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等差数列の和
初項2,公差3の等差数列の,
初項から第5項までの和Sを求める
S 2 5 8 1114 ・・・①
S 14 11 8 5 2 ・・・②
・・・
214
511
・・・ 8 8
・・・ 11 5
・・・ 14 2
・・・
S S 2S
等しい
16 5
初項2,公差3の等差数列の,
初項から第5項までの和Sを求める。
S 2 5 8 1114 ・・・①
S 14 11 8 5 2 ・・・②
①+②より
2S (2 14) (5 11) (8 8) (11 5) (14 2)
16 5
1
S 16 5 40
2
等差数列の和の公式
初項
初項
a ,末項 l ,項数 n の等差数列の公差を d とするとき,
a から第 n 項 l までの和 S n を求める。
2Sn n(a l )
1
S n n(a l )
2
n
個
l a (n 1)d を代入し,
1
Sn n{2a (n 1)d}
2
a
ad
a 2d
l
l d
l 2d
・ ・ ・ ・ ・
l d
l
ad
a
a l
等差数列の和の公式
初項
初項
a ,末項 l ,項数 n の等差数列の公差を d とするとき,
a から第 n 項 l までの和 S n を求める。
初項
a ,末項 l
が与えられたときは,
1
Sn n(a l )
2
初項
a ,公差 d
を利用する。
が与えられたときは,
1
Sn n{2a (n 1)d}
2
を利用する。
例1
(1)等差数列3,7,11,15,・・・の初項から第20項までの和
S 20 を求めよ。
1
Sn n{2a (n 1)d}
2
初項が3,公差が4であるから,
1
S20 20 2 3 (20 1) 4 820
2
(2)5から31までの奇数の和5+7+9+・・・+31を求めよ。
初項が5,公差が2の等差数列の和で,31を第
31 5 2(n 1)
これより,項数 n 14
1
S14 14 (5 31) 252
2
n 項として,
1
S n n(a l )
2
問1 次の等差数列の和を求めよ。
(1)初項7,末項61,項数10
1
S10 10 (7 61) 340
2
1
S n n(a l )
2
(2)初項-10,公差4,項数13
1
S13 13 2 (10) (13 1) 4 182
2
1
Sn n{2a (n 1)d}
2
問1 次の等差数列の和を求めよ。
(3)初項41,公差ー6,項数8
1
Sn n{2a (n 1)d}
2
1
S8 8 2 41 (8 1) (6) 160
2
(4)(-5)+(-2)+1+・・・22
初項が-5,公差が3の等差数列の和で,22を第
22 5 3(n 1)
これより,項数 n 10
1
S10 10 (5 22) 85
2
n 項として,
1
S n n(a l )
2
例2 初項24,公差-4の等差数列において,初項から第 n 項
までの和を S n として, Sn 60となる n の値を求めよ。
1
Sn n 2 24 (n 1) (4) 2n2 26n
2
Sn 60 より
2n2 26n 60
n2 13n 30 0
(n 2)(n 15) 0
n 2 , 15
n は自然数であるから,
n 15
1
Sn n{2a (n 1)d}
2
n
問2 初項-21,公差3の等差数列において,初項から第 項
までの和を S n とする。
1
Sn n{2a (n 1)d}
(1) S n を の式で表せ。
2
n
1
3
Sn n 2 (21) (n 1) 3 n(n 15)
2
2
(2) Sn 81 となる
n の値を求めよ。
3
n(n 15) 81
2
n2 15n 54 0
(n 3)(n 18) 0
n 3 , 18
n は自然数であるから,
n 18