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等差数列の和
初項２，公差３の等差数列の，
初項から第５項までの和Ｓを求める
S  2  5  8 1114　・・・①
S  14 11 8  5  2　・・・②
・・・
214
511
・・・ 8 8
・・・ 11 5
・・・ 14 2
・・・
S  S  2S
等しい
16 5
初項２，公差３の等差数列の，
初項から第５項までの和Ｓを求める。
S  2  5  8 1114　・・・①
S  14 11 8  5  2　・・・②
①＋②より
2S  (2 14)  (5 11)  (8  8)  (11 5)  (14  2)
 16 5
1
S  16 5  40
2
等差数列の和の公式
初項
初項
a ，末項 l ，項数 n の等差数列の公差を d とするとき，
a から第 n 項 l までの和 S n を求める。
2Sn  n(a  l )
1
S n  n(a  l )
2
n
個
l  a  (n 1)d を代入し，
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
2
a
ad
a  2d
l
l d
l  2d
・ ・ ・ ・ ・
l d
l
ad
a
a l
等差数列の和の公式
初項
初項
a ，末項 l ，項数 n の等差数列の公差を d とするとき，
a から第 n 項 l までの和 S n を求める。
初項
a ，末項 l
が与えられたときは，
1
Sn  n(a  l )
2
初項
a ，公差 d
を利用する。
が与えられたときは，
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
2
を利用する。
例１
（１）等差数列３，７，11，15，・・・の初項から第20項までの和
S 20 を求めよ。
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
2
初項が３，公差が４であるから，
1
S20   20 2  3  (20 1)  4  820
2
（２）５から31までの奇数の和５＋７＋９＋・・・＋３１を求めよ。
初項が５，公差が２の等差数列の和で，31を第
31  5  2(n 1)
これより，項数 n  14
1
S14  14 (5  31)  252
2
n 項として，
1
S n  n(a  l )
2
問１ 次の等差数列の和を求めよ。
（１）初項７，末項61，項数10
1
S10  10 (7  61)  340
2
1
S n  n(a  l )
2
（２）初項－10，公差４，項数13
1
S13  13 2  (10)  (13 1)  4  182
2
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
2
問１ 次の等差数列の和を求めよ。
（３）初項41，公差ー６，項数８
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
2
1
S8   8  2  41 (8 1)  (6)  160
2
（４）（－５）＋（－２）＋１＋・・・22
初項が－５，公差が３の等差数列の和で，22を第
22  5  3(n 1)
これより，項数 n  10
1
S10  10 (5  22)  85
2
n 項として，
1
S n  n(a  l )
2
例２ 初項24，公差－４の等差数列において，初項から第 n 項
までの和を S n として， Sn  60となる n の値を求めよ。
1
Sn   n  2  24  (n 1)  (4)   2n2  26n
2
Sn  60 より
 2n2  26n  60
n2 13n  30  0
(n  2)(n 15)  0
n  2　， 15
n は自然数であるから，
n  15
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
2
n
問２ 初項－21，公差３の等差数列において，初項から第 項
までの和を S n とする。
1
Sn  n{2a  (n 1)d}
（１） S n を の式で表せ。
2
n
1
3
Sn   n  2  (21)  (n 1)  3  n(n 15)
2
2
（２） Sn  81 となる
n の値を求めよ。
3
n(n 15)  81
2
n2 15n  54  0
(n  3)(n 18)  0
n  3 ， 18
n は自然数であるから，
n  18