Transcript パスカルの三角形 ～3次元への拡張

動機
• 去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何
年後か!？”…指数関数
• 見栄えのいいものを目指して！
できるもの。
• 3Dパズル・ミツバチがなぜ減っているのか？・
回転寿司の回転数と客の動員数の関係・3D数独
目的
• パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけ
られている。
• 2次元→3次元へ拡張した場合規則性は、どのよ
うに変化するのか？
• 3次元ならではの規則性があるのか？
パスカルの三角形
1
1
2
3
5
→1
•各列の和は、２n-1である。
→2
•最初の列を除いて各段を横に
見てみると１１nになる。
→4
→8
•フィボナッチ数列
１．１．２．３．５．８……
3次元への拡張～立体～
2次元
3次元
3次元への拡張～平面～
1段目
2段目
3段目
4段目
5段目
6段目
性質の比較
• 各段落の合計について
・2次元の時は、2n-1で求めることができる。
・3次元の場合は、下表のようになる
段数
1段目
2段目
3段目
4段目
5段目
6段目
計算式
1
1×3
1×3+2×3
1×3+3×6+6
1×3+4×6+6×3+12×3
1×3+5×6+10×6+20×3+30×3
合計
1=30
3=31
9=32
27=33
81=34
243=35
表を見たら分かるように3次元にするとn段目の合計は3n-1
• 各段の個数について
・2次元では、1・2・3・4・5…というように各段
落の個数が増加していく。
・3次元の場合は、
1・3・6・10・15・21…となる。
2
3
4
5
6
・このような数列を階差数列という。
階差数列は、２・３・４…となり
初項a=2 交差d=1 の階差数列になる。
・各段の個数は、an= a1+∑n-1
bkで求まる。
k=1
この数列{an}の段差数列を{bn}とすると、
{an}{bn}は…
{an}＝1・3・6・10・15…
{bn}＝2・3・4・5・6…
{bn}は初項2,交差1の等差数列である。
よってbn=n+1 ゆえに n≧2の時
n-1 k+ ∑n-1 1
an=a1+ ∑n-1
(k+1)=1+
∑
k=1
k=1
k=1
=1+1/2(n-1)n+(n-1)
an=1/2n2+1/2n
初項はa1=1なので、n=1も成り立つ。
an=1/2n2+1/2n
• 中央の個数
3段目
4段目
5段目
上の図のように、三角形で囲まれた部分を中央の個数とする。
そうすると、中央の個数は… 1・2・3段目＝0個 4段目＝1個
これを表にすると、
1 2
段数
中央の数の個数 0 0
3
0
4
1
5
3
5段目＝3個
6 7 8
6 10 15
となる。
1~3段目までは、0個なので1段にまとめる（下表）
段数（実際の段） 1（1~3） 2(4 3(5 4(6 5(7) 6(8
)
)
)
)
0
1
3
6
10 15
中央の数の個数
k=1
先ほども利用したan= a1+∑n-1 bkを利用する。
数列{an}＝0・1・3・6…とすると階差数列{bn}＝1・2・3・4…
{bn}はa=1,d=1の等差数列である。
よって、bn=n
ゆえに、n≧2のときk=1
n-1 (n)
an=a1+ ∑k=1
=0+ ∑n-1 (k)
=0+ 1/2(n-1)n
= 1/2n2-1/2n …①
また、初項はa1=0なので、①はn=1のときも成り立つ。
以上により一般項は
an= 1/2n2-1/2n
フラクタル図形
・3次元でもフラクタル図形が現れるか調べる。
・立体的な図ではわかりにくいので、
各段に分けて調べてみる。
・3次元へ拡張した場合、
側面は2次元の場合と同じである。
↑ 2次元のパスカルの三角形を
2で割った場合
白色・・・（奇数）
青色・・・（偶数）
3次元の場合
• ２で割った場合
1段目
2段目
9段目
3段目
白色…奇数 青色…偶数
4段目
11段目
10段目
5段目
6段目
13段目
12段目
7段目
8段目
15段目
14段目
16段目
8段が1周期
フラクタル図形が現れる。
17段目
19段目
18段目
20段目
結果
• 3次元に拡張するとｎ段の合計が、3n-1で表わされるこ
とがわかった。 M次元→mn-1
• 各段の個数については、一般項an=1/2n2+1/2nで求め
ることができる。
• 中央の個数はan=1/2n2－1/2nで求めることができる。
• 中央の数の合計については、規則性がなく一般化できな
かった。
• 3次元へ拡張したときでもフラクタル図形が現れる。
（1周期は8段）
考察
• 中央の数の合計を一般化する。
• 10段ぐらいまで自分で制作してみる。
• フラクタル図形をプログラムしてn段目でも求め
られるようにする。(他の数で）
20段目のMaxの値は36.832.392