Transcript 接する物体4
直線運動の速度 問題 図のように、水平と角θをなす斜面上にくさび形の物体Ⅰがあり、さらにその上に物体Ⅱが置かれている。 物体Ⅰ、Ⅱの質量は、それぞれ 𝑚1 , 𝑚2 であり、斜面はなめらかで、物体Ⅰとのあいだに摩擦はない。一方、 物体ⅠとⅡの間には摩擦があり、動摩擦係数は𝜇 ′ である。x軸およびy軸を図のようにとり、重力加速度の 大きさを𝑔とする。ここで、物体Ⅰを静止させた状態から静かにはなしたとき、物体ⅡはⅠの上をすべり始 めた。このとき、物体Ⅱは、物体Ⅰから大きさNの垂直抗力と、大きさ𝐹 ′ の動摩擦力を受けている。次の各 問に答えよ。 (1)Nと𝐹 ′ の関係を式で示せ。 (2)物体Ⅰは、物体Ⅱからどのような力を受けているか図示せよ。 (3)物体Ⅰの加速度の斜面に沿って下向きの成分を𝑎1 とするとき、物体Ⅰの斜面に平行な方向の運動方 程式を𝐹 ′ を用いずに示せ。 (4)物体Ⅱの加速度のx成分を𝑎2 とするとき、物体Ⅱのx方向の運動方程式を𝐹 ′ を用いずに示せ。 (5)物体ⅠとⅡは接しており、これらのy方向の加速は等しいことを利用して物体Ⅱのy方向の運動方程式 を示せ。 (6)𝑚1 = 𝑚2 = 1.0 𝑘𝑔 , 𝜃 = 45°のとき𝑎1 , 𝑎2 をそれぞれ求めよ。 N 物体Ⅱ θ 𝑚2 𝑔 𝐹 ′ x y 物体Ⅰ 𝑎1 θ (1) 物体Ⅱは、物体Ⅰから大きさNの垂直抗力を受けているので ∴ 𝐹 ′ = 𝑁 ∙ 𝜇′ (2) 物体Ⅱ x y 𝐹′ θ N 𝑚1 𝑔 物体Ⅰ θ (3) −𝐹 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚1 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚1 ∙ 𝑎1 物体Ⅱ 𝐹′ 𝐹 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 θ θ 物体Ⅰ θ (𝐹 ′ の斜面に平行な成分) (4) 物体Ⅱ N 𝑚2 𝑔 𝐹 x y 𝑎2 𝐹 ′ = 𝑚2 ∙ 𝑎 2 ここで(1) より𝐹 ′ = 𝑁 ∙ 𝜇′ なので ∴ 𝑁 ∙ 𝜇′ = 𝑚2 ∙ 𝑎2 ・・・※ ′ θ −𝐹 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚1 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚1 ∙ 𝑎1 ここで(1) より𝐹 ′ = 𝑁 ∙ 𝜇′ なので ∴ −𝑁 ∙ 𝜇′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚1 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚1 ∙ 𝑎1 ・・・① (5) 𝑚2 の𝑦方向の運動方程式を求める。物体Ⅱの 𝑦方向の加速度を𝑎3 とすると 物体Ⅱの運動方程式 𝑚2 𝑔 − 𝑁 = 𝑚2 ∙ 𝑎3 ・・・② ① 式から求まるから𝑎1 の𝑦軸方向成分が𝑎3 と等しいということ。 θ θ θ θ θ θ θ θ 浮き上がったりしない →y軸方向の加速度が 等しい もう一度確認すると、物体Ⅱは物体Ⅰの上をすべりながら斜面を下っていく(𝑥軸方向の加速度 は物体Ⅰと物体Ⅱで異なる)が、y軸方向のみに注目すれば、一体となって運動している （物体ⅠとⅡが離れたりしない）→y軸方向の加速度は等しい ① 式から求まる𝑎1 は、 −𝑁 ∙ 𝜇′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚1 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑎1 = 𝑚1 よって、𝑎1 の𝑦軸方向成分 𝑎3 と等しい は 𝑎3 = 𝑎1 𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝑁∙𝜇′ 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑚1 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑚1 𝑠𝑖𝑛𝜃・・・③ θ 物体Ⅰ ②、③より ∴ 𝑚2 ∙ 𝑔 − 𝑁 = 𝑚2 ∙ −𝑁∙𝜇′ 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑁𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑚 1 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑚1 θ 𝑠𝑖𝑛𝜃・・・④ 𝑎1 𝑎1 𝑠𝑖𝑛𝜃 (6) 𝑚1 = 𝑚2 = 1.0 𝑘𝑔 , 𝜃 = 45°のときの𝑎1 と𝑎2 を求める。 ④から、𝑁を求めれば、※と①式から𝑎1 と𝑎2 が求まるだろう。 ④式に各値を代入して 𝑁= 𝑔 3 − 𝜇′ よって 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑔𝜇′ ∴ 𝑎2 = 3 − 𝜇′ 2 − 𝜇′ ∴ 𝑎1 = 2 𝑔 ′ 3−𝜇 1 から順に解答の流れを作ってくれているので、その流れにのる。各問いは次の問いの ヒントになっていることが多い