Transcript 11確率モデル
11.確率モデル
• 確率・・・不確実性の経済学や金融やファイナ
ンス で重要
• 密度関数がある場合に期待値を取る計算を
中心に、紹介
確率と確率変数
• 数学的な確率
– どれがおこるかわからないが、少なくとも起こりえ
ることはわかっていて、しかも、どれが、起こるか
わからないという、わからなさについて、完全によ
くわかっている
• 本当に何が起こるかわからないとき確率モデ
ルは適用可能か・・・・・・・???
• ここでは、とにかく確率の計算に慣れる
確率の公理
起こりえること全体の集合
A
P A
部分集合
確率・・部分集合から実数への関数
P 1
何かは必ず起こる
0 P A 1
確率は0と1の間
確率の公理(続き)
A B P A B P A P B
AとBが同時に起きないならば、AかBが起こる確
率は、Aが起こる確率とBの起こる確率
j j , Ai Aj P
i 1
Ai i 1 P Ai
加算加法的に拡張した形で定義
定義域も困らないように定義(σフィールド )
全体が1になるように正規化していないものも含め測度(measure)
典型的な測度は長さ(ルベーグ測度)
ある公理を過程すると長さの定義できない集合がある。
確率変数
から実数への関数
X ,
実数の行儀のいい集合Bの値を取る確率
P : X B
定義できる集合が可測(measurable)
当面は、元の確率空間や確率変数を無視して、
次の分布関数から初めても問題が無い
確率変数の表記
X,x
など文脈による
(累積)分布関数と
P : X x F x
確率変数Xがx以下を取る確率
非減少関数
A B P A P B
x y F x P X 1 x P X 1 y F y
limx F x 1
limx F x 0
0から1に増加していく
なんらかの数は、実現する
どの数も実現しないことはない
例 歪んでいないサイコロの目の分布関数
x 1
0
1
1 x 2
6
2
2 x3
6
3
F x
3 x 4
6
4
6 4 x 5
5 5 x 6
6
6 x
1
離散確率変数
pi 0
i 1
pi 1
確率
p1 , p2 ,....
実数
x1 , x2 ,....
で
が起きる
分布関数は
F x x x pi
i
絶対連続確率変数
確率変数Xが実数全体を取る
特定の実数aは取りそうもない
P X a 0 がもっともそう
しかし
P X a, b P X , b P X , a
P X b P X a F b F a 0
となりそう
F x が連続微分可能
微分積分学の基本定理
f x F ' x
F b F a f x dx
b
a
f x が連続でない場合も含め
b a F b F a f x dx
b
a
が成立するとき、分布は、絶対連続で、
f x
は 確率密度関数
確率密度関数
f x
xが起こる確率ではない。
f x dx aとbの間の値になる確率
b
a
f x
自体は1を超えることもある
F x f t dt
x
f x dx 1
分布関数の分解
F x Fd x Fac x Fsc x
1
0, 0, 0
Fd x 離散分布関数
Fac x 絶対連続分布関数
Fsc x 特異連続分布関数
特異連続分布関数は、一次元の応用では、まず出ない
二次元の応用では、それほど特異に見えない例がある
密度関数の例
一様分布
ab
1
f x b a
0
x a, b
x a, b
aとbの間では、同じように起こりやすい
それ以外は起こらない
正規分布
2
x
1
f x
exp
2
2
2
中心極限定理により、独立のノイズの和は、正規分布に収束
自然界に多く存在
いろいろ いい性質を持つ
μ:期待値:σ2:分散
標準正規分布μ=0,σ2=1
x2
1
f x
exp
2
2
一般の密度関数の構成
f x 0
f x dx 1
fは密度関数
g x
g x 0, 0 g x dx
g t dt
は密度関数
例
1 x
1
q 1
p 1
0 t 1 t dt
x
p 1
q 1
は[0,1]の密度関数(ベータ分布)
期待値
サイコロの目の平均
1
1
1
1 2 ... 6 3.5
6
6
6
離散確率分布
確率変数 X
px
i 1 i i
p1 , p2 ,.... で x1 , x2 ,.... を取る
Xの期待値
絶対連続確率分布
f x
確率変数 X
密度関数
E X xf x dx
Xの期待値
xとf(x)を掛け合わせて足す
f(x)はxを取る確率ではないので、正確ではない
積分を定義して、説明
期待値の直感的理解
a x0 x1 ... xn b xi x xi 1
x0 f x dx x1 f x dx ... xn 1
x1
x2
xn
x0
x1
xn1
xf x dx xf x dx ...
x1
x2
xn
x0
x1
xn1
xf x dx
x1 f x dx x2 f x dx ... xn
xi 1
xi
f x dx
x1
x2
xn
x0
x1
xn1
f x dx
f x dx P X xi , xi 1
なので刻みが細かければ、一番上も一番下も平均のいい近似
真ん中は
b
a
xf x dx
期待値の存在しない例
ルベーグ積分は、正の関数について定義され、符
号の変わる関数については、正の部分の積分か
ら、負の部分の絶対値の積分を引く
xf x dx lima xf x dx limb xf x dx
a
b
0
0
両方が有限のとき期待値が存在
f x
1
x
1
1
1 x2
積分すると1(コーシー分布の密度関数)
1
11
2
dx
ln
1
x
2
1 x
2
lima xf x dx limb xf x dx
a
b
0
0
関数の期待値
E u X
離散分布
u(X)の期待値
E u X i 1 piu xi
絶対連続分布
E u X u x f x dx
例 期待効用
1
1
1
で2, で4,......, n , . . . で2nをとる確率変数
2
4
2
1 n
E X i 1 n 2 1 1 ...
2
コインをn回降って初めて表が出ると2n円もらえる賭けの
期待値が無限大・・セント・ペテルスブルグのパラドックス
X
ある種の合理性を持つ人の確率変数に対する選好は、
ある効用関数の期待値(期待効用)の大小と同じ(フォン・
ノイマン=モルゲンシュテルン効用関数)
E u X i 1 u n 2n u a
この人は、確実にa円もらえるのと、セント・ペテルスブル
グのかけをするのが同等・・・確実性等価額
Jensenの不等式
u(x)が凹(凸)
0,1 f x 1 y f x 1 f y
u " x 0
E u X u E X
効用関数が凹なら賭け
より、確実に期待値がも
らえたほうがいい
危険回避的
期待値の線形性
f x
密度関数
E u X v X u x v x f x dx
u x f x dx v x f x dx
帰納法により
E u X E v X
n
n
E i 1iui X i 1i E ui X
分散
E X
期待値(平均値)
X が小さい(大きい)値を取る確率が高い
2
分布がばらついている
E X x f x dx
2
2
分散
2
E X
が大きいとき分布がばらついている
実際のデータから計算する記述統計的の
分散や、推測統計学での分散の推定値と
混乱しないこと
標準偏差
分散(つづき)
2
E X E X 2 2 X 2
E X 2 2 E X 2
E X 2 2 2 2
同様に
E X 2 2
2
2
2
E u X E u X E u X E u X
二次元と多次元の確率変数
• ファイナンスのポートフォリオ問題で各株の価
格や収益を確率変数とすると、いくつかの確
率変数を同時に扱う問題が出てくる
• びっくりしないように、絶対連続な場合につい
て、最小の議論をする。
同時密度関数
X ,Y
確率変数のペア
F x, y Pr X x, Y x 同時分布関数
F x, y
f x, y
xy
2
同時密度関数
二次元の領域Bに対して
P X B
x , y B
f x, y dxdy この場合が絶対連続
密度関数の3次元グラフの領域の下の面積が確率
期待値
u X , Y の期待値(関数u(x,y)に確率変数を入れる)
E u X , Y
b
b'
a
a'
u x, y f x, y dxdy
u x, y f x, y dx dy
の表記でどちらの積分が先かは
文脈による
u x, y f x, y dx dy u x, y dy f x, y dx
b
b'
b'
b
a
a'
a'
a
は、非常に一般的な条件で成り立つ
X の期待値
E u X , Y
EX
u x, y x
x
u x, y f x, y dx dy
xf x, y dxdy
f x, y dy dx
xf x x dx
f x x f x, y dy Xの周辺密度関数
(Xだけ考えたときの密度関数)
同様に
E Y yf y y dy
f y y f x, y dx Yの周辺密度関数
独立と条件付確率
XとYが独立
f y y f x x f x, y
f x, y Xが与えられたときのYの条件付密度関数
f y x
fx x
Xが特定の値をとったとき、 Yがどんなふ
うにばらついているかを示す
yについて積分
f y x dy
f x, y dy
fx x
fx x
fx x
1
f y x
f x, y
fx x
XとYが独立
f y y f x x f x, y
f x, y f y y f x x
f y x
fy y
fx x
fx x
条件付密度と周辺密度が同じ
Xのとる値がYのばらつきぐあいに影響
を与えない
Xのとる値がYの情報を持たない
条件付期待値
u X , Y のXの値が与えられたときの条件付期待値
E u X , Y X x u x, y f y x dy
u x, y f x, y dy
fx x
yは消えてxの関数になる。
Xについて期待値を取る。
EX
u x, y f x, y dy
E u X , Y X
f x dx
f x
u x, y f x, y dydx E u X , Y
x
x
もとの期待値になる(繰り返し期待値の法則)
共分散と相関係数
X E X Y E Y
XとYがともに平均より大きいか小さいときに正
片方平均より大きく他方が平均より小さいとき負
共分散
Cov X , Y E X E X Y E Y
XとYが同じように動きやすいとき正、逆に動きや
すいとき負
Cov X , Y E X E X Y E Y
共分散が正の密度
関数のレベル曲線の
例
共分散
共分散が負の密度
関数のレベル曲線の
例
Cov X , Y E X E X Y E Y
共分散
二変数の期待値についての線形性
期待値は、確率変数でなく定数であることに注意
E XY XE Y E X Y E Y E X
E XY E X E Y E X E Y E Y E X
E XY E X E Y
E[X], E[Y]のどちらが0ならCov (X, Y)= E[XY]
相関係数
コーシー・シュワルツの不等式
E XY E X 2 E Y 2
2
E u X v Y E u X E v Y
2
2
2
2
2
E X E X Y E Y E X E X E Y E Y
2
1
E X E X Y E Y
E X E X E Y E Y
2
2
1
相関係数
1
E X E X Y E Y
相関係数
1
2
2
E X E X E Y E Y
1と-1の間
相関係数が1⇔必ず正の傾きの直線にのる
相関係数が-1⇔必ず負の傾きの直線にのる
XとYが独立⇒ u(X)とv(Y)の相関係数は0
E u X v Y
u x v y f x, y dxdy
u x v y f x f y dxdy
x
u x f x x dx
y
v y f y y dy
XとYの相関係数は0でも独立とは限らない
相関係数は0だが独立でない分布の密度関数の
レベル曲線の例
多変数の密度関数
X 1 ,..., X n
n次元の確率変数
絶対連続のときは、同時密度関数
f x1 ,..., xn
1
2
n
2
を使って期待値、分散、条件付
期待値などを計算できる。
x μ T 1 x μ
exp
2
n次元正規分布(多変量正規分布)の密度関数
μ
平均ベクトル
分散共分散行列(非負定符号)
例 ポートフォリオ選択
I
持っているお金・・二つの株に投資するか預金する
1円の1年後の金額 投資額
Ia1 a2
預金 1+r 確実な額
a1
株1 X1 確率変数
a2
株2 X2 確率変数
このときの1年後の価値
a1 X 1 a2 X 2 I a1 a2 1 r
1 r I a1 X 1 1 r a2 X 2 1 r
Y
a1Z1
a2 Z 2
Y a1Z1 a2 Z 2
期待値
分散
M Y a1E Z1 a2 E Z2
2
S E Y a1Z1 a2 Z 2 Y a1E Z1 a2 E Z 2
2
2
E a1 Z1 E Z1 a2 X 2 E Z 2
2
2
E a12 Z1 E Z1 2a1a2 Z1 E Z1 Z 2 E Z 2 a2 2 Z 2 E Z 2
2
a E Z1 E Z1 2a1a2 E Z1 E Z1 Z 2 E Z 2
2
1
2
a2 E Z 2 E Z 2
a12Var Z1 2a1a2Cov Z1 , Z t a2 2Var Z 2
2
投資家の効用
1
2
u M , S M S
2
期待値は大きいほうがいいが、分散は
小さいほうがいい
0
大きいほどリスクが嫌い
投資家の行動
1
2
max a1 ,a2 u M , S M S
2
M Y a1E Z1 a2 E Z 2 Y a11 a2 2
2
S 2 E Y a1Z1 a2 Z 2 Y a11 a2 2
2
E a1 Z1 1 a2 Z 2 2
2
2
2
2
E a1 Z1 1 2a1a2 Z1 1 Z 2 2 a2 Z 2 2
2
2
a12 E Z1 1 2a1a2 E Z1 1 Z 2 2 a2 2 E Z 2 2
a12Var Z1 2a1a2Cov Z1 , Z 2 a2 2Var Z 2
a12 12 2a1a2 1 2 a2 2 2 2
Y a11 a2 2
1
2
2
2
2
a1 1 2a1a2 1 2 a2 2
2
a1とa2 で微分して0と置く
1 a1 12 a2 1 2 0
2 a2 2 2 a1 1 2 0
1 a1 1 a2 1 2 0
2
2 a2 2 a1 1 2 0
2
a1とa2 について解く
1 1 2 2 2 1 2
a1
12 2 2 1 2
1 2 12 1 1 2
a2 a1
12 2 2 1 2
1
分母は正(相関係数の絶対値は1以下)
1 1 2 2 1 2
a1
12 2 2 1 2
2
1 2 1 1 2
a2 a1
12 2 2 1 2
1
2
1
a1 1 2 2 1 2
2
a2 2 1 1 1 2
2
二つの株の相対比率は、βに依存しない
株の混ぜ合わせ方は同じで、 βの大きい
人は預金を小さい人は株を持つ
すべて株1に投資したとき a1 I , a2 0
平均
M1 Y a11 a2 2 Y I 1
分散
S12 a12 12 2a1a2 1 2 a2 2 2 2 12 I 2
すべて株2に投資したとき a1 0, a2 1
平均 M 2 Y I 2
標準偏差
S2 2 I
全資産を株1にα株2に1-αの割合で投資したとき
a1 I , a2 1 I
平均
M Y a1E Z1 a2 E Z 2
Y I 1 1 Y I 2 M 1 1 M 2
分散
S S1 1 S2
2
2
2 1 1 2 1 2 I 1 1 2 I 2
2
2
1
2 1 1 1 2 0
2
2
2
2
M, S
平均
M1, S1
M , S
M 1 M , S 1 S
1
1
M 2 , S2
標準偏差
安全資産
1
2