Transcript 重積分
2006. 12. 19
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
重積分(2)
重積分
本日は「重積分」について二つの例
題を出します。
重積分の具体的計算法(2)
•Case 2 縦線集合
D ( x, y) | a x b, 1 ( x) y 2 ( x)
y
D
y 2 ( x)
y 1 ( x)
0
a
b
x
y
Case 2 (縦線領域)
y 2 ( x)
D
y 1 ( x)
この場合、
0
a
b
まず f ( x, y )を y のみの関数と見て1 ( x) から
まで積分し、その積分の結果を今度は
に
2 ( x)
x
ついて区間[a,b]上で積分する。
つまり、
D
f ( x, y )dxdy
b
a
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy dx
x
Case 2 (縦線領域)
b
2 ( x )
a
1 ( x)
b
2 ( x )
a
1 ( x )
f ( x, y )dy dx dx
f ( x, y )dy
これは、 dx を
b
a
「 x について a から b まで積分せよ」
という命令記号(作用素)
重積分のイメージ
z
y
D
x
断面積を積分していく
例7.2 (p.164)
xy-平面上 y 0,
とするとき、
D
y x, x 1 で囲まれた閉領域を
重積分
2
y
D
( x y )dxdy の値を求めよ。
yx
D
0
1
x
例7.2 (p.164)
Dは縦線集合として表すことができ、
D ( x, y) | 0 x 1, 0 y x
( x y
D
2
)dxdy dx ( x y )dy
1
x
0
0
2
yx
1 3
dx xy y
0
3 y 0
1
2 x3
dx x
0
3
1
4 1
5
x x
3 12 0 12
3
重積分の具体的計算法(3)
•Case 3 横線集合
D ( x, y) | 1 ( y) x 2 ( x), c y d
y y ( x)
y 2 ( x)
1
d
D
c
0
x
Case 3 (横線領域)
y
d
y 1 ( x)
y 2 ( x)
D
c
x
0
D
d
2 ( y)
c
1 ( y )
f ( x, y )dxdy dy
f ( x, y )dx
重積分のイメージ
z
y
D
x
断面積を積分していく
例7.3 (p.166)
1
0
dx e dy の値を求めよ。
1 y2
x
y
1
yx
D
0
x
例7.3 (p.166)
Dは横線集合として表すことができ、
D ( x, y) | 0 y 1, 0 x y
dx e
1
1
0
x
y2
dy dy e dx
1
y
0
0
y2
dy xe
1
0
y2
ye dy
1
y2
0
x y
x 0
y2
y2
e
2
y
e
なので
1 y2 e 1
e
2 0
2
1
本日の課題
1) 閉領域D ( x, y) | 0 x 1, 0 y 2 xにおける、
重積分
( x y)dxdy を求めよ。
D
2) 閉領域 D ( x, y) | x 0, y 0, x y 1 における、
重積分 ( x 2 y 2 )dxdyを求めよ。
D