Transcript ～ポストの最適配置～ 平均距離を最小にする施設配置問題

～ポストの最適配置～
平均距離を最小にする施設配置問題
０２３１２４
柘植麻也子
1
郵便局区内の利用者全体にとって
最も便利なポストの配置とは？
利用者の利便度

ポストは近ければ近いほど便利

直線距離で最も近いポストを利用する
利用者の利便度＝最も近いポストまでの直線距離
利用者全体の利便度
＝最も近いポストへの平均距離
2
平均距離を最小にするポスト配置とは？


ｎ個のポストが地点Ｐ１・・・Ｐｎにある
それぞれｘ-ｙ平面上の（ｘ１,ｙ１）・・・（ｘｎ,ｙｎ）で表す
地域Ｓを辺長が⊿ｘと⊿ｙの微小地区Ｓｊに分割
（ｊ＝１，２、・・・、ｍ）
中心点

ｑｊ
その座標 （ｕｊ、ｖｊ）
最も近いポストＰｉまでの直線距離
d q j , pi  
x
i
 u j 2  yi  v j 2
3

微小地区Ｓｊの利用者
底面の辺の長さ ⊿ｘ、⊿ｙ
高さ ｆ（ｕｊ、ｖｊ） の直方体の体積で近似

Ｓｊにいる利用者の最近隣ポストまでの延べの距離
tij 

x  u   y  v  f u , v xy
2
i
2
j
i
j
i
j
全利用者の最近隣ポストまでの総距離
n
n
T  Ti  
i 1
 g x, y  

 g u
i 1 jM i
j
, v j xy
xi  x2   yi  y2 f x, y
4
利用者が均一にいる線的地域に
２個の施設がある場合


ポストＰ１、Ｐ２の座標値はｘ１、ｘ２
ポストの利用圏 （ｘ１+ｘ２）／２で二分
総距離Ｔ （ｘ２≧ｘ１）


x
x2  x1 
1  x2 
F x1 , x2  


2
4
2
2
1
2
2
5
平面地域にｎ個の施設がある場合


近似的な数値計算法

“代表”微小地区を選ぶ
正三角形の７つの点が基本

代表点の重みｗｋを決定
ポスト利用圏Ｖｉにいる利用者の総距離Ｔｉ
ni
7
Ti   wk
j 1 k 1
全利用者の総距離
u
2
2




x

v

y
f uijk , vijk 
ijk
i
ijk
i
n
T  T1  T2      Tn  Ti
i 1
6
２つのポストがある場合の
平均距離の最小化


x12
x2  x1 2
1  x2 2
T  F x1 , x2  


2
4
2

Ｔの最小値 → 窪地の底点 ＝ ごく周辺ではほぼ平ら
Ｔをｘ１、ｘ２で偏微分
T
0
x1

T
0
x2
代入→結果
ごく周辺ではほぼ平ら ＝ 窪地の底点？
 2T
0
2
x1
 2T  2T
 2T
 2T
H

0
2
2
x1x2 x2x1
x1 x2
成立→最小値
7
画的地域にｎ個の施設がある場合
Ti  Ti
T


   vi
xi
xi
xi
T
   vi
yi
xi  x f x, y
xi  x2   yi  y2
 yi  y  f x, y 
xi  x2   yi  y 2
dxdy
dxdy
(i  1,  , n)
求めるのは困難 → 近似値を求める
ni
n
7
T
  wk
xi
i 1 j 1 k 1
x  x  f x
x  x   y
, yijk 
T

yi
y  y  f x
x  x   y
, yijk 
n
ni
7
 wk
i 1
j 1 k 1
i
ijk
ijk
2
i
ijk
i
i
ijk
ijk
2
i
ijk
i
 yijk 2
 yijk 2
8
最急降下法

最急降下方向
傾き ｘｉ軸 →
始点から

T
xi
 0 
T
T
T
0 
0 

x

,
x

,



,
x

1
2
2
n

x1
x2
x2 n





方向へ
Ｔの値の変化
xi t   
T
t  xi 0 
xi
(i  1,2,  ,2n)
始点から距離ｔ進んだ所のＴの値
T t   F x1 t , x2 t ,  , x2n t 
*
（変数がｔだけの関数）
9

カリーの規則
T * t  の最小値 →
dT *
0
dt
窪地１つ？ 最高点かも？
→ 始点から一番近い点が終点

ゴールドシュタインの規則
dT * 0
L1 t   a1
t  T * 0
dt
L2 t   a2
dT 0
t  T * 0
dt
（ａ１、ａ２は通常0.4、0.6）
*
適当な歩幅で最急降下方向に歩く
→ 範囲内で停止
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停止規則
始点
終点
x
i 
1
x , x 
x  , x    → 始点として歩行行動を繰り返す
, x2
0
1
0
2
1
1
i 
1
2
 x
i1
1
, x2
i 1
 の距離がε以下
→ 探索行動終了

以上で求めた点が最低点？
複数の窪地の存在 ・ 一番低い窪地？
窪地の底点 ＝ 局所的最小点
最も小さい点 ＝ 大域的最小点 ← 求めるのは困難
局所的最小点で満足せざるを得ない
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