx
  u  x , y  f  x , y  dydx  E  u  X , Y  
もとの期待値になる(繰り返し期待値の法則)
共分散と相関係数
X
 EX
 Y
 E Y  
XとYがともに平均より大きいか小さいときに正
片方平均より大きく他方が平均より小さいとき負
共分散
C ov  X , Y   E   X  E  X

 Y
 E Y   

XとYが同じように動きやすいとき正、逆に動きや
すいとき負
C ov  X , Y   E   X  E  X

共分散が正の密度
関数のレベル曲線の
例
 Y
 E Y    共分散

共分散が負の密度
関数のレベル曲線の
例
C ov  X , Y   E   X  E  X

 Y
 E Y    共分散

二変数の期待値についての線形性
期待値は、確率変数でなく定数であることに注意
 E  X Y  X E  Y   E  X  Y  E  Y  E  X  
 E  X Y   E  X  E Y   E  X  E Y   E Y  E  X
 E  X Y   E  X  E Y 
E[X], E[Y]のどちらが0ならCov (X, Y)= E[XY]

相関係数
コーシー・シュワルツの不等式
2
2
E  X Y   E  X  E  Y 
2
E  u  X  v  Y    E  u  X   E  v  Y  
2
2
E   X  E  X    Y  E Y     E   X  E  X



2
1 
E  X  E  X

E  X  E  X


2
 Y
 E Y   

 E   Y  E Y   
 

2
1

2
2
 E   Y  E Y   2 
 

相関係数
1 
E  X  E  X

E  X  E  X


 Y
2
 E Y   

 E   Y  E Y   2 
 

相関係数
1
1と－1の間
相関係数が1⇔必ず正の傾きの直線にのる
相関係数が－1⇔必ず負の傾きの直線にのる
XとYが独立⇒ u(X)とv(Y)の相関係数は0
E  u  X  v  Y   

 








 




u  x  v  y  f  x , y  dxdy
u  x  v  y  f x  x  f y  y  dxdy
u  x  f x  x  dx



v  y  f y  y  dy

XとYの相関係数は0でも独立とは限らない
相関係数は0だが独立でない分布の密度関数の
レベル曲線の例
多変数の密度関数
X 1 , ..., X n
n次元の確率変数
絶対連続のときは、同時密度関数
f
 x1 , ..., x n 

  x  μ T  1  x  μ  
exp  



2


1
 2

n
2
を使って期待値、分散、条件付
期待値などを計算できる。
n次元正規分布(多変量正規分布)の密度関数
μ

平均ベクトル
分散共分散行列(非負定符号)
例 ポートフォリオ選択
I
持っているお金・・二つの株に投資するか預金する
1円の1年後の金額 投資額
Ia1 a2
預金 1+r 確実な額
a1
株1 X1 確率変数
a2
株2 X2 確率変数
このときの1年後の価値
a1 X 1  a 2 X 2   I  a 1  a 2   1  r 
  1  r  I  a1  X 1   1  r    a 2  X 2   1  r  
Y
 a1 Z 1
 a2 Z 2
Y  a1 Z 1  a 2 Z 2
期待値
分散
M  Y  a1 E  Z 1   a 2 E  Z 2 


S  E   Y  a1 Z 1  a 2 Z 2    Y  a1 E  Z 1   a 2 E  Z 2  

2


 E  a1  Z 1  E  Z 1    a 2  X 2  E  Z 2  

2
2




2
2
2
2

 E a1  Z 1  E  Z 1    2 a1 a 2  Z 1  E  Z 1    Z 2  E  Z 2    a 2  Z 2  E  Z 2   


2
2
 a1 E   Z 1  E  Z 1     2 a1 a 2 E   Z 1  E  Z 1    Z 2  E  Z 2   




2

 a2 E  Z 2  E  Z 2  


2
 a1 V ar  Z 1   2 a1 a 2 C ov  Z 1 , Z t   a 2 V ar  Z 2 
2
2
投資家の効用
u M ,S   M 
1
S
2
2
期待値は大きいほうがいいが、分散は
小さいほうがいい
 0
大きいほどリスクが嫌い
投資家の行動
m ax a1 , a 2 u  M , S   M 
1
S
2
2
M  Y  a1 E  Z 1   a 2 E  Z 2   Y  a1  1  a 2  2
2
S  E  Y  a 1 Z 1  a 2 Z 2    Y  a 1  1  a 2  2   


2
 E a 1  Z 1   1   a 2  Z 2   2  


2
2
2
 E  a 1  Z 1   1   2 a 1a 2  Z 1   1   Z 2   2   a 2  Z 2   2  


2
2
2
 a 1 E   Z 1   1    2 a 1 a 2 E   Z 1   1   Z 2   2    a 2 E   Z 2   2  




2
2
2
 a 1 V ar  Z 1   2 a 1 a 2 C ov  Z 1 , Z 2   a 2 V ar  Z 2 
2
2
 a 1  1  2 a 1 a 2   1 2  a 2  2
2
2
2
2
Y  a1  1  a 2  2

1
2
  a 1  1  2 a 1 a 2  1 2  a 2  2
2
2
2
2

a1とa2 で微分して0と置く
 1    a 1 1  a 2  1 2   0
2
 2    a 2 2  a 1  1 2   0
2
 1    a 1 1  a 2  1 2   0
2
 2    a 2 2  a 1  1 2   0
2
a1とa2 について解く
1  1 2   2  1 2
2
a1 
a2 
  1 2 2 2  1   2 
1

1  2 1   1  1 2
2
a1 
  1 2 2 2  1   2 
分母は正(相関係数の絶対値は1以下)
1  1 2   2  1 2
2
a1 
  1 2 2 2  1   2 
a2 
a1
a2
1

1  2 1   1  1 2
2
a1 
  1 2 2 2  1   2 
 1 2   2  1 2
2

 2 1   1  1 2
2
二つの株の相対比率は、βに依存しない
株の混ぜ合わせ方は同じで、 βの大きい
人は預金を小さい人は株を持つ
すべて株1に投資したとき a1  I , a 2  0
平均
分散
M 1  Y  a1  1  a 2  2  Y  I  1
S 1  a 1  1  2 a 1 a 2  1 2  a 2  2   1 I
2
2
2
2
すべて株2に投資したとき a1  0, a 2  1
平均 M 2  Y  I  2
標準偏差
S2   2 I
2
2
2
全資産を株1にα株2に1－αの割合で投資したとき
a1   I , a 2   1    I
平均
M  Y  a1 E  Z 1   a 2 E  Z 2 
    Y  I  1    1     Y  I  2     M 1   1    M 2
分散
S    S 1  1    S 2 
2

2
   1  2   1     1 2   1     2
2
2
  2   1     1     1 2  0
2
2

I    1   1     2  I
2
2
2
M ,S
平均
 M 1 , S1 
 M ,  S 
 M
1
 1    M 1 ,  S 1  1    S 2 
 M 2, S2 
標準偏差
安全資産