Transcript 重積分

2006. 12. 12
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
重積分
重積分
「重積分」という言い方が難しけれ
ば・・・
平面上の積分
という言い変えても良い。
ところで・・・
直線上の積分
f (x)

b
から話を始めよう。
f ( x)dx は
a
a
x
b
x
直線上の積分

f (x)
b
から話を始めよう。
f ( x)dx は
a
a

b
a
x
f ( x)dx は面積を表した。
b
x
平面上の積分
同様に平面上の積分を考える
と・・・
z
y
D
x
網目に区切って・・・
平面上の積分
z
直方体を並べていくと・・・
立体の体積になっている
y
D
x
これを式に直していく
平面上の積分
先ほどの直方体１個の体積は
f ( pij , qij )
とすると
y j  y j 1
xi  xi 1
体積  f ( pij , qij )  ( xi  xi 1 )  ( y j  y j 1 )
高さ ×
底面積
平面上の積分
体積  f ( pij , qij )  ( xi  xi 1 )  ( y j  y j 1 )
この直方体の体積を全て足せば
S   f ( pij , qij )  ( xi  xi 1 )  ( y j  y j 1 )
i, j
この S をRiemann和という
平面上の積分
先ほどの網目の幅を限りなく０に近づけていけるとす
ると・・・
（Riemann）積分可能といい
その極限を f ( x, y ) の D 上の積分（あるいは重積分）
とよび

D
f ( x, y )dxdy
と書く。
重積分の基本的性質
重積分は１変数関数の自然な拡張として
定義した。
定理7.2は１変数関数の場合と同様
（よって省略）
重積分の具体的計算法
では具体的にどのように計算するか？
•Case 1 長方形領域
D  ( x, y) | a  x  b,
y
c  y  d
d
D
c
a
b
x
Case 1 （長方形領域）
y
d
D
c
この場合、
a
b
まず f ( x, y )を y のみの関数と見て区間[c,d]
上で積分し、その積分の結果を今度は x に
ついて区間[a,b]上で積分する。
つまり、

D
f ( x, y)dxdy  
b
a

d
c

f ( x, y)dy dx
x
Case 1 （長方形領域）
 
b
a
d
c

b
d
f ( x, y)dy dx   dx  f ( x, y )dy
a
c
b
これは、  dx を
a
「 x について a から b まで積分せよ」
という命令記号（作用素）
重積分のイメージ
z
y
D
x
断面積を積分していく
例7.1 （p.162）
D  ( x, y) | 0  x  1,
積分

D
0  y  2 として、
( x  3xy)dxdy を計算せよ。
2
例7.1 （p.162）

D
1
2
( x  3 xy) dxdy   dx  ( x  3 xy) dy
2
0
2
0
y 2
3 2
 2
  dx  x y  xy 
0
2

 y 0
1
 2 3

  dx 2 x   4 x 
0
2


1
1
11
2 3
2
  x  3x  
3
3
0
本日の課題
閉領域 D  ( x, y) | 1  x  2,
0  y  1
重積分  ( x  y)dxdy を求めよ。
D
における、