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概要（6/5~19）
• 重積分（２重積分） 第６章（§５は除く）
– 重積分の定義
• 積分領域が長方形の場合（§１）
• 一般の積分領域の場合（§２）
– 「連続関数は積分可能」
– 累次積分（重積分の具体的な計算方法）
– 積分の変数変換（§４）
1
重積分（導入：１変数関数の積分）
• １変数の場合：定積分＝面積
b
S   f ( x)dx
a
a
b
b
• 体積の計算（高校数学） V  a S ( x)dx
– x 方向に垂直な断面の断面積 S(x) の積分
– 特に：回転体の体積：
半径が f (x) の円を断面とする立体：
b
V    { f ( x)}2 dx
a
a
b
2
重積分（導入）： リーマン積分
• １変数の場合、x 方向を分割し、各小区間
では面積を長方形近似してその極限を考
えた。（長方形の面積＝縦×横は所与）
• ２変数（重積分）の場合、直方体で体積を
近似してその極限を考える。
• 何が難しいか
– 底面（＝領域 A）の形がすでに多様。（§２）
– 極限の取り方の自由度が大きい。
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話の道筋 （§１、２）
• 重積分： 積分領域が長方形の場合
–
–
–
–
定義： (6.1.3), (6.1.4) ... ダルブー和による定義
「連続関数は重積分可能」（定理 6.1.5）
リーマン和への一般化 (6.1.6), (6.1.7)
累次積分 (6.1.8)
• 重積分： 積分領域が一般の場合
–
–
–
–
–
準備： (6.2.1)～(6.2.4)
定義： (6.2.5)
「連続関数は重積分可能」（定理 6.2.6）
累次積分 (6.2.7)
重積分の性質 (6.2.8)
4
重積分の定義 (6.1.4)
• 長方形領域
E  [a, b]  [c, d ]
 a  x0 , x1 , x2 ,....,xm  b
P: 
c  y0 , y1 , y2 ,....,yn  d
– （下ダルブー和）
s( f ; P)  mij wij  mij xi y j
– 分割：
– （上ダルブー和）
S ( f ; P)   Mij wij   Mij xi y j
– 「積分可能」
分割 P を細かくしたとき S ( f ; P)  s( f ; P)  0
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重積分の定義 (6.1.7)
• リーマン和：
R( f ; P, X )   f (i , j )wij   f (i , j )xi y j
• 一般に次の関係が成り立つ
s( f ; P)  R( f ; P, X )  S ( f ; P)
• したがってリーマン和が定数に収束するな
ら積分可能 （命題 6.1.7）
（このほうが普通の積分の定義）
6
長方形領域での重積分
• 例として、f (x,y) = xy の領域 [0,1]×[0,1]
での積分を考える。（板書）
• これが累次積分：

D
1
f ( x, y )dxdy   xydxdy  
D
0
 1 xydy  dx
 0

によって計算できることは先週見た。
7
重積分の記法
• 重積分

A
f ( x, y )dw

A
f ( x, y )dxdy

A
f ( x, y )dxdy
ただし dw  dxdy（面積素片）
• 累次積分
b
d ( x)
a
c( x)
 dx
b d ( x)

a c( x)
f ( x, y )dy
f ( x, y )dydx
曖昧さを避けるなら：
 d ( x ) f ( x, y )dydx
a c ( x )

b
b d ( x)

a c( x)
f ( x, y )dxdy
y d ( x)

dx
f
(
x
,
y
)
dy
x  a y c ( x )

x b
8
定理 (6.1.5), (6.2.6)
• 定理： 「連続関数は積分可能」
• 連続関数に関する次の２つの定理が基礎
– 定理 (5.7.9) （最大最小定理）
連続関数は有界閉集合上で最大値・最小値をと
る。
– 定理 (6.1.2) （一様連続定理）
連続関数は有界閉集合上で一様連続である。
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一般の積分領域（概要）
• 上下が連続関数で区切られたものを考える。
A  {( x, y) | a  x  b, c( x)  y  d ( x)}
• A を覆う長方形を考え、その中で
 f ( x, y) ((x, y)  A)
f ( x, y)  
((x, y)  A)
0
*
とする。f* は境界上では不連続だが、極限で
はその影響は 0 に収束する。
10
面積
(6.2.1)
1

• 点集合 A に対し、 DA ( x, y)  
0
右の D をその
A
((x, y)  A)
((x, y)  A)
定義関数（ないし特性関数）という
• DAが積分可能なとき A は「面積を持つ
（面積確定）」という
– 要するに、高さ１の立体により面積を定義した
ことにあたる。
– DAは連続関数ではないから、積分可能とは限
らない。積分不能なら面積が存在しない。
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面積 ⇒ 積分
• 領域： A  {( x, y) | a  x  b, c( x)  y  d ( x)}
は面積確定 (6.2.3)
• A での積分は：
 f ( x, y) ((x, y)  A)
f ( x, y)  f ( x, y) DA ( x, y)  
((x, y)  A)
0
*
を長方形領域で積分したものとして考える
• f *(x,y) は A の境界上では不連続：極限を
とればその影響は無視できる。(6.2.6)
• 累次積分による計算 (6.2.7)
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積分問題の解法
• 積分領域 A, 被積分関数 f (x,y) を決める
– 応用問題ではここが一番重要、かつ中心的
• Aを
A  {( x, y) | a  x  b, c( x)  y  d ( x)}
ないし
{( x, y) | c  y  d , a( y)  x  b( y)}
の形で表す。
–
–
–
–
ここも実際には結構問題
x, y のどちらを主変数にとるかを考える
１つの領域で表せない場合は適宜分割する
対称性なども考慮して計算を簡単にする
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積分領域の表し方
• 実際には与えられた積分領域 A を、累次
積分できる形にどう表すかは問題
– 例： A  {( x, y) | 0  x  y  1}
A  {( x, y) | x 2  y 2  1}
A  {( x, y) | f ( x, y)  0}
等々
• 最後の場合、 f ( x, y)  0 の等高線を求める
必要がある。
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累次積分の計算
b
d ( x)
a
c( x)
 dx 
d ( x)

f ( x, y )dy   
f ( x, y )dy dx

a
 c( x)
b
• 内側の積分は、x を定数として y による積
分を行う。一般には上下端にも x が出てく
ることに注意。
• その結果は x の関数 S(x) なので、それを
x について積分する。
• S(x) は「断面積関数」にあたる。
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累次積分の計算（２）
• 計算の場でも、対称性などをうまく利用する、
領域を分割するなどで計算が楽になる。
• x→y の順で積分するか、 y→x の順で積分
するかにより、計算量がかなり違う場合があ
る。
• それどころか、順序を変えると（初等関数の
範囲で）計算できない場合もある。
（教科書 p.224 の例 4) 参照）
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Matlab による積分の計算
• 定積分・重積分（累次積分）
>> syms x y;
>> f = x*y;
% 被積分関数
>> int(f, x)
% 不定積分
>> int(f, y, 0,1) % 定積分
>> int(ans, x,0,1); % 重積分
>> int(int(f,y,0,1),x,0,1);
% 一度にやる場合
• ただし、関数によっては必ずしも計算できる
とは限らない。
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積分の変数変換 (6.4.1), (6.4.2)
• 一般には、x=x(u,v), y=y(u,v) で変換の
ヤコビアン（ヤコビ行列式）を
 xu
( x, y)
J
 det
(u, v)
 xv
とすると、

D
yu 
  xu yv  xv yu
yv 
f ( x, y )dxdy   * f * (u, v) | J | dudv
D
• (6.4.3) は極座標の場合：

D
f ( x, y )dxdy  
D*
f * (r , )rdrd 
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積分の変数変換（２）
• 「面積要素」：
dxdy | J (u, v) | dudv
– xy 座標系で縦横 dx, dy の長方形の面積
⇒ uv 座標系では（１次近似で）平行四辺形
その面積比が |J(u,v)|
• なぜ絶対値がつくか？
– 「面積」だから（非負値をとる）...... なんだけど...
– J の符号は座標系の「向き (orientation)」に対応
⇒ 鏡像かそうでないか
（行列式 det の符号は、変換の向きを表す）
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積分の変数変換（３）
• なぜ絶対値がつくか？（続き）
– 向きを考えれば、 dxdy  dydx とすべき
– ただしこれは普通の積ではなく、
「外積」と して扱う必要がある
b
a
– １変数の積分の a f ( x)dx  b f ( x)dx も、
x  x という座標系の反転として考えること
ができる
20
変数変換を行う場合
• 積分領域 D が簡単な形になる。
• 被積分関数 f (x, y) が簡単な形になる。
• その両方。
• 具体例は以下に記すほか、板書で示す。
また補足資料も参照。
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変数変換の例（１）： 線形変換
• 例えば積分領域 A が |x|+|y|≦1 の場合
– 領域の境界は x  y  1, x  y  1 の４直線
– したがって u  x  y, v  x  y といった変換
が有効
uv
vu
1
x
, y
, J (u, v)  だから
2
2
2
2
2
1  1 u v
1  
2
2
A ( x  y )dxdy  1 1 2  2 dvdu  
2

3
22
変数変換の例（２）： 極座標
• 底面の半径が a、高さが b の直円錐の体
積を求める（回転体の体積でもできるが）
r z
b
  1, つまり z  a  r 
a b
a
– 側面は
心に回転したもの
を z 軸を中
2
a

b a  2
2

b

a
b
2


V     (a  r )rd dr 
ar  r dr 


a 0 0
a 0
3 



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広義積分
• 積分領域が無限に広がる (6.3.1)
• 被積分関数 f (x,y) が∞に発散する (6.3.3)
• いずれの場合も、有限の範囲での積分の
極限が収束すれば広義積分が存在
• 重積分・広義積分の有効な例 (6.4.4)



e
x2
dx  
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