第5回輪講資料 「ラグランジュ緩和による鉄鋼製造スケジューリング その2」
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Transcript 第5回輪講資料 「ラグランジュ緩和による鉄鋼製造スケジューリング その2」
慶應義塾大学 理工学部
管理工学科4年 曹研究室
60803571
遠藤 健司
「Steel-making
process scheduling
using Lagrangian relaxation」
Lixin Tang; Peter B; Jiyin Liu; Lei
Fang
Internatioal Journal of Production
Research
2002, Vol40, No.1, 55-70
の続きを読む
・ i( ) :
チャージ
・ j ({1(銑鉄),(製鋼)
2
,(鋳造)
3
}) : ステージ
・ k ({1,2,.., K }) : 単位時間
・ ( {1,2,..., N }) : 全てのチャージセット(Nは製造チャージの総数)
・ g ( g , h {1,2,...,M }, h g 0, h g , 1 2 ... M )
: 鋳造機gにおける全てのチャージセット(Mは鋳造の総数)
・ S g , p ( p 1,2,..,| g |) : 鋳造gにおけるチャージp(チャージの順序はロット計
・ di :
画によって定義される。)
チャージiの期日(単位時間の終了地点)
・ C1g : 鋳造gの鋳造中断による損失コスト率
・ C 2ij : ステージjの終了後、チャージiの待ち時間による損失コスト率
・ C 3i : 期日前の完了によって生じた製造チャージiに対する損失コスト率
・ C 4i : 期日遅延よって生じた製造チャージiに対する損失コスト率
鋳造機1
鋳造機2
1
2
・・・
鋳造機g
・・・
g
鋳造機M
M
M個の鋳造機
S g ,1
S g ,2
・・・
Sg , p
鋳造gには|Ωg|個のチャージがある
・・・
S g ,|g |
1 2 ・・・ i ・・・ N
・ Ti , j :
ステージjにおけるチャージiの処理時間
・ t j , j 1 :
・ Sij :
ステージjからステージj+1に移るまでの輸送時間
ステージjの機械でチャージiをするためのセットアップ時間
(iが最初のチャージで鋳造時のみセットアップタイムを有する。)
・ Rij : ステージjの機械でチャージi処理後のリムーバル時間
(iが最初のチャージで鋳造時のみセットアップタイムを有する。)
・ M jk :
・ K:
単位時間kにステージjで利用できる機械の数
計画期間における単位時間の総数
決定変数
1 : チャージiが単位時間kにステージjで処理されている場合
・ ijk
0 : その他
・ Ci , j ( {1,2,...,K }) :
ステージjでチャージiが完了する時間
( Cij k : 処理がちょうど単位時間kで完了した
)
M | g |1
Minim ize Z
C1 (C
g 1 p 1
N
g
S g , p 1 , 3
TS g , p1 ,3 CS g , p ,3 )
2
C 2ij (Ci , j 1 Ti , j 1 Ci , j t j , j 1 )
i 1 j 1
N
N
i 1
i 1
C 3i max(0, d i Ci 3 ) C 4i max(0, Ci 3 d i )
s.t. Ci , j t j , j 1 Ci , j 1 Ti , j 1 , i ; j {1,2}
t j , j 1 Ti , j 1 Ci , j 1 Ci , j ①
ステージjからス
テージj+1までの
輸送時間
ステージjにおける
チャージiが完了した
時間
ステージjにおける
チャージiが完了した
時間
ステージj+1における
チャージiの処理時間
CS g , p 3 CS g , p1 3 TS g , p1 3 , p {1,2,...,| g | 1}; g {1,2,...,M }
TS g , p1 3 CS g , p1 3 CS g , p 3 ②
鋳造gにおけるp+1番目
のチャージの処理時間
鋳造gにおけるp番目の
チャージが完了した時間
鋳造gにおけるp+1番目の
チャージが完了した時間
K
ijk Tij Sij Rij , i ; j {1,2,3} ③
k 1
k ijk Cij Rij , i ; j {1,2,3}; k {1,2,...,K } ④
Cij Tij Sij 1 k K (1 ijk ), i ; j {1,2,3}; k {1,2,...,K }
Cij 1 k Tij Sij K (1 ijk ) ⑤
ステージjにお
けるチャージi
のためのセット
アップ時間
ステージjにお
けるチャージi
の処理時間
ステージjにお
けるチャージi
が完了した時間
ijk M jk , j {1,2,3}; k {1,...,K } ⑥
i
ijk {0,1}, i ; j {1,2,3}; k {1,...,K } ⑦
Cij {1,2,...,K }, i ; j {1,2,3}; ⑧
制約式②と⑥は異なるジョブ→結合制約(coupling constraints)
この2つの式をラグランジュ緩和させることで、いくつかの部分問題
に分解でき、一つのジョブとして扱える。
→”i”と”Sg,p”を”=”で結びつけることができる!チャージiのみを考え
るだけでよい!
この2つの緩和した制約式にラグランジュ乗数 {ui }, {v jk } をかけ、目
的関数に組み込むことで、単なる制約の除去よりもよい下界値が得ら
れる。→残りの制約によって整数解を簡単に得ることができる。
M | g |1
Minim ize Z LR
C1 (C
g
g 1 p 1
N
S g , p1 , 3
TS g , p1 ,3 CS g , p ,3 )
2
C 2ij (Ci , j ! Ti , j 1 Ci , j t j , j 1 )
i 1 j 1
N
N
i 1
i 1
C 3i max(0, d i Ci 3 ) C 4i max(0, Ci 3 d i )
M | g |1
u
g 1 p 1
K
(CS g , p1 ,3 TS g , p1 ,3 CS g , p ,3 )
3
v jk ( ijk M jk )
k 1 j 1
s.t ①
Sg ,p
i
, ③, ④, ⑤, ⑦, ⑧, and
u S g , p 0, p {1,2,...,| g | 1}; g {1,2,...,M }
v jk 0, j {1,2,3}; k {1,2,...,K }
2
Minim ize Z LR (i ) C 2ij (Ci , j 1 Ti , j 1 Ci , j t j , j 1 )
j 1
C 3i max(0, d i Ci 3 ) C 4i max(0, Ci 3 d i )
K
3
v jk ijk (i )
k 1 j 1
s.t ①
, ③, ④, ⑤, ⑦, ⑧, and
(i ) (u S
g ,p
C1g )CS g , p ,3 , for S g , p {i}, p {1}
(i ) (u S
g ,p
C1g )CS g , p ,3 (C1g u S g , p )(CS g , p ,3 TS g , p ,3 ),
※
for S g , p {i}, p {2,3,...,| g | 1} (i ) (C1g u S
g , p 1
)(C S g , p ,3 TS g , p ,3 ),
for S g , p {i}, p {| g |}
| g |1
| g |1
C1g (CS g , p1 ,3 TS g , p1 ,3 CS g , p ,3 )
uS g , p (CS g , p1 ,3 TS g , p1 ,3 CS g , p ,3 )
C1g (CS g , 2 ,3 TS g , 2 ,3 CS g ,1 ,3 )
uS g ,1 (CS g , 2 ,3 TS g , 2 ,3 CS g ,1 ,3 )
C1g (CS g , 3 ,3 TS g , 3 ,3 CS g , 2 ,3 )
uS g , 2 (CS g , 3 ,3 TS g , 3 ,3 CS g , 2 ,3 )
C1g (CS g ,| | ,3 TS g ,| | ,3 CS g ,| |1 ,3 )
uS g ,| |1 (CS g ,| | ,3 TS g ,| | ,3 CS g ,| |1 ,3 )
p 1
g
g
g
p 1
g
g
g
g
e.x.) 次のようにチャージを決定すると…
{1,2,...,10}
1 {2,3,7}
2 {1,4,5,10}
3 {6,8,9}
i S g , p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
g 2 1 1 2 2 3 1 3 3 2
p 1 1 2 2 3 1 3 2 3 4
e.x.) g 2, p 4
i Sg, p ?
C Sg , p ,3 Ci ,3 C?,3
鋳造機1
鋳造機2
1
2
・・・
鋳造機g
・・・
g
鋳造機M
M
M個の鋳造機
S g ,1
S g ,2
・・・
Sg , p
鋳造gには|Ωg|個のチャージがある
・・・
S g ,|g |
チャージiの部分問題を解くには、動的計画法(Dynamic
Programming,DP)を用いる。→最後のステージから最初のステージ
へと向かう、ボトムアップ的な手法
j=3(最後のステージ;鋳造)の場合のチャージiによるコスト
Vi 3 (Ci 3 , i 3k) C 2i 2 (Ci ,3 Ti ,3 ) C 3i max(0, d i Ci 3 )
K
C 4i max(0, Ci 3 d i ) v3k i 3k (i )
k 1
(i ) (u S
g,p
C1g )CS g , p ,3 , for S g , p {i}, p {1}
(i ) (u S
g,p
C1g )CS g , p ,3 (C1g u S g , p )(CS g , p ,3 TS g , p ,3 ),
for S g , p {i}, p {2,3,...,| g | 1} (i ) (C1g u S
g , p 1
)(CS g , p ,3 TS g , p ,3 ),
for S g , p {i}, p {| g |}
j=2(二番目のステージ;製鋼)の場合のチャージiによる累積コスト
Vi 2 (Ci 2 , i 2 k) C 2i1 (Ci , 2 Ti , 2 ) C 2i 2 (Ci , 2 t2,3 ) K
v2 k i 2 k min {Vi 3 (Ci ,3 , i 3k)}
k 1
{Ci , 3 , i 3 k}
j=1(最初のステージ;製鉄)の場合のチャージiによる総コス
→最適部分問題のコスト
Vi1 (Ci1 , i1k) C 2i1 (Ci ,1 t1, 2 ) K
v1k i1k min {Vi 2 (Ci , 2 , i 2 k)}
k 1
{Ci , 2 , i 2 k}